il numero delle possibili sestine del Superenalotto

Contare le sestine del Superenalotto
Se, come nel gioco del lotto, cinque numeri vengono estratti, uno dopo l’altro, da
un’urna che ne contiene 90, il numero delle possibili sequenze risultanti si può
calcolare sulla base del seguente ragionamento:
1.
2.
3.
4.
5.
I possibili esiti della 1a estrazione sono 90;
I possibili esiti della 2a estrazione sono 89;
I possibili esiti della 3a estrazione sono 88;
I possibili esiti della 4a estrazione sono 87;
I possibili esiti della 5a estrazione sono 86.
Complessivamente, le possibili sequenze di cinque numeri estratti sono allora:
90  89  88  87  86 = 5 273 912 160.
Tuttavia, questo non è, in realtà, il numero delle possibili cinquine. Infatti, per
contare queste ultime, occorre tenere presente che, ad esempio, le sequenze di numeri
estratti
1 56 34 17 82 e 34 17 82 1 56
danno luogo alla stessa cinquina: l’ordine di estrazione è indifferente. In effetti, le
sequenze che danno luogo a questa stessa cinquina sono tante quanti i possibili
ordinamenti (permutazioni) di 5 numeri distinti, ovvero 5! = 120. Pertanto, dovendo
identificare le sequenze di 5 numeri estratti 120 a 120, il numero di cinquine è
90  89  88  87  86 = 43 949 268
120
In generale, esistono due formule per il numero di possibili esiti di una sequenza di
estrazioni: una per il caso in cui l’ordine fa differenza (e quindi si contano le
sequenze), una per il caso in cui l’ordine è indifferente (e quindi si contano i
sottoinsiemi).
Il numero di possibili sequenze di k elementi prelevati da un insieme di n
(disposizioni senza ripetizione di n elementi k a k) è
n (n1)(n2)  (nk+2)(nk+1)
Il numero di possibili sottoinsiemi di k elementi prelevati da un insieme di n
(combinazioni di n elementi k a k) è
n (n1)(n2)  (nk+2)(nk+1)
k!
Osservazione
Il prodotto che compare nelle due formule può essere scritto in maniera più compatta
utilizzando i fattoriali:
n(n  1)(n  2)
(n  k  2)(n  k  1) 
n!
(n  k )!
In particolare, il numero delle combinazioni di n elementi k a k è pari a
n!
k !(n  k )!
Per questo numero esiste una notazione abbreviata,
n
k 
 
e lo si chiama coefficiente binomiale “n su k”. Il nome è giustificato dal fatto chei
numeri di questa forma sono i coefficienti dello sviluppo della n-esima potenza del
binomio:
n
n
( a  b) n     a k b n k
k 0  k 
Il collegamento non è casuale: per rendersene conto, basta considerare che,
sviluppando il prodotto
 a  b  ( a  b) ( a  b)
n fattori
il prodotto a k bnk si ottiene tutte e sole le volte che si sceglie, in k parentesi, il
termine a, (e, di conseguenza, il termine b nelle restanti nk parentesi): tale prodotto
compare dunque tante volte quanti sono i possibili modi di prelevare k oggetti (le
n
parentesi) da un insieme di n oggetti, ossia   volte.
k 
n
Nota Il coefficiente binomiale   si trova, nel triangolo di Pascal o Tartaglia, al kk 
esimo posto della n-esima riga; le righe sono numerate dall’alto verso il basso, a
partire da 0, le posizioni in ciascuna riga sono numerate da sinistra verso destra, a
partire da 0.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
 3
 
Le regolarità che si osservano nel triangolo derivano da facili proprietà aritmetiche
dei coefficienti binomiali:
n n
n!
1
 “1” ai lati:      
 0   n  0! n !
n  n 
n!

 simmetria rispetto all’asse del triangolo:    

 k   n  k  k !( n  k )!
Esercizio
Determinare le possibili sestine del Superenalotto.
Svolgimento
Basta applicare la formula per le combinazioni di n elementi k a k, per n = 90 e k = 6.
Si ottiene:
 90  90! 85  86  87  88  89  90
 3 735 687 780
 6   6!84! 
720
 