esercitazione 3: i teoremi di rolle, lagrange e cauchy

ESERCITAZIONE 3: I TEOREMI DI ROLLE,
LAGRANGE E CAUCHY
Tiziana Raparelli
13/03/2008
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INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEI TEOREMI DI ROLLE E DI LAGRANGE
Proposizione 1.1. Se f : [a, b] → R soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle,
allora ∃ un punto c ∈ (a, b) t.c. la retta tangente è parallela all’asse delle x.
Proposizione 1.2. Se f : [a, b] → R soddisfa le ipotesi del teorema di
Lagrange, allora ∃ un punto c ∈ (a, b) t.c. la retta tangente è parallela alla
retta passante per i punti (a, f (a)), (b, f (b)).
Proposizione 1.3. Se f : [a, b] → R soddisfa le ipotesi del teorema di
Lagrange, allora:
i) Se f 0 (x) = 0 allora f (x) = cost in [a, b].
ii) Se f 0 (x) > 0 allora f (x) è strettamente crescente in [a, b].
iii) Se f 0 (x) < 0 allora f (x) è strettamente decrescente in [a, b].
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ESERCIZI
ESERCIZIO 1:
Date le seguenti funzioni, dire se si possono applicare o meno i teoremi di
Rolle o di Lagrange negli intervalli indicati:
(1) f (x) = √
|x| in [−1, 1]
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(2) g(x) = x2 in [−2, 2]
(3)
x se 0 ≤ x < 1
h(x) =
0 se x = 1
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ESERCIZIO 2:
Dimostrare la seguente identità:
1
arctan x + arctan =
x
π
2
− π2
se x > 0
se x < 0
ESERCIZIO 3:
Dimostrare che la seguente disequazione è soddisfatta nell’intervallo (0, π2 ]:
ex > sin x + cos x.
ESERCIZIO 4:
Discutere al variare di k ∈ R il numero delle soluzioni dell’equazione:
ex − x = k.
ESERCIZIO 5:
Dimostrare che l’equazione
sin x = x − 1
ammette una e una sola soluzione in R.
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SOLUZIONI:
ESERCIZIO 1:
(1) |x|non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle in [−1, 1], in quanto
non √
è derivabile nel punto x0 = 0.
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(2) x2 non soddisfa l’ipotesi di derivabilità nell’intervallo [−2, 2] (in particolare nel punto 0).
(3)h(x) non è continua nel punto x0 = 1 e dunque non si può applicarle il
teorema di Lagrange.
ESERCIZIO 2:
Sia f (x) = arctan x + arctan x1 , allora f 0 = 0 ∀x 6= 0, quindi per la proposizione 1.3 segue che f = c1 in (0, +∞) ed f = c2 in (−∞, 0) (in generale
c1 6= c2 ). Il valore di c1 si determina dunque sostituendo ad x un qualsiasi
punto dell’intervallo (0, +∞), o calcolando il limite per di f per x → 0+ , o
per x → +∞ (e analogamente per c2 .)
ESERCIZIO 3:
Sia f (x) = ex − sin x − cos x, vogliamo dimostrare che f (x) > 0 ∀x ∈ (0, π2 ].
f 0 (x) = ex − cos x + sin x
e
f 00 (x) = ex + sin x + cos x.
Ora, ∀x ∈ [0, π2 ), risulta f 00 (x) > 0 e dunque per la proposizione 1.3 f 0 (x)
è strettamente crescente nell’intervallo. Inoltre limx→0+ f 0 (x) = 0, perciò
f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (0, π2 ], e questo implica che f è strettamente crescente nell’intervallo. Poiché limx→0+ f (x) = 0, segue la tesi.
ESERCIZIO 4:
Sia f (x) = ex − x, allora f 0 (x) = ex − 1 e f 0 > 0 ∀x ∈ I1 = (0, +∞) e f 0 < 0
in I2 = (−∞, 0). Dunqe f è strettamente crescente in I1 e strettamente
decrescente in I2 . Essendo inoltre limx→±∞ f (x) = +∞ e f (0) = 1, segue
(poiché f è continua in I1 ∪ I2 ) che
f ( −∞, 0] = f [0, +∞) = [1, +∞).
Perciò l’equazione non ammetterà soluzioni se k < 1, ne avrà una se k = 1
ed avrà due soluzioni distinte per ogni valore di k > 1.
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ESERCIZIO 5:
Sia f (x) = sin −x + 1. Vogliamo dimostrare che f ha solo una radice reale.
Poiché limx→−∞ f = −∞ e limx→+∞ f = +∞, essendo f continua, esiste
almeno un punto c tale che f (c) = 0.
Per dimostrare che tale punto è unico, osserviamo innanzi tutto che per ogni
x < 0 segue f (x) > 0 e per ogni x > 2, f (x) < 0. Quindi le radici di f sono
da cercarsi nell’intervallo [0,2].
f 0 (x) = cos x − 1 e f 0 = 0 (in [0, 2]) quando x = 0, mentre f 0 < 0
∀x ∈ (0, 2]. Quindi f è strettamente decrescente nel’intervallo considerato,
essendo f (0) > 0 e f (2) < 0, esiste un unico x ∈ [1, 2] tale che f (x) = 0.
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