ANALISI MATEMATICA I Decima settimana DOMANDE DI TEORIA

ANALISI MATEMATICA I
Decima settimana
DOMANDE DI TEORIA
Oltre alle definizioni richieste, fornire sempre degli esempi.
Quando è richiesto di verificare se una proposizione è vera:
• se la proposizione è vera, bisogna dimostrarla. Meglio poi proporre degli esempi.
• se la proposizione è falsa, bisogna fornire almeno un controesempio che lo mostri.
NUMERI COMPLESSI
1. Definizione di numero complesso. Definizione di parte reale e parte immaginaria di un
numero complesso. Rappresentazione sul piano di Gauss. Rappresentazione trigonometrica e rappresentazione esponenziale di un numero complesso.
2. Definizione di modulo di un numero complesso z.
3. Dato un numero complesso z, definire il suo complesso coniugato. Come sono posti i
due numeri sul piano di Gauss?
4. Definizione di somma e di prodotto di numeri complessi.
5. Teorema di De Moivre e sua dimostrazione.
6. Illustrare il procedimento che porta al calcolo delle radici n-esime di un numero complesso.
7. Enunciare il Teorema fondamentale dell’algebra, nel caso reale e nel caso complesso.
8. Dato il numero z = 27:
(a) Determinare i numeri z ∈ C tali che z 3 = 27.
(b) Determinare i numeri reali x tali che x3 = 27.
9. Se z = 3 + 5i e w è un numero complesso di modulo 1 e argomento θ = π8 , rappresentare
sul piano di Gauss i numeri z, w e z · w.
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