CdL in Scienze Ambientali e Scienze dei Materiali

CdL in Chimica, Chimica Industriale, STCCR, STM
Esame scritto di Istituzioni di Matematiche - 25.02.2006
B
1. Studiare la seguente funzione:
 x2 
f ( x)  ln  2   1
 x 1 
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2. Sia data la funzione: f(x)=1/ ln(x).
a) Sviluppare tale funzione con formula di Taylor, arrestata al termine di
secondo ordine, con punto iniziale xo= e.
b) Si chiede qual è l’errore percentuale di approssimazione con tale formula
rispetto al valore dato dalla calcolatrice, per x=3.
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3. Risolvere la seguente equazione differenziale:
f ' (x)
 ln( x)
2
x
con la condizione:
f (3 e )  0
(Si suggerisce l’integrazione per parti, che ricorrerà due volte).
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4. Risolvere, a scelta, uno dei due seguenti problemi (l’altro è facoltativo):
4a) Determinare l’equazione della retta passante per il punto (1:0) e perpendicolare
1
alla tangente alla curva di equazione: f(x)=
nel punto x=1.
1
ln  
 x
4b) Sia dato sul piano xy il versore u che forma un angolo di +30° con il vettore
v = ( -2; 3). Sia w il vettore proiezione di v sull’asse delle x
Calcolare il prodotto scalare u w.
VERO/FALSO (Le risposte devono essere argomentate)
1.- Dato nello spazio tridimensionale xyz un vettore incognito u e dato un vettore
v=-2 i, condizione necessaria affinché il prodotto scalare u v sia nullo è che u sia:
u = c k (con i e k versori principali rispettivamente lungo x e z ).
2.- La seguente equazione non ha soluzioni:
1
0
3 x
3.- Data una funzione f(x) definita nell’ intervallo [a;b], essa non è integrabile in tale
intervallo se non soddisfa l’ipotesi del teorema di Weistrass.
4.- Se una funzione f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange , allora vale per
f(x) il teorema della media integrale (detto anche del valor medio).
5.- La seguente uguaglianza non è una equazione differenziale: dx = 2x + dy

6.- Il seguente integrale è divergente:
 dx
0
7.- L’intercetta della retta tangente nel punto x=1 alla curva di equazione
y= e-2x è uguale a 1.
8.- Una funzione nulla in ogni punto x dell’intervallo [a,b] non soddisfa al teorema di
Lagrange.
9.- Data la funzione f(x;y;z)= x+3, si ha:
f
0
z
10.- Il teorema fondamentale del calcolo integrale non si può applicare alla funzione
f(x)=1/x nell’intervallo [-2;-5].
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Quesito a risposta multipla: (la giustificazione delle risposte non è obbligatoria,
ma, ove presente e corretta, costituisce un valore aggiunto)
Ipotesi: Sia data una funzione f(x), definita nell’intervallo [-1;5], che in tale intervallo
soddisfi la tesi del teorema di Weierstrass.
Allora in [-1;5]:
 f(x) è integrabile;  f(x) non è sicuramente derivabile;  f(x) è necessariamente
derivabile;  L’ipotesi data assicura che f(x) è continua nel punto x=0;  il valore di
f(x) esiste ed è finito nel punto x=-1;  f(x) può essere costante in [-1;5] ;  Esiste
l’integrale indefinito di f(x);  Il limite della funzione per x  0 non può essere  ;
 Il limite di f(x) per x  5 può essere ;  Il limite di f(x) per x  -1 può essere
diverso da f(-1);  f(x) può avere in [-1;5] un asintoto orizzontale;  f(x) può avere in
[-1;5] un asintoto verticale;  f(x) può essere monotona crescente in tutto l’intervallo
[-1;5];  f(x) può rappresentare in [-1;5] un segmento di retta a pendenza negativa.