R - INFN - Sezione di Padova
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Conduttori ● si può dimostrare che il campo elettrico all'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico è nullo ➠ se così non fosse, la presenza di un campo elettrico agirebbe sugli elettroni liberi degli atomi spostandoli, creando quindi una corrente elettrica interna, il che contraddice l'ipotesi di equilibrio elettrico ➯un campo elettrico interno appare solo nel momento in cui il conduttore viene caricato – una conseguenza è che il potenziale elettrico è costante all'interno di un conduttore in equilibrio V = −∇ E 1 Conduttori ● con il teorema di Gauss si può dimostrare che una carica fornita a un conduttore isolato si sistema totalmente sulla superficie del conduttore, nessuna carica può stazionare entro il corpo conduttore ➯intuitivamente, se mettiamo una carica elettrica in un conduttore, essendo libera di muoversi, essa si dispone in modo tale da stare il più possibile lontano dalle cariche dello stesso segno, e questo corrisponde al trovarsi sulla superficie del conduttore – consideriamo una superficie gaussiana interna al conduttore, su cui è depositata una carica q – il campo elettrico E all'interno del conduttore è nullo 2 Conduttori – se E è nullo all'interno il flusso attraverso una superficie chiusa è nullo e quindi q E = = 0 ⇒ q = 0 0 ➯ciò è valido per ogni superficie interna al conduttore, quindi la carica si distribuisce sulla superficie esterna 3 Conduttori (cont.) ● si può dimostrare che in una cavità all'interno di un conduttore isolato il campo elettrico è nullo ● – – considerando il caso precedente si può pensare che l'asportazione di un pezzo interno del conduttore non influenzi la distribuzione delle cariche consideriamo una superficie gaussiana che circonda la cavità interna completamente contenuta nel conduttore: q E = = 0 ⇒ q = 0 0 quindi sulla superficie interna la carica elettrica è nulla 4 Conduttori (cont.) – se prendiamo un circuito che attraversi in parte la cavità ∮ E e⋅d r – = 0 essendo la circuitazione del tutto generica e potendo avere contributo solo dalla cavità (in quanto il campo all'interno del conduttore è nullo) anche qui il campo E è nullo 5 Conduttori (cont.) ● la carica elettrica si distribuisce sul conduttore in modo da equilibrare le forze repulsive tra ogni singola carica ➫ sulla superficie il campo elettrico è orientato sempre perpendicolarmente alla superficie stessa ➥se il campo avesse una componente tangente alla superficie del conduttore le cariche si metterebbero in moto (fino ad annullare questa componente) 6 Conduttori (cont.) ● il campo elettrico E sulla superficie di un conduttore in equilibrio è proporzionale alla densità di carica superficiale (): E = 0 – – se consideriamo una superficie cilindrica posta a cavallo della superficie del conduttore dq d E = ∫ E⋅n ds = E d = 0 e quindi: dq 1 E = = d 0 0 7 Conduttori (cont.) ● si può inoltre dimostrare che il campo elettrico sulla superficie di un isolante con carica distribuita sulla superficie è dato dalla seguente equazione E = 20 8 Conduttori proprietà dei conduttori in equilibrio ➟ proprietà elettrostatico: elettrostatico ➛ il campo elettrico all'interno di un conduttore è nullo ➛ il potenziale elettrico è costante all'interno di un conduttore in equilibrio ➛ una carica fornita a un conduttore isolato si sistema totalmente sulla sua superficie ➥nessuna carica può stazionare entro il corpo conduttore ➛ in una cavità all'interno di un conduttore isolato il campo elettrico è nullo ➛ il campo elettrico è orientato sempre perpendicolarmente alla sua superficie ➛ il campo elettrico E sulla superficie di un conduttore in equilibrio è proporzionale alla densità di carica superficiale (): E= 0 9 Conduttori (cont.) ● se un conduttore isolato viene posto in un campo elettrico esterno tutti i punti del conduttore sono allo stesso potenziale, sia che il conduttore abbia o no una carica in eccesso ➠ gli elettroni liberi di conduzione si distribuiscono sulla superficie in modo tale che il campo elettrico che producono nei punti interni annulli il campo elettrico esterno ➠ la distribuzione degli elettroni fa si che il campo elettrico netto in tutti i punti della superficie sia perpendicolare alla superficie 10 Capacità ● consideriamo una sfera conduttrice di raggio R e carica Q – – – ● isolata ● carica ● in equilibrio elettrostatico in un punto P ad una distanza r dal centro della sfera il potenziale elettrico è 1 Q V = 4 0 r sulla superficie della sfera il potenziale elettrico è 1 Q V = 4 0 R per continuità questo è anche il valore del potenziale all'interno del conduttore 11 Capacità Capacità ➜ il potenziale elettrico della sfera è proporzionale alla carica depositata e dipende dalla geometria (raggio R) del corpo ➯ si può dimostrare che questa è una proprietà generale dei conduttori ● si definisce capacità elettrica C di un conduttore il rapporto (costante) tra la carica Q che un conduttore possiede e il suo potenziale elettrico V: Q C = V ➛ per la nostra sfera C vale: Q Q C = = = 4 0 R V 1 Q 40 R 12 Capacità Capacità ● l'unità di misura della capacità è il farad (F) ➯ questo rapporto costante è una caratteristica del conduttore 13 Capacità (cont) ● calcoliamo il lavoro necessario a caricare la sfera – il processo di carica consiste nel portare sulla sfera n cariche dq fino a raggiungere la carica finale Q ● se il potenziale V della sfera rimanesse costante durante tutto il processo il lavoro sarebbe uguale a: L = QV il processo di carica non avviene a potenziale costante (se non è collegato ad un generatore di potenziale) ➛il potenziale dipende dalla carica del conduttore ➛la carica del conduttore dipende dal tempo 14 Capacità (cont) – – durante il processo di carica il conduttore avrà una carica q e un potenziale V', per cui il lavoro fatto sulla carica dq sarà dL = dq V ' questa variazione di carica comporta una variazione di potenziale, possiamo scrivere: q dL = dq C integrando otteniamo 1 Q2 1 1 L = = QV = CV 2 2 C 2 2 ● la differenza col caso a V costante è che, in quel caso, dobbiamo tener conto del lavoro esterno speso per mantenere il potenziale costante 15 Condensatori ● fino ad ora abbiamo considerato conduttori isolati – ● la presenza di altri conduttori può cambiare molto le condizioni del sistema consideriamo un conduttore sferico A di raggio R e carica Q: gli avviciniamo un secondo conduttore B scarico ● quello che si osserva è che il potenziale di A diminuisce 16 Condensatori ● una spiegazione intuitiva può essere la seguente: – per induzione su B si ha un accumulo di cariche negative nella parte più vicina ad A ed un accumulo di cariche positive nella parte più distante ● – indichiamo con q il modulo di questa carica sulla superficie di A più vicina a B il potenziale è dato da 3 componenti: ● VA: potenziale di A isolato ● VB-: potenziale delle cariche negative di B ● VB+: potenziale delle cariche positive di B 17 Condensatori (cont.) – il potenziale totale sulla superficie di A diventa allora V = V A V -B V +B Q q q V = k − k k R rr+ nella assunzione che l'effetto delle cariche indotte sul conduttore B sia tale che: – ● si possa approssimare come se le cariche fossero concentrate in punti distanti r+ e r- dal punto considerato sulla superficie di A ● che in valore assoluto la carica indotta positiva e quella negativa siano uguali risulta allora: r - r + ⇒ ∣V -B∣ ∣V +B∣ e quindi V VA 18 Condensatori (cont.) ● essendo A isolato per ipotesi la sua carica non cambia, poiché abbiamo definito la capacità come Q C = V – ne segue che la capacità cambia, in particolare aumenta ➠in questa trattazione ci sono molte approssimazioni, inoltre non si tiene conto della variazione di densità di carica sul conduttore A, una trattazione più rigorosa permette di trovare i valori corretti, ma la sostanza non cambia 19 Condensatori (cont.) ● su questa proprietà si basa l'idea dei condensatori: condensatori sono oggetti costituiti da due conduttori affacciati (chiamati armature) e, spesso, separati da un dielettrico – un tale strumento permette di mantenere una carica elettrica Q su di un conduttore e di avere un potenziale più basso di quello che avrebbe su di un conduttore singolo ● – questo è importante, per esempio, se si deve mantenere una carica elevata e si vuole ridurre il pericolo di scariche elettriche con l'ambiente si può dimostrare che la differenza di potenziale tra le armature V è direttamente proporzionale alla carica Q presente su una delle armature 20 Condensatori (cont.) ● la capacità di un condensatore viene definita come il rapporto tra la carica elettrica depositata sopra un'armatura e la differenza di potenziale tra le armature Q C = V 21 Condensatore Sferico ● consideriamo un condensatore sferico – ● un sistema costituito da un conduttore sferico contenuto entro un altro conduttore sferico ● concentrico col primo ● isolato da esso una carica depositata sul conduttore più interno si distribuisce uniformemente su di essa (supponiamo la carica positiva) – sulla superficie interna ed esterna del conduttore esterno compaiono, per induzione, una carica negativa e una positiva uguali in valore assoluto a quella depositata ➞Q: la carica presente sull'armatura interna ➞r: il raggio dell'armatura interna ➞R: il raggio dell'armatura esterna 22 Condensatore Sferico (cont.) ● ● ● ● poiché la carica si distribuisce uniformemente, il potenziale sul conduttore interno è: Q Vr = k r se mettiamo a terra l'armatura esterna la relativa carica positiva si disperde al suolo per l'armatura esterna, in modo analogo, si ricava il potenziale dovuto alla carica elettrica presente su di essa: Q −V R = −k R la differenza di potenziale risulta allora: Vr − VR Q Q = k − k r R 23 Condensatore Sferico (cont.) ● ● la capacità del condensatore, dalla definizione, risulta allora: Q Q 1 Rr C = = = ⋅ Q Q k R−r V k − k r R se la differenza d tra i due raggi è piccola rispetto ai raggi si ha: 2 Rr ~r quindi, ricordando la definizione di k, si ottiene: 2 r C = 40 d – ma 4r2 è l'area S di una superficie sferica di raggio r, quindi: S C = 0 d 24 Condensatore ● questa espressione S C = 0 d è del tutto generale, indipendente dalla forma del condensatore ➥ se le dimensioni delle armature sono abbastanza grandi e la separazione tra le armature abbastanza piccola da rendere sensibilmente trascurabile la deformazione del campo elettrico in prossimità dei bordi 25 Condensatore piano ● consideriamo due conduttori piani di uguale forma e dimensione S, posti ad una distanza d l'uno dall'altro – depositiamo una carica q su un conduttore e colleghiamo a terra la faccia esterna dell'altro conduttore (per scaricare la carica positiva generata nell'induzione) – il campo elettrico E fra i due conduttori è uniforme – E = 0 dove q = S essendo il campo uniforme la differenza di potenziale risulta essere V = Ed 26 Condensatore piano – possiamo allora scrivere la capacità del sistema q C = V come S S S C = = = 0 Ed d d 0 27 Serie di Condensatori ● supponiamo di avere n condensatori messi in cascata, come nello schema seguente questa configurazione si indica come serie di condensatori – se depositiamo una carica +Q sulla armatura più esterna del primo condensatore, per induzione elettrica sull'altra armatura si avrà una carica -Q e sull'armatura del secondo condensatore, collegata a quella precedente, comparirà una carica +Q 28 Serie di Condensatori ● considerando la catena di condensatori nel suo complesso: – – – – ● sulla prima armatura abbiamo una carica +Q sull'ultima armatura abbiamo una carica -Q sulle armature interne (connesse tra loro elettricamente) la carica complessiva è nulla tra la prima e l'ultima armatura c'è una differenza di potenziale V per il sistema possiamo definire una capacità Q C = V 29 Serie di Condensatori (cont.) ● esaminiamo il contributo dei singoli condensatori: – tra le armature di ogni singolo condensatore ci sarà una differenza di potenziale Vi – ogni condensatore avrà una capacità Ci per ogni condensatore vale la relazione Vi = ● la differenza di potenziale complessiva, tra la prima e l'ultima armatura del sistema, è data dalla somma delle singole differenze di potenziale n V = ● Q Ci Vi ∑ i=1 che possiamo scrivere come Q = C n ∑ i=1 Q Ci 30 Serie di Condensatori (cont.) da cui si ricava che 1 = C n 1 ∑ i=1 C i ☛ un insieme di condensatori collegati in serie è equivalente ad un condensatore la cui capacità risulta il reciproco della somma dei reciproci delle capacità dei singoli condensatori −1 n 1 C = ∑ i=1 C i ➠si dice che i condensatori collegati sono in serie tra loro quando la differenza di potenziale applicata alla combinazione di condensatori è la somma delle differenze di potenziale presenti su ogni condensatore 31 Parallelo di condensatori ● consideriamo ora n condensatori collegati tra loro come in figura questa configurazione si indica come parallelo di condensatori ● è evidente che, se applichiamo una differenza di potenziale V ai capi del sistema, tutti i condensatori presentano la stessa differenza di potenziale tra le rispettive armature – ogni condensatore ha una sua capacità Ci – sulle armature dei condensatori ci sarà una carica Qi = C iV 32 Parallelo di condensatori ● la carica totale positiva è data dalla somma delle cariche positive presenti sui singoli condensatori n Q = ● Qi ∑ i=1 possiamo anche scrivere le singole cariche come prodotto della differenza di potenziale per la carica sulle armature del singolo condensatore, quindi n n Q = V Ci ∑ i=1 = V Ci ∑ i=1 = VC ☛ il sistema può essere visto come un unico condensatore di capacità pari alla somma delle capacità dei singoli condensatori: n C = Ci ∑ i=1 33 Parallelo di condensatori (cont.) ➛ si dice che i condensatori collegati sono in parallelo tra loro quando la differenza di potenziale, applicata al loro insieme, è la stessa differenza di potenziale applicata a ognuno di essi ➣ condensatori in serie si utilizzano quando si lavora con elevate differenze di potenziale ➣ condensatori in parallelo si utilizzano quando si richiedono capacità più grandi di quelle disponibili con condensatori singoli 34 Condensatori (cont.) ● l'energia può essere immagazzinata come energia potenziale ➛tendendo una molla ➛sollevando un libro ➛tirando la corda di un arco ➛immagazzinando acqua ad una certa quota (con una diga) – tutte quelle indicate sono forme di energia potenziale meccanica, è possibile immagazzinare energia (potenziale) anche in un campo elettrico ➠ il condensatore elettrico è uno strumento che è in grado di immagazzinare energia che può essere utilizzata in un secondo tempo 35 Energia nel campo elettrico ● la separazione di due cariche di segno opposto richiede del lavoro ● il processo di carica di un condensatore si può pensare come un processo di separazione di carica ➯le cariche positive vengono portate su una armatura, quelle negative sull'altra – questo richiede del lavoro, che viene effettuato da un generatore (una pila, in questo caso si spende una parte dell'energia chimica) – per il principio di conservazione dell'energia questo lavoro speso deve essere disponibile sotto qualche altra forma di energia ➠nel processo di carica abbiamo separato cariche e abbiamo generato un campo elettrico 36 Energia nel campo elettrico ● è naturale pensare che l'energia spesa sia associata al campo elettrico creato ➠è disponibile in tutto lo spazio dove il campo elettrico non è nullo – abbiamo già visto che il lavoro necessario per caricare un conduttore è 1 Q2 1 1 L = = QV = CV 2 2 C 2 2 ➯questa è anche l'energia accumulata tra le armature del condensatore – nel caso del condensatore piano il volume occupato dal campo elettrico è quello all'interno delle armature: v = Sd, la densità di energia legata al campo elettrico è: 1 2 CV 2 2 U 2 1 S V 1 V 1 2 u = = = 0 = 0 2 = 0 E V Sd 2 d Sd 2 d 2 37 Energia del campo elettrico ● quanto ricavato 1 2 u = 0 E 2 è di validità del tutto generale, non ristretta al caso specifico che abbiamo utilizzato per ricavarla ● se in un punto dello spazio vuoto esiste un campo elettrico E, l'energia che vi è distribuita per unità di volume è 1 2 u = 0 E 2 – se siamo in presenza di un dielettrico la densità di energia diventa 1 2 u = 0 r E 2 38 Dielettrici ● tutti i materiali hanno una qualche capacità di conduzione elettrica ● – ci sono materiali che hanno un comportamento molto vicino a quello di un isolante ideale abbiamo già accennato al fatto che la forza elettrostatica in presenza di un materiale isolante viene ridotta di una quantità r (>1) q1q2 1 F = 4 0 r r 2 39 Dielettrici ● se si riempie lo spazio tra le armature di un condensatore con un dielettrico la capacità aumenta di un fattore numerico r, caratteristico del materiale, chiamato costante dielettrica relativa C = r C vuoto – ● relativa perché ci riferiamo sempre al vuoto ● r > 1 sempre una caratteristica dei condensatori con dielettrici è che la differenza di potenziale non può superare un valore Vmax (detto rigidità elettrica) elettrica ● una differenza di potenziale maggiore di questo valore causa una rottura del dielettrico e si instaura una conduzione (scarica elettrica) 40 Dielettrici (cont.) dal punto di vista atomico i dielettrici possono essere divisi in due categorie: ● dielettrici polari: polari le molecole di alcune sostanze (come l'acqua) hanno un momento di dipolo elettrico permanente ➠in questi materiali i dipoli tendono ad allinearsi in presenza di un campo elettrico esterno ➠a causa della agitazione termica l'allineamento non è completo, ma aumenta all'aumentare del campo elettrico esterno E0 ➠a parità di campo elettrico l'orientamento dei dipoli risulta inferiore a temperature più elevate 41 Dielettrici (cont.) ● dielettrici non polari: polari sia che le molecole abbiano o no momento di dipolo elettrico, esse possono acquistarlo per induzione quando vengono immerse in un campo elettrico non soggetta a campo elettrico ➠ il campo elettrico tende a stirare le molecole separando leggermente i centri di carica positiva e negativa, creando in questo modo un dipolo elettrico il cui momento è proporzionale ad E ● soggetta a campo elettrico E0 il rapporto tra il momento indotto e l'intensità del campo elettrico viene indicato col termine polarizzabilità p E 42 Dielettrici (cont.) ➙ il momento di dipolo di un elemento di volume è la somma dei momenti dei dipoli contenuti nel volume ➙ il processo che porta alla formazione dei dipoli indotti prende il nome di polarizzazione ● definito il momento di dipolo per unità di volume P, nella maggior parte dei dielettrici risulta che P è proporzionale al campo elettrico esterno E P = 0 r −1E 43 Dielettrici (cont.) – ● le cariche superficiali indotte si dispongono sempre in modo tale che il campo elettrico E' da esse generato si opponga al campo esterno E0 l'effetto è quello di diminuire il campo elettrico totale all'interno del dielettrico ➯ il campo elettrico del dipolo è orientato in senso inverso rispetto al campo esterno ➯ la somma dei due campi, il campo elettrico efficace, è chiaramente inferiore al campo esterno applicato ➠ c'è accordo col fatto che la forza di Coulomb in presenza di dielettrici risulta ridotta 44 Dielettrici sostanza aria acqua alcool etilico olio per trasformatori ambra bachelite carta polietilene polistirolo porcellana teflon vetro costante dielettrica relativa 1.00059 80 28 2.5 2.7 4.9 3.7 2.3 2.6 6.5 2.1 4÷ 7 rigidità rigidità dielettrica (V/ m) 3·106 20·106 90·106 24·106 16·106 50·106 25·106 4·106 60·106 20·106 45 Vettore induzione elettrica ● ● in presenza di dielettrici è utile utilizzare una nuova grandezza, il vettore induzione dielettrica D, D definito come D = 0 E P = 0 r E nel caso del vuoto il flusso di D attraverso una superficie chiusa risulta q D = ∮ D⋅d S = ∮ 0 E⋅d S = 0 = q 0 – ● il flusso del vettore induzione attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica q racchiusa all'interno della superficie si dimostra che questo è vero anche in presenza di un dielettrico D = ∮ D⋅d S = ∮ E⋅d S = q libera 46 Unità Unità di misura ➫ la polarizzazione e l'induzione dielettrica hanno la stessa unità di misura (C/m2) ➫ la densità di energia elettrostatica in presenza di dielettrici risulta u = 1 2 0 r E 2 dove E è il campo risultante dalla sovrapposizione del campo elettrico esterno e da quello dovuto alla polarizzazione del dielettrico 47 Esercizio Consideriamo il sistema di condensatori in figura, con – C1 = 12 F – C2 = 5.3 F – C3 = 4.5 F calcolare la capacità equivalente del sistema ● – C p = C 1∥C 2 = C 1C 2 = 17.3 F – per risolvere il problema bisogna scomporre in parti il sistema: – – si trova la capacità del parallelo dei condensatori C1 e C2 (Cp) avremo quindi la capacità totale si trova CT – 1 1 = C 3 C 1C 2 −1 che ha il valore di C T = 3.57 F si calcola la capacità della serie C3 e Cp 48 Esercizio Due condensatori piani C1 e C2 con armature di area S uguale distanti rispettivamente d1 = 1 cm e d2 = 3 cm sono carichi e collegati in parallelo. In queste condizioni il campo elettrico del condensatore C1 vale E1 = 104 V/m e l'energia elettrostatica di tutto il sistema vale W = 5.91·10-8 J. Calcolare: Una lastra di dielettrico di spessore d = 1 cm e costante dielettrica relativa k viene inserita in C1 e un'altra di materiale conduttore di spessore s = 1 cm viene inserita in C2 parallelamente alle armature ed equidistante da esse. In queste condizioni il campo elettrico in C1 vale E1* = 4/9·104 V/m, calcolare: a) le densità di carica 1 e 2 presenti sulle armature c) le densità di carica 1* e 2* presenti sulle armature b) la carica totale del sistema d) la polarizzazione P del dielettrico 49 Esercizio ● la densità di carica sul condensatore C1 si ricava immediatamente dal campo elettrico E1 1 E1 = ⇒ 1 = E 1 0 0 −8 2 = 8.85⋅10 C / m ● Ricordiamo che l'energia elettrostatica di un condensatore è data da 1 W = QV 2 da cui possiamo ricavare poiché i condensatori sono in parallelo la differenza di potenziale ai capi delle armature è uguale 2 V 1 = E 1 d 1 = V 2 = E 2 d 2 = 10 V da cui ricaviamo E2 = la carica totale non è ricavabile dalla densità in quanto non conosciamo la dimensione delle armature V2 1 = ⋅104 V / m d2 3 e quindi 1 4 −12 2 = 0 E 2 = ⋅10 8.85⋅10 3 −8 2 = 2.95⋅10 C / m −8 ● 2W 2⋅5.91⋅10 Q = = V 100 −9 = 1.18⋅10 C nel secondo caso la carica elettrica totale rimane costante (essendo il sistema isolato) 50 Esercizio cambiano però le capacità dei conduttori: C1' = k C 1 il condensatore C2 con inserito il conduttore è assimilabile alla serie di due condensatori uguali di capacità C1 −1 C 1 1 1 C 2 '−1 = = C1 C1 2 il parallelo di C1' e C2' è allora 1 C T ' = C 1 'C 2 ' = C 1 k 2 ma non conosciamo k la differenza di potenziale ai capi dei condensatori C1' e C2 ' è ∗ V '=E 1 d 1=44.4V per poter proseguire dobbiamo determinare la dimensione delle armature Q = 1 2 S ⇒ S = = 0.01 m Q 1 2 2 da cui la capacità di C1 C 1 = 0 da S −12 = 8.85⋅10 F d1 Q = C T'V ' e quindi 1 Q C 1 k = 2 V' Q 1 ⇒ k = −0.5 = 2.5 V ' C1 dalla E ∗ 1 1∗ = k 0 51 Esercizio ricaviamo ∗ 1 ∗ −8 = E 1 k 0 = 9.83⋅10 C / m 2 ed infine ∗ ∗ ⇒ 2 ● ∗ 1 2 = 1 2 ∗ −8 2 = 1 2− 2 = 1.97⋅10 C / m la polarizzazione si ricava da ∗ P = k −10 E 1 ∗ −8 2 P = k −1 0 E 1 = 5.9⋅10 C / m 52 Esercizio Un condensatore piano ha le armature di dimensioni d×d distanti h ed è parzialmente riempito con una lastra di materiale dielettrico di costante dielettrica relativa k che è inserita per un tratto x. Calcolare la forza F necessaria perché la lastra venga inserita nel condensatore a velocità costante v nei seguenti due casi: a)il generatore è staccato b)il generatore è collegato ● sperimentalmente notiamo che la lastra viene risucchiata all'interno del condensatore con una forza F. Intuitivamente possiamo dire che le cariche presenti sulle armature attirano le cariche, di segno opposto, che compaiono per induzione sulla superficie del dielettrico. Per inserire a velocità costante il dielettrico dobbiamo applicare una forza esterna Fext in modo che m a = F F ext = 0 Per determinare la forza studiamo l'energia del sistema 53 Esercizio ● il sistema possiamo pensarlo come il parallelo di due condensatori ● la capacità equivalente del sistema risulta C T = C 1C 2 = 0 0 d = d −x kx h Questo sistema ha una energia potenziale U legata al campo elettrico. Sappiamo che F = −∇ U ∂U ⇒ F =− ∂x Il condensatore di sinistra (1) ha dimensioni (d-x)×d×h mentre quello di destra (2) x×d×h. La capacità di un condensatore piano è data da ● S C = k quindi avremo0 h d −x d h xd = 0 k h C 1 = 0 C2 d −x d xd 0 k h h quando il generatore è scollegato l'unico contributo all'energia potenziale del sistema viene dalla sua energia elettrostatica 1 U e = CV 2 2 54 Esercizio nel nostro caso C dipende da x (da quanto spazio viene occupato dal dielettrico), quindi anche V non sarà costante, la carica elettrica Q rimane costante Q = CV perciò possiamo scrivere 2 1Q U = e quindi 2 C 2 dU e 1 2 d 1 1 Q dC = Q = − dx 2 dx C 2 C 2 dx dove 0 d dC d 0 d = d −x kx = k −1 dx dx h h quindi 2 dU e 0 d 1 2 h = − Q 2 2 k −1 dx 2 0 d d −x kx 2 h da cui ricaviamo F = 1 2 h k −1 1 Q 2 0 d [d k−1 x ]2 dal momento che k > 1 e x > 0 (per costruzione) F risulta sempre positiva, e quindi concorde con il verso crescente di x (da destra verso sinistra), quindi la forza dovuta alla carica depositata tende a far entrare il dielettrico La forza che dobbiamo applicare per far muovere il dielettrico di moto uniforme è quindi 1 2 h k −1 1 F ext = − Q 2 0 d [d k −1 x ]2 55 Esercizio ● nel caso in cui il condensatore sia collegato ad un generatore la differenza di potenziale risulta costante mentre la carica varia. Per un avanzamento dx del dielettrico la capacità aumenta di 0 d dC = k −1dx h a cui corrisponde una variazione di carica 0 d dQ = VdC = V k−1dx h questa variazione di carica è dovuta al lavoro del generatore 2 dW gen = VdQ = V dC = 2 0 d V k−1 dx h La variazione di energia elettrostatica del condensatore è data da 1 2 dU e = V dC 2 il lavoro fornito dal generatore viene utilizzato per metà per variare l'energia elettrostatica del condensatore, l'altra metà va a finire nel lavoro della forza che agisce sul dielettrico dW = F dx = dW gen −dU e = dU e = 1 2 0 d V k −1 dx 2 h da cui ricaviamo 1 2 0 d F = V k −1 2 h anche in questo caso F > 0 in questo caso F è costante 56 Corrente Elettrica ● quando due conduttori a potenziali diversi vengono collegati mediante un terzo conduttore, questo è sede di una corrente elettrica ➥ è percorso da un insieme di cariche che si spostano dal conduttore a potenziale più alto all'altro in modo ordinato – raggiunto l'equilibrio la corrente cessa ➯i conduttori si possono mantenere a un dato potenziale ➯ la differenza di potenziale rimane costante ➯ si ottiene una corrente costante ● la corrente elettrica è dovuta al moto ordinato delle cariche elettriche ➠non tutte le cariche in movimento danno luogo a una corrente elettrica 57 Corrente Elettrica – gli elettroni all'interno di un filo di rame isolato si muovono in modo casuale con una velocità dell'ordine di 106 m/s ● se consideriamo una sezione del filo gli elettroni di conduzione si muovono in entrambi i sensi ➙non c'è un trasporto netto di carica, non c'è corrente elettrica – il flusso d'acqua che attraversa un tubo per innaffiare il giardino porta un flusso di cariche positive (i protoni) ma non c'è trasporto netto di carica in quanto trasporta anche cariche negative (elettroni) in egual misura 58 Corrente Elettrica (cont.) ● ● ● si definisce intensità di una corrente elettrica il rapporto tra la carica che attraversa una sezione del conduttore in un intervallo di tempo e tale intervallo: Q i = t in modo più rigoroso questa va formulata in termini differenziali: dQ i = dt l'unità di misura della corrente elettrica nel Sistema Internazionale è l'ampere (A) ➠ questa è una unità fondamentale, da essa si ricava l'unità di misura della carica elettrica dalla relazione: 1 A = 1C /s 59 Corrente Elettrica (cont.) ● l'ampere è quella corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, e posti a 1 m di distanza, produce su ognuno di questi conduttori una forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza – 1 A corrisponde al passaggio di 1 C in 1 s attraverso la superficie considerata ➠ poiché la corrente elettrica descrive il moto delle cariche elettriche essa ha un verso: ➥ il verso della corrente è quello nel quale si muoverebbero le cariche positive, anche se gli effettivi portatori di carica sono negativi ➯il verso della corrente non è il verso del moto dei portatori di carica 60 Generatori ● dispositivi in grado di mantenere costante una differenza di potenziale – sono pile, accumulatori o generatori di tensione ➠i dispositivi reali garantiscono la costanza della tensione solo entro certi valori ● pile e accumulatori generano la differenza di potenziale per mezzo di processi chimici ● generatori di tensione in genere utilizzano una fonte elettrica esterna per fornire la tensione desiderata ● la tensione in uscita può dipendere dalle condizioni ambientali (per i dispositivi chimici) e dal carico collegato (per tutti) – i generatori di tensione vengono schematizzati col seguente simbolo 61 Circuito elettrico ● collegando le estremità del generatore con un conduttore creiamo un circuito chiuso in cui circola corrente elettrica ➯ la presenza di una differenza di potenziale ai capi del conduttore implica la presenza di un campo elettrico lungo il conduttore ➯ il moto delle cariche è dovuto alla presenza del campo elettrico nel conduttore 62 Corrente Elettrica ● in un conduttore metallico la corrente elettrica è dovuta al moto degli elettroni ➠ gli elettroni di un conduttore di rame hanno velocità con direzione casuale dell'ordine di 106 m/s ➠ la corrente diretta degli elettroni viaggia a una velocità di deriva molto più bassa ➠in una tipica applicazione domestica la velocità di deriva è dell'ordine di 10-3 m/s ● la corrente elettrica può essere espressa in termini di velocità di deriva vd: i = n Aevd 63 Corrente Elettrica (cont.) i = n Aevd – n è il numero di cariche per unità di volume – A è l'area della sezione del filo – e è la carica elettrica dell'elettrone – vd è la velocità di deriva ➭ il moto dei portatori di carica viene impedito dal sistema di molecole: ➠ l'elettrone viene accelerato dal campo elettrico presente ➠ l'elettrone urta una molecola e cambia direzione ➠perde velocità lungo la direzione del conduttore 64 Corrente elettrica ● ● in una regione di un conduttore abbiamo – n+ portatori di carica +e per unità di volume – n- portatori di carica -e in presenza di un campo elettrico E i portatori si muoveranno sotto l'azione di una forza F = qE originando una corrente elettrica – il moto delle cariche negative avviene in verso opposto – indichiamo con vd la velocità lungo la direzione di E 65 Corrente elettrica ● ● la corrente è definita come q dq i = lim = dt t 0 t consideriamo una superficie che formi un angolo con il campo elettrico E – ● nell'intervallo di tempo t le cariche percorrono una distanza vdt la carica complessiva che attraversa la superficie d in un tempo t è quella contenuta nel volume d = v d t d cos 66 Corrente elettrica ● conoscendo la densità di cariche positive otteniamo q = n e d = n e v d t d cos la corrente che passa attraverso la superficie d risulta q di = = n e v d d cos possiamo quinditdefinire il vettore densità di corrente j = n evd 67 Corrente elettrica ● possiamo riscrivere di = j⋅n d l'intensità di corrente attraverso la superficie finita è i = ∫ j⋅n d se la superficie è ortogonale a j avremo i = j ➫ la densità di corrente è la corrente che attraversa l'unità di superficie perpendicolare alla direzione del moto delle cariche – se, come nei conduttori, i portatori di carica sono gli elettroni j = −n − e v − 68 Corrente elettrica ➠ se i portatori di carica sono sia gli elettroni che gli ioni, come nei semiconduttori o nei fluidi j = −n − e v − n e v sperimentalmente si osserva che j = E questa è la legge di Ohm della conduttività elettrica ● la costante è una grandezza caratteristica del conduttore detta conduttività elettrica ➜ molto spesso è scritta nella forma E = j con 1 = 69 Resistenze ● applichiamo una differenza di potenziale V ad un conduttore di lunghezza h: B V = ∫ E⋅d s = Eh A la corrente che percorre il conduttore è E i = j = ⇒ E = i possiamo quindi scrivere h V = Eh = i che possiamo scrivere come V = Ri con h R = 70 Resistenze ➫ un conduttore a cui sia applicata una differenza di potenziale V viene percorso da una corrente elettrica i tale che il loro rapporto è una costante: V = R i ● questa osservazione sperimentale si traduce nella legge di Ohm per i conduttori metallici: metallici – ● il rapporto tra la differenza di potenziale applicata agli estremi di un conduttore e l'intensità della corrente che la percorre è costante tale rapporto costante viene detto resistenza elettrica R ➥ dipende dalle caratteristiche del conduttore 71 Resistenze ● l'unità di misura della resistenza è l'Ohm Ohm () 1V 1 = 1A ➠ si dice ohm la resistenza elettrica di un conduttore che, sottoposto alla differenza di potenziale di 1 V, sia percorso dalla corrente di 1 A ➠ la resistenza elettrica di un conduttore è direttamente proporzionale alla lunghezza di questo, inversamente proporzionale alla sua sezione e dipende dalla natura del materiale h R = ➠ è una costante caratteristica del materiale detta resistività o resistenza specifica del conduttore 72 Resistenze (cont.) ● una caratteristica dei conduttori è che la resistenza varia con la temperatura, per variazioni della temperature contenute vale R t = R 0 1 t una legge analoga vale per la resistività t = 0 1 t ● è il coefficiente termico della resistenza (si misura in °C-1) ➯la resistenza fornisce una stima dell'attrito che gli elettroni incontrano nel moto all'interno del conduttore 73 Resistenza Materiale argento rame oro alluminio stagno mercurio carbonio germanio silicio acqua vetro resistività resistività (Ωm) 1.59 · 10-8 1.67 · 10-8 2.35 · 10-8 2.65 · 10-8 11.0 · 10-8 98.4 · 10-8 1.38 · 10-5 0.46 2.30 · 103 2 · 105 10 10 ÷ 10 14 coefficiente termico (° (°C-1) 4.1 · 10-3 6.8 · 10-3 4.0 · 10-3 4.3 · 10-3 4.7 · 10-3 -0.5 · 10-3 -48 · 10-3 -75 · 10-3 74 Resistenze in serie ● quando si considera un conduttore con specifico riferimento alla sua resistenza elettrica lo si rappresenta con il simbolo seguente: ● consideriamo un insieme di resistenze collegate in serie, siano Ri i loro rispettivi valori e Vi le differenze di potenziale alle quali esse sono sottoposte 75 Resistenze in serie ● la corrente i che attraversa queste resistenze è la stessa ● – gli elettroni non possono fermarsi nei conduttori, formerebbero un accumulo di carica e ciò è incompatibile con la natura dei conduttori quindi: V i = Ri i – la differenza di potenziale ai capi della serie è la somma delle differenze di potenziale n V = – n Vi ∑ i=1 = n Ri i ∑ i=1 = i ∑ Ri i=1 indicando con R la resistenza totale del sistema avremo n V = R i = i ∑ Ri i=1 76 Resistenze in serie (cont.) – quindi n R = Ri ∑ i=1 ➠ la resistenza di un sistema di resistenze in serie è pari alla somma dei valori delle singole resistenze 77 Resistenze in parallelo ● consideriamo ora il caso di n resistenze Ri poste in parallelo – ai capi di ogni singola resistenza abbiamo la stessa differenza di potenziale V – ogni singola resistenza è percorsa da una corrente ii tale che – V = ii R i la somma totale delle correnti ii è pari alla corrente totale i immessa nel circuito n i = ii ∑ i=1 78 Resistenze in parallelo – tale corrente è anche il rapporto tra la differenza di potenziale applicata ai capi del sistema e la resistenza totale: V R i = – quindi V = R – da cui segue 1 = R n V ∑ i=1 R i n ∑ i=1 1 Ri ➜ l'inverso della resistenza di n resistori in parallelo è uguale alla somma dei reciproci delle resistenze dei singoli resistori 79 Potenza di una corrente elettrica ● consideriamo una carica dq che si muove attraverso la differenza di potenziale V – viene compiuto il lavoro dW = Vdq = V idt e spesa la potenza dW P = = Vi dt ➠ la potenza di una corrente continua è data dal prodotto della sua intensità per la differenza di potenziale che attraversa ● nel caso di una resistenza avremo 2 P = V i = Ri in un intervallo di tempo finito il passaggio di una corrente i comporta il t t lavoro W = ∫ Pdt = ∫ R i2 dt 0 0 80 Effetto Joule ● questo lavoro è necessario per vincere la resistenza opposta dal reticolo cristallino al moto ordinato degli elettroni ➠ da un punto di vista termodinamico, esso viene assorbito dal conduttore la cui energia interna aumenta ➟l'energia interna di un corpo è proporzionale alla sua temperatura, quindi aumenta la temperatura del corpo ● l'effetto di riscaldamento di un conduttore percorso da corrente elettrica si chiama effetto Joule – una resistenza R percorsa da una corrente elettrica i dissipa in calore una potenza 2 P = V i = Ri 81 Esercizio Si consideri una tipica resistenza di filo avvolto a spirale per riscaldamento, costituita da una lega di nichel, cromo e ferro (chiamata comunemente nichelcromo) avente una resistenza di 72 . Quale è la potenza dissipata nei due casi seguenti? 2)Il filo viene tagliato a metà e viene applicata la differenza di potenziale V = 120 V a entrambi i pezzi di resistenza ● ● 1)Viene applicata una differenza di potenziale V = 120 V su tutta la lunghezza della resistenza La potenza dissipata da una resistenza R a cui sia applicata una differenza di potenziale V è data da 2 V V P = Vi = V = R R nel primo caso la potenza dissipata risulta essere: 120V P = 72 2 = 200W 82 Esercizio ● nel secondo caso, per ogni metà della resistenza si applica quanto applicato al caso 1), quindi la potenza dissipata da una metà risulta essere 2 120V P = = 400W 36 la potenza complessiva dissipata risulta quindi il doppio di questo valore – P T = 800 W questo è giustificato dal fatto che questa situazione è equivalente a quella che si avrebbe raddoppiando la differenza di potenziale 83 Generatore reale ● un generatore di tensione reale ha sempre una resistenza interna non nulla – – supponiamo che la resistenza interna del generatore r sia 10 e la resistenza esterna R sia 1 k, in questo vaso la differenza di potenziale ai capi della resistenza è ℰ VR = R = ℰ⋅0.9901 r R se la resistenza esterna vale 20 la differenza di potenziale ai capi della resistenza R vale ℰ VR = R = ℰ⋅0.6667 r R ➠minore è la resistenza interna r del generatore migliore è il generatore 84 Generatore di corrente ● un generatore di corrente ideale è un generatore in grado di fornire una corrente indipendente dal carico collegato al generatore ● – un generatore di corrente è schematizzabile come in figura in questo caso la corrente erogata dal generatore è rR i = ℰ rR la corrente che circola in R è ℰ iR = R mentre quella assorbita dalla resistenza interna è ℰ ir = r con iRir = i 85 Generatore di corrente – la frazione di corrente utilizzabile è quindi ℰ iR R r = = i rR r R ℰ rR 86 Esercizio dimostrare che nel circuito elettrico mostrato si ottiene il massimo trasferimento di potenza su una resistenza esterna R quando R è uguale alla resistenza interna r del generatore ● in questo circuito ℰ sta ad indicare la forza elettromotrice del generatore – un generatore reale presenta sempre una resistenza interna che riduce la differenza di potenziale utilizzabile ● l'intensità della corrente è data da ℰ i = Rr la potenza dissipata su R è quindi R 2 2 P R = Ri = ℰ Rr 2 per determinare quando abbiamo dissipazione massima possiamo derivare PR rispetto a R dP R 2 r −R = ℰ dR Rr 3 che è chiaramente nulla per r = R questo è un massimo in quanto la derivata seconda risulta negativa 87 Esercizio ● in condizioni di massimo la corrente vale ℰ i = 2r inferiore al massimo valore possibile La potenza spesa dal generatore è 2 ℰ P = 2r mentre quella dissipata dalla resistenza risulta 2 ℰ PR = 4r 88 Leggi di Kirchhoff ● ● un circuito elettrico viene spesso definito col termine rete elettrica gli elementi geometrici della rete sono: ➛nodi ➛rami ● – un nodo è un punto nel quale convergono almeno 3 conduttori – i nodi sono collegati da rami in cui possono esserci elementi attivi (generatori) e passivi (resistenze) – all'interno di una rete ci possono essere dei percorsi chiusi, detti maglie l'analisi delle reti elettriche è possibile utilizzando le due leggi di Kirchhoff 89 Leggi di Kirchhoff ● prima legge di Kirchhoff o legge dei nodi: la somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla: ∑ ik = 0 k – ● ci dice che in un punto non possiamo accumulare carica, è una generalizzazione del principio di conservazione della carica seconda legge di Kirchhoff o legge delle maglie: la somma algebrica delle forze elettromotrici presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica dei prodotti Rkik: Rk ik ∑ k = ℰk ∑ k 90 Leggi di Kirchhoff – nell'uso delle leggi di Kirchhoff bisogna mettere i vari termini con i segni corretti V A −V B = Ri V A −V B = −Ri 91 Circuito RC ● consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione, da una resistenza R e da un condensatore C in serie – se il circuito è aperto non c'è passaggio di corrente e il condensatore rimane scarico (se inizialmente era scarico) – se chiudiamo il circuito il generatore preleva carica da un'armatura e la porta sull'altra ● il processo continua fino a che la differenza di potenziale V ai capi del condensatore è uguale alla forza elettromotrice ℰ ● durante il processo la resistenza R viene percorsa da una corrente i ➛ai capi della resistenza V è VR = Ri 92 Circuito RC ● ● ai capi del condensatore troveremo una differenza di potenziale proporzionale alla carica q presente sulle armature q VC = C in un qualsiasi istante avremo ℰ = V R V C la carica sulle armature non è costante e anche la corrente elettrica varia nel tempo, quindi possiamo scrivere q t ℰ = Rit C ricordando che la corrente è definita come it = quindi scriviamo dq t dt dq t q t ℰ = R dt C 93 Circuito RC che possiamo riscrivere come dq t q t R = ℰ− dt C che è chiaramente una equazione differenziale di primo grado, separando le variabili possiamo scrivere dq t dt = − RC q t−ℰ C integrando ambo i membri otteniamo q t dq t dt = − ∫ q t−ℰ C ∫ RC 0 0 l'integrazione porta a q t−ℰ C t ln = − RC −ℰ C da cui ricaviamo − q t = ℰ C 1−e t RC 94 Circuito RC ● la tensione ai capi del condensatore risulta t quindi − q t V C t = = ℰ1−e RC C mentre la corrente che circola si ottiene derivando rispetto al tempo la carica t t − dq t d ℰ − RC RC it = = ℰ C 1−e = e dt dt R la differenza di potenziale ai capi della resistenza risulta quindi t V R t = Rit = ℰ e – ● verifichiamo che − − t RC RC − t RC V = V R tV C t = ℰ 1−e ℰ e = ℰ la carica finale presente sulle armature del condensatore è q0 = ℰC 95 Circuito RC ● il fattore RC ha le dimensioni di un tempo V C C [RC ] = ⋅F = ⋅ = = s A V A lo indichiamo con il nome costante di tempo del circuito RC = RC – questa costante ha la seguente caratteristica: ● dopo un tempo la carica presente sulle armature del condensatore è q = ℰ C 1−e − RC 1 = q 0 1− = q 0 1−0.367879 e analogamente per VC V C = ℰ 1−e – − RC 1 = ℰ 1− e dopo un tempo pari a 3 la tensione risulta essere − V C 3 = ℰ 1−e 3 RC = ℰ 1− 1 3 e = ℰ1−0.05 96 Circuito RC ● la potenza fornita dal generatore risulta essere t 2 ℰ − RC P gen = ℰ it = e R mentre la potenza dissipata sulla resistenza risulta 2t 2 − ℰ P R = R i t 2 = e RC R la potenza associata al condensatore è dq dW PC = V C = dt dt dove W è il lavoro corrispondente all'aumento dell'energia elettrostatica − t t − ℰ P C = V C it = ℰ1−e RC e RC = R t 2t ℰ − RC ℰ − RC e − e R R da cui ritroviamo la conservazione dell'energia P gen = P R P C 97 Circuito RC ● nel processo di carica del condensatore nel circuito RC – – il 50% del lavoro del generatore viene impiegato per accumulare energia elettrostatica tra le armature del condensatore il 50% del lavoro del generatore viene dissipata sulla resistenza R indipendentemente dal valore di R e C ∞ W gen ∞ t ℰ 2 − RC = ∫ P gen t dt = ∫ e dt = C ℰ 2 0 0 R ∞ WR = ∫ P R t dt = 0 ∞ U e = ∫ P C t dt 0 = 1 C ℰ2 2 1 2 Cℰ 2 98 Circuito RC – una volta caricato il condensatore stacchiamo il generatore ● ● se il circuito è aperto la carica rimane sulle armature del condensatore se chiudiamo il circuito abbiamo una differenza di potenziale VC ai capi della resistenza e quindi una corrente i = VC/R q t = V R = Rit C dove dq C t it = − dt il segno negativo deriva dal fatto che la carica elettrica sulle armature del condensatore diminuisce dq C t q C t = − dt RC VC = 99 Circuito RC separando le variabili otteniamo dq C t dt = − q C t RC q t dq C t dt = − ∫ q C t ∫ RC q 0 0 da cui ricaviamo q t ln = − q0 RC e quindi t − q t = q 0 e RC la differenza di potenziale ai capi delle armature del condensatore risulta t t − q 0 − RC q t V C t = = e = V 0 e RC C C mentre la corrente elettrica risulta t t q 0 − RC V 0 − RC VC dq t it = − = e = e = dt RC R R 100 Circuito RC ● ● RC ha le dimensioni di un tempo e anche in questo caso viene indicato come costante di tempo la potenza dissipata sulla resistenza R vale 2 2t V 0 − RC 2 P R = Rit = e R l'energia dissipata durante l'intero processo di scarica è ∞ WR ∞ 2t V 20 − RC q 20 = ∫ P R dt = ∫ e dt = R 2C 0 0 101 Onde quadre ● consideriamo il circuito in figura in cui abbiamo un interruttore che alternativamente può collegare un generatore di tensione in serie ad una resistenza e un condensatore oppure escluderlo collegando direttamente un altro ramo di circuito ● ai capi del sistema composto da resistenza più condensatore avremo una differenza di potenziale che varrà ℰ quando è collegato il generatore e varrà 0 quando il generatore viene escluso 102 Onde quadre ● nell'intervallo di tempo in cui il generatore è attivo il condensatore è nella fase di carica, nell'intervallo in cui il generatore è escluso il condensatore si trova nella fase di scarica ● se l'intervallo di tempo durante il quale il generatore rimane attivo è troppo breve la carica del condensatore non sarà completa ➠ la differenza di potenziale ai suoi capi sarà inferiore a quella del generatore ➠ anche il processo di scarica partirà da un potenziale inferiore 103 Onde quadre ➠ chiaramente anche il processo di scarica non viene completato ● dopo un tempo pari a 5 nel processo di carica la tensione raggiunta ai capi del condensatore risulta essere: 5 − V C 5 = ℰ 1−e RC = ℰ 1− 1 = ℰ⋅0.9933 5 e quindi possiamo ritenere, con buona approssimazione, che la carica sia completa ● analogamente si prova che il processo di scarica dopo un tempo pari a 5 può ritenersi concluso V C 5 = ℰ e − 5 RC = ℰ 1 = ℰ⋅0.0067 5 e 104 Filtri ● circuiti RC opportunamente collegati con segnali dipendenti dal tempo funzionano da filtro – a seconda di come sono disposti possono fungere da ● ● passa basso: lascia passare segnali con una frequenza più bassa del reciproco della costante di tempo passa alto: lascia passare segnali con una frequenza più alta del reciproco della costante di tempo 105 Correnti alternate ● ● fino ad ora abbiamo considerato correnti o differenze di potenziale costanti, esistono anche correnti o differenze di potenziali che variano nel tempo in modo ciclico, queste sono dette alternate un generatore di potenziale alternato produce una differenza di potenziale che varia nel tempo secondo una legge sinusoidale – il potenziale esegue un ciclo nell'intervallo di tempo (chiamato periodo), la funzione che lo descrive è una funzione seno: è il potenziale di picco t V = V p sin 2 dove Vp 106 Correnti alternate (cont.) ● ● è una fase che definisce V all'istante iniziale se questo potenziale è applicato ad una resistenza R, la corrente che attraversa questa resistenza è data dalla legge di Ohm: t I = I p sin 2 dove Vp Ip = R la frequenza dell'oscillazione è data da: 1 = – in Europa è 50 Hz 107 Potenza di Corrente Alternata ● la potenza dissipata da una resistenza R percorsa da una corrente alternata I è data sempre dalla equazione: 2 W = R I t che diventa (assumendo la fase nulla): 2 2 2 W = R [I P sin2 t ] = R I p sin 2 t – la potenza dissipata: ● ● ● è sempre positiva o nulla, varia col tempo, tra 0 e il valore massimo 2 volte, dato che la frequenza non è molto piccola, quello che interessa è la potenza dissipata in media su di un intervallo di tempo. 108 Potenza di Corrente Alternata ● ● ● si può dimostrare che la potenza media dissipata da una resistenza R è: 1 2 2 W = RI = R I p 2 è utile utilizzare il valore efficace della corrente, definito come: Ip I rms = 2 possiamo allora scrivere la potenza media come 2 W = RI rms ● ● la formula per il calcolo della potenza media dissipata assume la stessa forma del caso della corrente continua si può anche introdurre il valore efficace per il potenziale: Vp V rms = 2 109 Magnetismo ● ● abbiamo già accennato al fatto che in natura esistono degli elementi capaci di attirare (o respingere) altri corpi la cui causa viene attribuita ad una forza magnetica – la proprietà di attirare la limatura di ferro, mostrata da alcuni minerali di ferro, era già nota nel VII secolo A.C. – questa proprietà non si manifesta su tutto il corpo ma è localizzata in alcuni punti, detti poli un magnete permanente è un corpo in grado di attirare un corpo ferromagnetico (ferro) e di attirare o respingere un altro magnete 110 Magnetismo ● se ad un magnete sospeso al centro mediante un filo avviciniamo una altro magnete si osserva che questo esercita sul primo una certa forza – analogamente al caso elettrostatico possiamo interpretare queste forze in termini di un campo magnetico – una analisi dettagliata porta a stabilire che la forza è repulsiva tra poli dello stesso segno e attrattiva tra poli di segno opposto – esistono solo due specie di poli (positivo e negativo ➠ questo fenomeno non è dovuto alle cariche elettriche in quanto i magneti sono materiali conduttori e l'effetto è indipendente dal fatto che il secondo magnete venga tenuto in mano o meno 111 Magnetismo – se si avvicina ad un magnete una barretta di ferro sottile questo acquista la proprietà di attirare limatura di ferro, soprattutto in prossimità dell'estremità ➠la bacchetta immersa nel campo magnetico è diventata un magnete e possiede due poli di segno opposto – un magnete di piccole dimensioni lasciato libero di ruotare si orienta sempre nella stessa direzione (il nord) ● ● il magnete si comporta come un dipolo il polo che si orienta verso il nord si chiama polo nord 112 Magnetismo ● lo studio forza tra in questo relazione – quantitativo fatto da Coulomb sulla poli magnetici dimostrò che anche caso, per poli puntiformi, vale una ∗ ∗ del tipo q1 q2 F = km 2 r la forma della legge è simile a quella della forza gravitazionale e a quella elettrostatica ➜ la differenza fondamentale è che mentre le cariche elettriche possono esistere isolate i poli magnetici esistono sempre appaiati a formare un dipolo – se prendiamo un magnete e lo spezziamo a metà nella parte del taglio compaiono due poli opposti ● continuando a spezzare il magnete continuiamo a creare dipoli magnetici 113 Magnetismo ● come nel caso del campo elettrico possiamo rappresentare il campo magnetico con linee di forza – la figura mostra le linee di forza di un campo magnetico generato da una barra magnetica ● ● – il campo più intenso si ha vicino alle estremità l'estremità da cui escono le linee di campo è detta polo nord, l'altra polo sud nel caso del campo magnetico possiamo vedere le linee di campo ● la limatura di ferro in presenza di un campo magnetico si dispongono in modo ordinato lungo linee regolari 114 Magnetismo ● il campo magnetico viene indicato col simbolo B, la sua unità di misura del campo magnetico nel sistema internazionale è il Tesla (T) N N 1T = 1 = 1 C⋅m /s A⋅m 115 Magnetismo ● il campo magnetico non è solo dovuto alla presenza di un magnete ➯Oersted mostrò che un ago magnetico posto nelle vicinanze di un filo percorso da corrente tende ad orientarsi in un modo ben definito – si interpreta questo fatto affermando che un filo percorso da una corrente elettrica genera un campo magnetico B ➯Ampere mostrò che anche due fili percorsi da corrente sono soggetti ad una interazione magnetica reciproca ➫ le azioni magnetiche non sono altro che la manifestazione dell'interazione tra cariche elettriche in movimento 116 Magnetismo ● il magnetismo di alcuni materiali si spiega in termini microscopici col fatto che atomi o molecole presentano dei momenti magnetici elementari dovuti al moto degli elettroni – ● anche i costituenti elementari della materia e, p e n hanno un momento di dipolo magnetico ● quello di p e n viene attribuito alla struttura a quark ● quello di e è intrinseco (visto che è puntiforme) Maxwell riscrisse le leggi dell'elettricità e del magnetismo in modo molto compatto da cui risulta che campi elettrici e magnetici non hanno esistenza indipendente ma vanno unificati in un unico concetto di campo elettromagnetico 117 Forza di Lorenz ● una carica elettrica in moto in un campo magnetico subisce una forza F = q v×B detta forza di Lorenz – il modulo della forza vale F = q v Bsin ● – la forza è massima, a parità di velocità carica e campo magnetico, per direzioni ortogonali di valoctà e campo magnetico la forza è sempre perpendicolare alla velocità ● non c'è accelerazione tangente 1 1 2 2 Ek = mv B− mv A = W = 2 2 B ∫ F⋅d s = 0 A 118 Magnetismo ● poiché la forza di Lorentz è ortogonale al campo magnetico in magnetismo si parla di linee di campo e non linee di forze – in elettrostatica le due coincidono 119 Forza magnetica su un conduttore ● la corrente elettrica è dovuta al moto di cariche – in un conduttore percorso da corrente immerso in un campo magnetico i portatori di cariche sono soggetti ad una forza di Lorentz F L = e v d ×B attraverso gli urti col reticolo cristallino questa forza viene trasmessa al filo – un elemento ds di conduttore è soggetto alla forza FL moltiplicata per il numero di portatori contenuti in quell'elemento d F = n ds F L = n ds e v d ×B = ds j ×B da cui ricaviamo d F = i d s×B che è la seconda legge elementare di Laplace 120 Forza magnetica su un conduttore ● ovviamente la forza totale si ottiene integrando F = i ∫ d s×B 121 Campo magnetico prodotto da una corrente ● da misure sperimentali sui campi magnetici prodotti da correnti elementari si ottiene la prima legge elementare di Laplace 0 i d s×u r dB = 4 r 2 dove 0 è la permeabilità magnetica del vuoto H −7 −6 0 = 4⋅10 ~1.26⋅10 ● ● m per un circuito chiuso integrando otteniamo la legge di Ampere-Laplace: 0 i d s×ur B = ∮ 4 r2 un filo rettilineo percorso da corrente genera un campo magnetico 0 i B = u t ×u n 2R 122 Campo magnetico generato da una carica in moto ● ricordando che la densità di corrente è legata alla densità di portatori di carica e alla loro velocità j = nq v possiamo riscrivere la prima legge elementare di Laplace come 0 q v×u r dB = nd 2 4 r dove nd è il numero di cariche che contribuiscono al campo dB, il campo prodotto dalla singola carica risulta allora 0 q v ×u r B = 4 r2 123 Effetto Hall ● consideriamo un conduttore sottile di sezione = ab percorso da una corrente i concorde con l'asse x – se è immerso in un campo magnetico B perpendicolare a j (lungo l'asse y) la forza di Lorentz agisce lungo l'asse z F L = e v d ×B possiamo definire un campo elettrico (equivalente) FL j EH = = v d ×B = ×B e ne ➯possiamo definire in ogni caso un campo elettrico di origine magnetica (un campo elettromotore) E = v ×B 124 Effetto Hall – nel nostro caso EH è orientato lungo l'asse z ● – concorde con l'asse se e > 0 EH, campo di Hall, Hall provoca una deflessione nel moto delle cariche aggiungendo una componente trasversa alla velocità di deriva ● ● il processo tende ad accumulare cariche di segno opposto sulle due facce ortogonali a EH queste cariche generano un campo Eel opposto a EH – ● in condizioni di equilibrio i due campi si annullano a vicenda tra le due facce ortigonali a z E E el = 0 abbiamo una Hdifferenza di potenziale Q ℰH = ∫ E H⋅d z = ±EH b P 125 Effetto Hall ● – il segno è positivo se il portatore di carica è positivo, negativo in caso contrario in modulo la tensione di Hall vale ℰ H = EH b = jBb iB = ne nea questo fenomeno si chiama effetto Hall trasversale ● ● il segno di ℰH fornisce il segno dei portatori di carica dal modulo di ℰH e B si può ricavare la densità ne dei portatori di carica – per la maggior parte dei metalli i portatori di carica risultano negativi e la loro densità è in buon accordo col numero di elettroni di valenza per unità di volume 126 Effetto Hall – per alcuni metalli bivalenti (come lo zinco) e semiconduttori il segno di ℰH corrisponde a portatori di carica positivi ● – questa anomalia è attribuita a una particolare modalità del moto di deriva degli elettroni: gli elettroni vanno a riempire posizioni vuote nel reticolo, dette lacune, lacune creando a loro volta delle lacune nelle posizioni che lasciano libere questo effetto può essere usato per la misura del campo magnetico (sonda di Hall) ● la tensione di Hall può avere valori di 10-6 V, collegando gli estremi P e Q con una resistenza di 10-4 si ottiene una corrente di 10 mA facilmente misurabile 127
