Esercizi sugli stimatori Puntuali

Esercizi sugli stimatori Puntuali
1
Esercizi
1. Sia (X1 , . . . , Xm ) un campione i.i.d. con
α
k
FX (xi ) = 1 −
I[k,∞) (x)I[0,∞) (k)I[2,∞) (α).
x
(1)
(a) Si scriva la funzione di verosimiglianza e si usi il criterio di fattorizzazione per determinare una coppia di statistiche congiuntamente
sufficienti.
(b) Si determinino gli stimatori di max verosimiglianza per i parametri
α e k.
(c) Si determinino gli stimatori dei due parametri usando il metodo dei
momenti.
(d) Si discutano quali sono le proprietà godute dagli stimatori trovati nei
punti precedenti. In particolare si dica se sono stimatori corretti e
consistenti, e se ne calcoli l’MSE (errore quadratico medio) e varianza.
(e) Dato il campione (2.18, 3.06, 3.06, 3.74, 3.62, 4.58, 3.2, 2.32, 2.27, 9.31)
si applichino gli stimatori trovati ai punti precedenti per stimare α e
k.
(f) Secondo voi per quale motivo α è posto maggiore di 2?
2. Sia (X1 , . . . , Xm ) un campione i.i.d. con
FX (xi ) = xθ
−1
I[0,1) (x)I[0,∞) (θ).
(2)
(a) Si scriva la funzione di verosimiglianza e si usi il criterio di fattorizzazione per determinare una statistica sufficiente.
(b) Si determini lo stimatore di max verosimiglianza per θ.
(c) Si determini lo stimatore di θ usando il metodo dei momenti.
(d) Si discutano quali sono le proprietà godute dagli stimatori trovati nei
punti precedenti. In particolare si dica se sono stimatori corretti e
consistenti, e se ne calcoli l’MSE (errore quadratico medio) e varianza.
(e) Dato il campione (0.11, 0.02, 0.17, 0.24, 0.09, 0., 0.15, 0., 0., 0.29) si applichino gli stimatori trovati ai punti precedenti per stimare θ.
1
2
Alcune Soluzioni
1. Distribuzione di Pareto
(a) La log-likelihood è
log L(α, k)
= m log α + mα log k − (α + 1)
= m log α + mα log k − (α + 1)
m
X
i=1
m
X
log xi I[k,∞) (xmin )
log xi I[0,xmin ) (k)
i=1
con xmin = mini=1,...,m (x
Ne segue il criterio di fattorizzazione e
Pi ).
m
l’identificazione in sα = i=1 log xi e sk = xmin come statistiche congiuntamente sufficienti. (Attenzione, ogni funzione di una statistica
sufficiente rimane una statistica sufficiente, per cui anche il prodotto
delle xi è una statistica sufficiente).
(b)
k̂M L
= xmin
α̂M L
=
m
i=1 (log xi − log xmin )
Pm
(c) Da
kα
α−1
=
k2 α
(α − 2)(α − 1)2
=
E[X] =
V [X] =
m
X
i=1
m
X
Xi = X
(Xi − X)2 = σ 2
i=1
segue
k̂M M
α̂M M
=
=
r 2
2
− σ2 X + σ2 + X + σ2
r
σ2
X
X + σ2 + σ2
2
σ2
(d) Gli stimatori proposti sono distorti. Questo passaggio è un po’ complicato da calcolare, vi risparmio.
(e) Lascio a voi i conti
(f) Pensate a quando è definita la media e la varianza per la distribuzione
di Pareto
2
(g) Provate a calcolare il twisting argument per il parametro A con specificazione α supponendo di conoscere k. Quale legge di distribuzione
segue A?
2. Distribuzione nell’Esercizio 2
(a) La log-likelihood è
log L(θ) = −m log θ + (θ−1 − 1)
m
X
log xi I[0,1] (xi )
(3)
i=1
La statistica sufficiente per θ è nuovamente sλ =
(b)
θ̂M L =
Pm
Pm
i=1 (log xi
m
i=1
log xi .
(4)
(c) Da
E[X] = (1 + θ)−1 =
m
X
Xi = X
(5)
i=1
segue
θ̂M M =
1−X
X
(6)
(d) Forse ho richiesto troppo con la domanda sulle proprietà. Rischio di
scrivere un sacco di calcoli inutilmente. Sono tutti relativi al calcolo
della distribuzione dello stimatore. L’importante è che vi sia chiara
l’idea.
(e) Lascio a voi i conti
(f) Provate a calcolare il twisting argument per il parametro Θ con specificazione θ. Quale legge di distribuzione segue Θ?
3