Operazioni inverse dell`elevamento a potenza

Le Potenze
Def:
Si dice POTENZA n-ESIMA (potenza ennesima) di un numero il prodotto di quel numero n
volte. L’operazione con la quale si calcola la potenza si dice ELEVAMENTO a POTENZA.
𝑎𝑛 = 𝑏 (a elevato n uguale b)
𝐚 = BASE
n = ESPONENTE
b = POTENZA
Esempio:
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81
53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125
Osservazione: le potenze con esponente due e tre si dicono anche al QUADRATO e al CUBO.
Esempio:
23 si legge 2 alla terza o 2 al cubo. 82 si legge 8 alla seconda o 8 al quadrato.
Proprietà delle Potenze
1. il prodotto di potenze che hanno la stessa base è la potenza che ha per base la stessa
base e per esponente la somma degli esponenti:
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Es:
25 ∙ 23 = 25+3 = 28
perché: 25 ∙ 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 28
2. il quoziente di potenze che hanno la stessa base è la potenza che ha per base la stessa
base e per esponente la differenza degli esponenti:
𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
Es: 37 : 33 = 37−3 = 34
3. la potenza di una potenza è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente il
prodotto degli esponenti:
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
Es:
(23 )5 = 23∙5 = 215
perché:
(23 )5 = 23 ∙ 23 ∙ 23 ∙ 23 ∙ 23 =
= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 215
4. il prodotto di più potenze che hanno basi diverse, ma esponenti uguali, è la potenza
che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:
𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 ∙ 𝑐 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐)𝑛
Es:
24 ∙ 34 ∙ 104 = (2 ∙ 3 ∙ 10)4 = 604
5. il quoziente fra due potenze che hanno basi diverse, ma esponenti uguali, è la potenza
che ha per base il quoziente fra le basi e per esponente lo stesso esponente:
𝑎𝑛 ∶ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∶ 𝑏)𝑛
Es:
156 : 56 = (15: 5)6 = 36
6. qualunque potenza di 1 è uguale a 1:
1𝑛 = 1 per ogni numero n.
Es:
14 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
17 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
7. qualunque potenza di 0 è uguale a 0, tranne quella con esponente uguale a 0, che non
ha alcun significato:
0𝑛 = 0
per ogni numero n diverso da 0;
Es:
04 = 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0
06 = 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0
00 non ha significato
8. un qualsiasi numero, diverso da 0, elevato a 0 da sempre 1:
𝑎0 = 1;
Es:
30 = 1
12345820 = 1
0,346820 = 1
(4) = 1
80 = 1
3 0
10 = 1
85 : 85 = 85−5 = 80 = 1
9. un qualsiasi numero elevato a 1 ha come potenza se stesso:
𝑎1 = 𝑎
Es:
31 = 3
01 = 0
1231 = 123
 quando un numero non ha l’esponente, allora l’esponente è 1!!!
USO DELLE TAVOLE NUMERICHE
Per calcolare le potenze al quadrato o al cubo di numeri interi, si possono utilizzare le tavole
numeriche:
 la prima colonna contiene i numeri interi da 1 a 1000
 La seconda colonna contiene i numeri della prima elevati a 2
 La terza colonna contiene i numeri della prima elevati a 3
 n
 𝑛2
 𝑛3
Es: Calcolare 743 = 405224
 Si cerca la riga del 74 e si legge il numero corrispondente alla terza colonna
Per calcolare le potenze al quadrato o al cubo di numeri decimali, si possono utilizzare le
tavole numeriche, con un accorgimento:
 Cercare il numero sulle tavole, senza la virgola;
 Se l’esponente è 2  si mette la virgola nel risultato dopo un numero di cifre
DOPPIE rispetto a quelle che ci sono nella base
 Se l’esponente è 3  si mette la virgola nel risultato dopo un numero di cifre
TRIPLO rispetto a quelle che ci sono nella base
Es: 1,82 = 3,24
 Cerco 18 sulle tavole
 Trovo che 182 = 324
 Nella base c’è 1 numero decimale  nel risultato ce ne saranno 2
Es:
6,43 = 262,144
 Cerco 64 sulle tavole
 643 = 262144
 Nella base c’è un numero decimale  nel risultato dovranno essere 3
NUMERI IN FORMA ESPONENZIALE
Le potenze di 10:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1′000
104 = 10′000
Regola: per calcolare le potenze di 10 si mette 1 seguito da tanti 0 quanto vale l’esponente.
Le potenze di 0,1:
0,10 = 1 = 100
0,11 = 0,1 = 10−1
0,12 = 0,01 = 10−2
0,13 = 0,001 = 10−3
0,14 = 0,0001 = 10−4
Regola: si mette l’1 nella posizione decimale indicata dall’esponente.
Def: un numero molto grande o molto piccolo si scrive in forma esponenziale, o
NOTAZIONE SCIENTIFICA, quando si scrive come prodotto di un numero intero per una
potenza positiva o negativa di 10.
Es:
8′ 000′ 000 = 8 ∙ 1′ 000′ 000 = 8 ∙ 106
250′ 000′ 000 = 25 ∙ 10′000′000 = 25 ∙ 107
0,00004 = 4 ∙ 0,00001 = 4 ∙ 10−5
Def: un numero si scrive in NOTAZIONE POLINOMIALE, nel modo seguente:
7′563 = 7 ∙ 1′ 000 + 5 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 3 ∙ 1 = 7 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 3 ∙ 100
2,3681 = 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0,1 + 6 ∙ 0,01 + 8 ∙ 0,001 + 1 ∙ 0,0001 =
= 2 ∙ 100 + 3 ∙ 10−1 + 6 ∙ 10−2 + 8 ∙ 10−3 + 1 ∙ 10−4
Operazioni inverse dell’elevamento a potenza
Estrazione di radice:
è l’operazione che permette di trovare la base conoscendo l’esponente e la potenza.
Esempi:
3
√27 = 3
perché
33 = 27
5
√32 = 2
perché
25 = 32
√64 = 8
perché
82 = 64
Logaritmo:
è l’operazione che permette di trovare l’esponente conoscendo la base e la potenza.
Esempi:
log 8 64 = 2 perché
log 5 125 = 3
82 = 64
perché
53 = 125
perché
150 = 1
log 2 32 = 5 perché
25 = 32
log15 1 = 0