MATEMATICA 1 - Università degli Studi di Perugia

a.a. 2010-2011 Programma del corso di:
MATEMATICA 1 (CFU 12) [M]
DOCENTE: Anna Salvadori
OBIETTIVI:
Il corso si prefigge lo scopo di introdurre alla modellizzazione matematica nelle scienze applicate,
in particolare in ingegneria, fornendo conoscenze e competenze matematiche di base, senza
trascurare gli aspetti del rigore e dell’astrazione che sono peculiari di questa disciplina
CONTENUTI:
Il corso è articolato per temi. Il loro svolgimento sarà accompagnato dagli argomenti classici di
analisi e calcolo numerico indispensabili per l’apprendimento.
Sintesi dei contenuti
Modelli dinamici discreti. Processi iterativi e ricorsivi. Teorema delle contrazioni. Algoritmi di
approssimazione
Studio dell’evoluzione dinamica (sup/inf, limiti, continuità, derivata).
Mappe conservative (teorema degli zeri e di Weierstrass).
Applicazioni della derivata. Studio di funzione. Problemi di ottimizzazione.
Zeri di una funzione: esistenza, unicità, localizzazione delle soluzioni, algoritmi di approssimazione
(bisezione; metodi di linearizzazione: regula falsi, secanti, Newton-Raphson).
Fitting di dati (minimi quadrati; interpolazione polinomiale e mediante spline).
Integrazione secondo Riemann. Approssimazione dell’integrale (formule di Newton-Cotes).
Applicazioni dell’integrale. Area, volume, centro di massa.
Dai modelli discreti ai modelli continui. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine.
Esistenza, unicità, calcolo delle soluzioni (variabili separabili, omogenee, lineari).
Soluzioni approssimate: metodo delle epsilon-soluzioni, algoritmi one step (Eulero, Heun, RungeKutta).
Equazioni differenziali lineari di ordine superiore.
Sere numeriche. Criteri di convergenza (rapporto, Leibnitz, assoluta convergenza).
Approssimazione polinomiale. Serie di Taylor.
Si raccomanda la frequenza a tutte le attività didattiche.
PREREQUISITI:
Insiemi numerici. Elementi di logica. Elementi di trigonometria. Soluzioni di equazioni e
disequazione di II grado, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e fratte. Funzioni elementari e
loro grafici. E’ consigliata la conoscenza di un CAS (Computer Algebra System).
TESTI CONSIGLIATI:
P.Brandi – A.Salvadori, Prima di iniziare. Conoscenze e competenze matematiche di base per
l’Università (2010) e-book
P.Brandi – A.Salvadori, Percorsi di Matematica (2010) disponibile in rete
Ad integrazione del testo saranno distribuite in rete schede didattiche.
MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO:
La verifica consiste in una prova scritta della durata di tre ore e di un colloquio di circa 15 minuti.
La prova scritta prevede quesiti aperti sugli argomenti del corso.