PROGRAMMA ANALISI I - MODULO A Preliminari Cenni di logica: il
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PROGRAMMA ANALISI I - MODULO A VITTORIO COTI ZELATI Preliminari Cenni di logica: il calcolo proposizionale. I predicati. Insiemi, relazioni e funzioni. Il principio d’induzione. Cardinalità di un insieme, insiemi infiniti, disposizioni, combinazioni. Formula per le potenze di un binomio. I numeri reali Assiomi dei numeri reali. Massimi, minimi ed estremo superiore (e inferiore) di insiemi numerici. Le funzioni elementari (modulo, funzioni linerari e affini, potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche). Non numerabilità di R. I numeri complessi Numeri complessi: definizione e prime proprietà. Modulo, diseguaglianza triangolare, radici n-esime di un numero complesso. Successioni Definizione di limite di successione. Limiti di somma, prodotto. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno, Teorema dei due carabinieri. Successioni monotone, il numero e. Successioni estratte, Teorema di Bolzano-Weierstrass. Punti di aderenza e punti di accumulazione. Criterio di Cauchy. Massimo e minimo limite e loro caratterizzazione. Limiti di funzioni e continuità Definizione di limite per funzioni. Limite destro e sinistro. Limite di somma, prodotto, quoziente. Funzioni continue. Classificazione delle discontinuità. Teorema sull’esistenza degli zeri. Continuità della somma, prodotto, quoziente e composta di funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema valori intermedi. Continuità e monotonia, continuità delle funzioni inverse. 1 2 VITTORIO COTI ZELATI Derivate Definizione di derivata e prime proprietà. Derivabilità della funzione somma, prodotto e quoziente. Derivabilità della funzione composta e della funzione inversa. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Derivate e monotónia. Testo adottato [3]. Testi Consigliati [1] J. P. Cecconi and G. Stampacchia, Analisi matematica 1o volume, Liguori, Napoli, 1974. [2] E. Giusti, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri, 1983. [3] P. Marcellini and C. Sbordone, Analisi matematica uno, Liguori, Napoli, 1998. [4] G. Prodi, Analisi matematica, Programma di Matematica, Fisica, Elettronica, Bollati Boringhieri, Torino, 1970. [5] W. Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 1991.
