universit`a degli studi di padova facolt`a di - Docenti
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI INGEGNERIA anno accademico 2010/2011 corso di laurea triennale in ingegneria biomedica, dell’informazione, elettronica ed informatica (Canale 3) programma d’esame di analisi matematica 1 N.B. Gli argomenti indicati sono stati trattati a lezione e possono essere ritrovati nei testi consigliati: Analisi Matematica 1, di L. Baracco e G. Zampieri, Bollati Boringhieri; Analisi Matematica I, di C. Canuto ed A. Tabacco, Springer; Analisi Matematica 1, di A. Marson et al., Carocci. Salvo indicazione contraria, si intende che tutte le dimostrazioni svolte a lezione sono incluse nel programma. Per altre informazioni, si rimanda alla home page del corso: http://www.math.unipd.it/∼dagnolo/analisi1.html 1. Logica e insiemi. * Elementi di logica matematica: e, o, non, implica, quantificatori * Elementi di teoria degli insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti ed insieme prodotto * Relazioni d’ordine e di equivalenza * Funzioni * Cenni sulla cardinalità * Calcolo combinatorio * Principio di induzione 2. Insiemi numerici. * Assiomi dei corpi totalmente ordinati * Numeri reali: sezioni, completezza, esistenza delle radici quadrate (senza dimostrazioni) * Estremo inferiore e superiore * Numeri complessi * Forma esponenziale di un numero complesso, radici complesse 3. Successioni e serie. * Limite di una successione * Unicità del limite * Algebra dei limiti * Successioni monotone * Il numero di Nepero * Teoremi sui limiti: permanenza del segno, confronto, due carabinieri * Sottosuccessioni * Criterio di Cauchy * Teorema di Bolzano-Weierstrass * Somma di una serie * Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice, di condensazione (senza dimostrazione del criterio di condensazione) * Convergenza assoluta * Criterio di Leibniz * Serie prodotto (senza dimostrazione) * Teorema del punto fisso (senza dimostrazione) * Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà; calcolo del raggio * Serie di Taylor: integrazione e derivazione termine a termine, criterio di convergenza (senza dimostrazione) 4. Limiti e continuità. * Limiti di funzioni * Topologia: intorni, punti di accumulazione, aderenza ed isolati, insiemi chiusi, aperti e compatti * Relazione coi limiti di successioni * Teoremi sui limiti analoghi a quelli per successioni * Limite della composta * Limiti notevoli * Simboli di Landau, operazioni con gli o-piccolo * Teorema di Weierstrass * Funzioni continue: esistenza degli zeri, continuità dell’inversa, continuità delle funzioni elementari * Continuità uniforme 6. Calcolo differenziale. * Rapporto incrementale, derivata * Formule di derivazione: somma, prodotto, quoziente, composte e inverse * Punti critici * Teoremi di Fermat, di Rolle, di Cauchy, di Lagrange * Formula dell’incremento finito * Regola di De l’Hospital * Studio della monotonia con la derivata prima * Studio della convessità con la derivata seconda * Formula di Taylor col resto di Peano e di Lagrange * Sviluppi notevoli * Sviluppo di somme, prodotti, quozienti e composte * Cenni alle serie di Taylor * Primitive * Integrazione per sostituzione e per parti * Primitive di funzioni razionali 7. Calcolo integrale. * Integrale di Riemann * Integrabilità delle funzioni monotone * Integrabilità delle funzioni continue * Teorema fondamentale del calcolo * Integrali generalizzati * Complementi: criterio di convergenza integrale per serie
