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Corso di Energetica A.A. 2013/2014
Energia Eolica – Parte Quarta
Prof. Ing. Renato Ricci
Dipartimento di Ingegneria Industriale e Scienze Matematiche
Università Politecnica delle Marche
1
Tubo di Flusso
Gli aerogeneratori sono macchine in grado di estrarre energia cinetica dal vento convertendola in energia meccanica
disponibile all’asse della macchina.
Solamente la portata d’aria che attraversa la sezione della macchina sarà soggetta alla conversione dell’energia,
possiamo quindi separare l’aria che attraversa il rotore dall’aria che non viene elaborata dalla macchina.
Supponiamo di estendere nella direzione del vento, a monte e a valle della macchina, la sezione di confinamento
sopra descritta; il volume di flusso racchiuso dalla superficie di cosi ottenuta viene comunemente chiamato tubo di
flusso o stream tube.
2
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 1
Nel 1920 Albert Betz pensò di applicare la teoria di Rankine sviluppata per le eliche propulsive ad un’elica motrice,
con le seguenti ipotesi:
 Flusso stazionario.
 Flusso incomprimibile.
 Flusso inviscido.
 Flusso irrotazionale.
 Rotore con numero infinito di pale aventi corda infinitesima.
Le ultime 2 ipotesi valgono per un osservatore lontano, il quale non sarà in grado di vedere ne la rotazione del flusso
in scia alla macchina ne la geometria della turbina ma solo l’effetto di quest’ultima sul flusso.
Ipotizzando il flusso irrotazionale l’unico effetto della macchina sul flusso che ci si aspetta è una variazione di
pressione statica e di quantità di moto assiale.
3
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 2
Un osservatore lontano vedrà un incremento della pressione statica del fluido già a monte della macchina dovuto
alla presenza della turbina e conseguentemente una riduzione della velocità.
La turbina si comporterà come un ostacolo poroso producendo una caduta localizzata di pressione statica del fluido
mentre la velocità non subirà variazioni discontinue.
A valle della macchina la pressione aumenta nuovamente fino al valore del flusso indisturbato; di conseguenza la
velocità continuerà a diminuire anche a valle del disco attuatore.
Attraverso il tubo di flusso la portata dovrà essere costante quindi a fronte della riduzione di velocità se ne avrà un
aumento della sezione di passaggio.
4
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 3
Attraverso il tubo di flusso, la portata dovrà essere costante quindi a fronte di una riduzione di velocità si avrà un
aumento della sezione di passaggio.
L’unica azione che possiamo valutare è la spinta in direzione assiale, resistenza del disco poroso, mediante il salto di
pressione monte valle al disco attuatore. Tale azione produrrà una riduzione della quantità di moto assiale in uscita
dal tubo di flusso.
5
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 4
Possiamo applicare l’equazione di Bernoulli tra la sezione di ingresso dello stream tube e la sezione immediatamente
a monte della turbina e tra la sezione immediatamente a valle e l’uscita dello stream tube. Non è possibile applicarla
a tutto il tubo di flusso a causa della presenza delle forze esterna nella sezione del rotore.
1
1
2

p   U  p d  U2d
2
2
p d 
1
1
U2d  p   U2w
2
2
p 
1
1
1
1
U2  p d  U2d  p d  U2d  p   U2w
2
2
2
2
1
1
U2  p d  p d  U2w
2
2

p d  p d 
1
U2  U2w 
2
6
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 5
Per un osservatore lontano la spinta T (thrust) sul disco sarà pari alla variazione di quantità di moto assiale fra
l’ingresso e l’uscita dello stream tube.
La stessa grandezza è possibile calcolarla anche come resistenza di forma del disco attuatore, pari cioè alla differenza
di pressione monte valle del tubo di flusso.
T  U AU  Uw Aw Uw
Ricordando che la portata che attraversa il tubo di flusso è costante potremo esprimere il flusso di quantità di moto
in una generica sezione come il prodotto fra la portata calcolata nella sezione del rotore e la velocità del flusso nella
generica sezione considerata.
U A  Ud Ad  Uw Aw
T  Ud Ad U  Uw 
Ud U  Uw  
Ud
U  Uw

2




Ad pd  pd
1
 U2  Uw2
2

Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 6
L’unica velocità nota nel tubo di flusso è quella del vento indisturbato U∞ all’ingresso,
dunque per poter proseguire nella trattazione Froude introdusse due coefficienti, detti
coefficienti di induzione assiale, che legano le velocità nella varie sezioni a quella iniziale.
U d  1  a  U 
U w  1  b  U 
Il flusso all’uscita del tubo di flusso non potrà rientrarvi all’interno quindi al minimo la
velocità potrà annullarsi, e di conseguenza al massimo b potrà essere pari ad 1.
Introducendo ora la relazione precedentemente ottenuta fra le tre velocità possiamo
legare i due coefficienti.
U  1  b U
b
1  aU 
 1  a  1 
2
2
b
1
a
bmax  1  amax 
2
2
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 7
Nota la forza che il fluido esercita sul disco e la velocità nella stessa sezione si potrà calcolare la
potenza estratta dalla macchina.
P  TUd  Ud A d
U
2

U
2
2
w

La potenza aumenterà al diminuire della velocità in uscita al tubo di flusso poiché diminuisce la
frazione di energia cinetica persa allo scarico. Annullando la velocità allo scarico possiamo ottenere il
massimo della potenza..
2

max
d d
P
U
 U A
2
La potenza messa a disposizione dal vento, su di una sezione pari a quella occupata dal disco
attuatore, sarà data dal prodotto fra la portata attraverso il disco e l’energia cinetica ad essa
associata.
3

disp
d
P
U
 A
2
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 8
Si possono ora definire due differenti coefficienti adimensionali relativi alla potenza:
l’efficienza η ed il coefficiente di potenza Cp.
Il primo ci dice quanta potenza abbiamo estratto rispetto alla massima estraibile; il
secondo ci dice quanta potenza è stata estratta dal vento rispetto a quella che lo stesso ha
messo a disposizione.
U
 U2w 
Ud A d
2

U
P
U
d
w
2

Cp 


1

U3
Pdisp
U 
U2
A d
2
2

2

P
Uw

  1  2
Pmax 
U






Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 9
È possibile esprimere sia il Cp sia il rendimento solo in funzione del coefficiente di induzione assiale a. Questo ci
permette di cercare il valore di a per cui si massimizzano e il valore massimo stesso.

Cp  1  a  1  1  2a 
Cp  4a 1  a 
2


 1  a  4a  4a 2

2
  4a 1  a 
dCp
da
a
 4 1  a   8a 1  a   0  1  a  2a
1
3
2
 Cp max 
16
 0.5926
27
L’efficienza massima si raggiunge quando a vale 0.5, e sarà pari a 1. Tra i due coefficienti il più interessante è
sicuramente il coefficiente di potenza il quale pone un limite alla conversione dell’energia cinetica del vento in
energia meccanica. Questo limite non è legato alle caratteristiche geometriche della macchina, ancora non sono
state introdotte, ma bensì al rallentamento che il vento subisce già a monte della macchina.
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 10
Il limite di Betz è il limite teorico massimo di uno stream tube ad espansione libera, come quello descritto
precedentemente. Diversamente, in flussi confinati artificialmente il limite di Betz può essere superato, è questo il
caso dei rotori cosi detti intubati.
L’aumento di prestazioni per questa tipologia di macchine è da ricercarsi nell’aumento di portata che attraversa il
tubo di flusso rispetto alla stessa tipologia di macchina posta in un flusso libero.
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 11
1
0.9
Efficienza
0.8
0.7
Cp
0.5926
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3333
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
a
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
L’andamento non monotono del Cp è spiegabile tenendo in considerazione il legame tra la portata che attraversa il tubo di flusso e la
capacità di prelevare energia dallo stesso.
Il flusso vede l’estrazione di energia come un ostacolo, quindi maggiore sarà l’energia conferita alla macchina minore sarà la portata.
Visto in termini del coefficiente di induzione assiale a avremo che a bassi valori di «a» estraiamo energia dal flusso, quindi la portata
attraverso il tubo di flusso sarà elevata ma la potenza meccanica all’asse bassa.
Al crescere di a aumenta l’energia prelevata dalla corrente fluida così come le perdite nell’attraversare lo stream tube, ciò causerà una
riduzione della portata d’aria.
Se il valore di a è troppo alto le perdite sono tali per cui, nonostante si abbia un aumento dell’energia estratta, la riduzione di portata
attraverso il tubo di flusso porta ad una diminuzione della potenza all’asse della macchina.
13
Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 12
Altro parametro adimensionale interessante è il coefficiente di spinta CT, ottenuto adimensionalizzando la spinta T
con il prodotto della pressione dinamica per la sezione del rotore.


1

Ad U 2  U w2
2
U
T
CT 
 2
 1  w2
1
1
U
2
U  Ad
U 2 Ad
2
2
2
CT  1  1  2a   4a 1  a 
Un aumento del CT produrrà una maggiore espansione della scia, necessaria a garantire la conservazione della
portata nel tubo di flusso anche a valle del rotore.
Cio è dovuto al legame fra il CT e il coefficiente di induzione assiale, infatti alti valori di CT si hanno con elevati valori
di a, il che si traduce in un maggior rallentamento del flusso.
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Teoria di Betz o Teoria Impulsiva Assiale - 13
Misure sperimentali dimostrano che la teoria di Betz è valida solo per bassi valori di a. Il motivo per cui decade la
teoria per elevati valori del CT è la distruzione del tubo di flusso a valle del rotore, dovuta alla formazione di vortici
ai bordi dello stream tube.
Questi inducono forti rimescolamenti fra la scia all’interno del tubo di flusso e la corrente esterna, il che impedisce la
definizione di un confine netto fra le due regioni e quindi del tubo di flusso necessario allo sviluppo delle teorie
finora viste. Come vedremo più avanti per poter utilizzare ugualmente le teorie che si basano sui bilanci di quantità
di moto si introdurranno degli opportuni coefficienti derivanti da relazioni empiriche.
Aumento del CT
15
Teoria Impulsiva Vorticosa - 1
Nella teoria di Betz tutto il flusso che attraversa il rotore non viene influenzato dalla rotazione delle pale, ciò comporta
che tutta la variazione della quantità di moto è solo assiale; in realtà la rotazione del rotore porta alla formazione di una
scia controrotante che, nell’ipotesi di flusso non viscoso, seguita ad espandersi in modo continuo dietro al rotore stesso.
La componente tangenziale della velocità, che è nulla sul bordo di entrata della pala, diventa pari a “wr” all’uscita della
pala stessa; ciò porta ad una perdita di energia cinetica nel flusso principale con una conseguente riduzione della potenza
estraibile dal rotore stesso. Mediamente si può assumere che sulla pala la velocità tangenziale media sia uniformemente
distribuita e pari a : “wr/2”
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Teoria Impulsiva Vorticosa - 2
La azioni aerodinamiche su ognuna delle sezioni della pala sono riassumibili nella RISULTANTE “R”, posizionata del
CENTRO di PRESSIONE (C.P.). Rispetto al sistema di riferimento fluido la Risultante può essere scomposta nelle
componenti PORTANZA (L’) e RESISTENZA (D’), diversamente nel sistema di riferimento rotore le componenti diventano :
la FORZA TANGENZIALE (S’) e la SPINTA ASSIALE (T’). Ognuna di queste componenti ha le dimensioni d una forza per unità
di lunghezza perché è relativa ad una sezione della pala e non alla pala intera. La forma adimensionale delle componenti
ora discusse è data dai propri COEFFICIENTI, che sono in relazione fra loro secondo la:
CT '  CL '  cos   CD '  sen ;
CS '  CL '  sen  CD '  cos 
17
Teoria Impulsiva Vorticosa - 3
Dall’analisi dei triangoli di velocità sulla pala emerge che l’angolo di flusso può essere rappresentato secondo le formule
sotto riportate e che ci consentono di esprimere il Blade Section Speed Ratio in funzione dei coefficienti di Induzione
assiale e tangenziale, o viceversa.
Conservazione dell’Entalpia Totale di un flusso isotermo , non viscoso ed incomprimibile
Attraverso il rotore l’entalpia totale del fluido deve conservarsi, trascurando la parte termica del contributo entalpico,
la cui variazione è nulla durante una trasformazione ISOTERMA, si avrà:
1
1
1
1
2
2
2
   U 2  1  a      2  r 2  pd      U 2  1  a       2  r 2  1  2  a ' 
2
2
2
2
1
1
 pd      2  r 2  4a '  a ' 1     U 2  4a '  a ' 1  r 2
2
2
pd  
pd 
Teoria Impulsiva Vorticosa - 4
La Spinta ASSIALE sull’elemento radiale del rotore per la Teoria Impulsiva Vorticosa è calcolabile come:




dT  pd   pd   dAr  2    a ' (1  a ')  2  r 2  2    r  dr 
mentre la spinta ASSIALE secondo la Teoria Impulsiva assiale è data da:




dT  pd   pd   dAr  2    a  (1  a)  U2  2    r  dr 
2
2
a  (1  a)    r 
r 

2
2
2
2
che uguagliate l’una all’altra forniscono:

  r  T     T  r *
a ' (1  a ')  U 
R 
Allo stesso modo la Spinta Longitudinale è calcolabile come:
dS  dm     w   r    r    2    r  dr    U    (1  a )  2  a '   r 
da cui il momento sull’elemento di rotore può essere calcolato:
dM  dS  r  (1  a )  a ' 4      U    r 3  dr
 r 3
 U

dM  (1  a )  a ' 4      U   2  U3   d    r 

  



U 3
5 1
3
2
dM  (1  a)  a ' 4      U  3  r  d r  (1  a)  a ' 4    R   


 U 2  3

    d r
   R2  r


U3  1  3
dP  8  (1  a)  a '  Ar    

  r  d r
2  T 2 

U 3
dM  8  (1  a)  a '  Ar    
2
 1  r 3  d r
 2 
 

 T 

19
Teoria Impulsiva Vorticosa - 5
La POTENZA estratta dal rotore sarà così data da:
P

U  1 
dP  8   Ar    


2  T 2 
3
T

(1  a )  a ' r 3  d r
0
Teoria Impulsiva Vorticosa
CP 
P
U 3
  Ar 
2

8
T 2
Teoria Impulsiva Assiale
T


(1  a )  a ' r 3  d r
CP  4  a  (1  a )2
0
Dall’analisi del Coefficiente di potenza offerto dalla Teoria Impulsiva Vorticosa emerge che lo stesso viene massimizzato
in funzione del valore assunto dal termine “a’(1-a)”; è possibile pertanto cercare una soluzione che rende massimo il Cp
andando a ricavare a’ dalla relazione trovata nel caso della SPINTA ASSIALE, ossia:
2
2
a  (1  a)    r 
2
2 r 
2
2

  r  T     T  r *
a ' (1  a ')  U 
R 
a ' 1,2 
1 
 1  r 1  r 2  4a  (1  a ) 

2 
Trascurando la soluzione per la quale a’ è minore di zero e moltiplicando ogni membro per (1-a) si ottiene:
a ' (1  a ) 
1
 (1  a )   1  r 1  r 2  4a  (1  a) 


2
20
Teoria Impulsiva Vorticosa - 6
Derivando a ' (1  a ) 
1
 (1  a )   1  r 1  r 2  4a  (1  a)  e ponendo il risultato uguale a zero si arriva alla


2
determinazione delle condizioni per le quali la potenza viene massimizzata, ossia:
r
max

1  a    4a  12
1  3a
;
a ' max 
1  3a
4a  1
limitando all’intervallo 1/4 ≤ a ≤ 1/3 il campo di variazione del fattore
di induzione assiale.
Blade Element Theory (BEM)- 1
1
2
La teoria della scia vorticosa vista in precedenza ci mette a disposizione delle relazioni per le quali fissato il valore del
fattore di induzione assiale si è in grado di calcolare le prestazioni della turbina, ma nulla ci dice su cosa condiziona i valori
dei fattori di induzione né tanto meno ci collega agli aspetti aerodinamici della pala. Per far ciò dobbiamo analizzare, in una
sezione qualunque della pala, la risultante aerodinamica, R’, scomposta nei due sistemi di riferimento principali: L’ e D’, nel
sistema solidale al fluido e F’n e F’t nel sistema solidale al corpo.
dT  N  F 'n dr Spinta assiale sulla sezione c(r) dr
dM  N  ( F 't dr )  r
Blade Element Theory (BEM)- 2
Uguagliando la Spinta Assiale ed il Momento alle relazioni analoghe trovate in base alla teoria della scia vorticosa
si arriva a:
  (U   U w )  (   2    r  U o  dr )  (U   (1  2  a )  U  ) 
dT  N  F 'n dr  dm
 (   2    r  U   (1  a )  dr )  2  a  U     4    r  U  a  (1  a )  dr
2
  (  r  (1  2a ' )    r )  r  (   2    r  U o  dr )    r 2  2a '
dM  N  ( F 't dr )  r  dm
   4    U     a '(1  a )  r 3  dr
Sostituendo alle forze normali e tangenziali la loro espressione in termini di coefficienti adimensionali avremo:
N  F 'n dr  N  cn 
  Vrel 2
2
N  ( F 't dr )  r  N  ct 
 c(r )  dr    4    r  U  a  (1  a )  dr
  Vrel 2
2
2
 c(r )  r  dr    4    U     a '(1  a )  r 3  dr
Sostituendo infine a Vrel le relazioni (1) e (2) della pagina precedente si arriva alle:
U   (1  a ) 2 N  c(r )
U   (1  a ) 2
2
cn 


c



(
r
)

4

U
n
 a  (1  a )
sen 2
2   r
sen 2
 ( r )  cn 4  a
1
N  c(r )


a


(
r
)

Solidità

3
4  sen 2
sen 2
1 a
2   r
1
 ( r )  cn
2
2
Blade Element Theory (BEM)- 3
Operando analogamente sull’equazione del Momento si ottiene:
ct  Vrel 
2
ct 
N  c(r )
U  (1  a ) r  (1  a ' )
 ct  

  (r )  4  U     a '(1  a )  r
2   r
sen
cos 
1
(1  a ' )
1

  (r )  4  a'  a' 
4  sen  cos 
sen cos 
1
 (r )  ct
4
Utilizzo della BEM per il calcolo delle prestazioni di un rotore esistente
In questo caso dai dati progettuali sono noti: gli angoli di calettamento delle pale, la velocità di rotazione del rotore, la velocità
del vento di progetto, i profili aerodinamici utilizzati nelle diverse sezioni palari e la distribuzione di corda lungo la pala.
Step-1: si impone a(r) = a’(r) = 0
 (1  a )  U  

   r  (1  a' ) 
Step-2: si calcola  (r )  arctan 
Step-3: noto b(r) si calcolano gli angoli di attacco come a(r)= (r) - b(r)
Step-4: dalle tabelle dei profili si calcola cl(r) e cd(r)
Step-5: quindi si passa al calcolo di cn(r) e ct(r)
Step-6: dalle (3) e (4) si calcolano a(r) ed a’(r)
Step-7:
si verifica che i valori di a e a’ appena
trovati siano uguali a quelli ipotizzati
nello Step-1 a meno di un scarto
infinitesimo. Se la verifica ha esito
negativo si riparte dallo Step-2 con i
valori di a ed a’ appena trovati.
Blade Element Theory (BEM)- 4
1
2
3
i
c(i)
c(1)
i+1
NT-1
c(M-1)
NT
c(M)
0.1 ÷ 0.15 R
r(i)
R
Ft (r )  Ai  r  Bi  dM  Ft (r )  r  dr  ( Ai  r 2  Bi  r )  dr
Ai 
Ft (i  1)  Ft (i )
r (i  1)  r (i )
Bi 
Ft (i )  r (i  1)  Ft (i  1)  r (i )
r (i  1)  r (i )
1
1
3
2
M i   Ai  (ri 1  ri3 )   Bi  (ri 1  ri 2 )
3
2
NT 1
M totale  N   M i
i 1
Blade Element Theory (BEM)- 5
La teoria ora discussa non tiene conto delle diverse interazioni che il flusso ha in direzione radiale, interazioni che
assumono un’importanza significativa soprattutto per bassi valori di Tip Speed Ratio (TSR) dove i fenomeni di
separazione locale del flusso possono alterare in modo considerevole i risultati offerti dalla BEM. A ciò si aggiunga anche
il fatto che i fattori di induzione, tangenziale ed assiale, sono stati trovati ipotizzando una struttura di scia vorticosa
generata da un NUMERO INFINITO DI PALE e che per «a > 0.4» la teoria di Betz entra in crisi, dando luogo a valori di
Thrust ben al di sotto dei valori misurati nella realtà.
Per migliorare il metodo BEM in modo da tenere in conto egli ultimi effetti sopra descritti (numero finito di pale ed alti
fattori di induzione assiale) si utilizzano delle correzioni: la correzione di Prandtl e la correzione di Glauert, quest’ultima
a compensazione di elevati valori di «a».
Correzione di PRANDTL: F (r ) 
2

(1) a 
Correzione di GLAUERT: (3) a 
(1) a 
 cos 1 (e  f ( r ) ) dove f (r ) 
1
4  F ( R )  sen 2
1
 ( r )  cn
N Rr

che, introdotta nel calcolo di a ed a’, porta alle:
2 r  sen
(2) a ' 
1
4  F (r )  sen  cos 
1
 (r )  ct
1 
2
 2  K (r )  (1  2  ac )  ( K (r )  (1  2  ac )  2) 2  4  ( K (r )  ac  1)  per a > ac

2 
1
4  F (r )  sen 2
per
a
≤
a
c
e
(
4
)
K
(
r
)

4  F  sen 2
 ( r )  cn
1
 ( r )  cn
Il coefficiente di THRUST può essere trovato mediante le: CT 
a  ac
4  a  (1  a)  F

4  (ac 2  (1  2  ac )  a)  F a  ac
 (2    r  dr )
dT
U
 
2
2
dove ac = 0.2
Blade Element Theory (BEM)- 6
Nel flusso 3D che si instaura su un’ala di un aereo è ben noto che sono i vortici di estremità a modificare i valori dei
coefficienti di portanza e resistenza lungo l’apertura. In una pala di una turbina eolica, a causa della rotazione, entrano in
gioco anche la forza Centrifuga e la forza di Coriolis; l’effetto della prima tende a ridurre la parte ricircolante dei vortici di
estremità nella sezione di depressione, e ad incrementarla nella sezione in pressione. La forza di Coriolis tende invece ad
essere importante solo a basse velocità del vento quando da origine, insieme alla forza centrifuga, alla formazione di una
bolla di separazione sull’estradosso della pala, nelle vicinanze della radice. Tale separazione è da associare alla
distribuzione di portanza sulla pala stessa, che vede nella radice la zona a MAGGIOR PORTANZA e, quindi, quella che
prima delle altre andrà in separazione. In generale lo stallo 3D avviene per angoli di incidenza superiori a quello 2D.
27
Blade Element Theory (BEM)- 7
Il comportamento aerodinamico di un profilo palare deve essere studiato per angoli di incidenza variabili da 0 a 360 gradi, in quanto la velocità relativa
incidente sulla pala presenta un angolo di attacco elevato:; a macchina ferma e durante le fasi di regolazione. Oltre a ciò si aggiunga anche il fatto che la
turbina potrebbe avere il rotore non ortogonale al vento ma in posizioni sensibilmente diverse a seconda di come la macchina è stata arrestata in
precedenza. In letteratura è difficile avere dati sperimentali oltre l’angolo di STALLO, ossia circa 10-15 gradi, e perlomeno per un range fino a 90 gradi è
necessario che il progettista sia in gradi di calcolare la distribuzione dei coefficienti aerodinamici basandosi, ove possibile, da relazioni empiriche
accreditate.
𝒄𝒅
𝒄𝒍
28
Blade Element Theory (BEM)- 8
Analizzando in maggior dettaglio il range di angoli fino a circa 90 gradi si è in
grado di visualizzare al meglio il comportamento del profilo in condizioni di
post-stallo. E’ importante sottolineare come il comportamento a stallo di un
profilo 3D sia migliore dell’analogo 2D, grazie al flusso radiale che riduce il
recupero di pressione nella zona in depressione rallentando, così, la
separazione. Questo effetto diminuisce all’aumentare del raggio. Poiché in
condizioni di flusso fortemente separato, zona di post-stallo, il fenomeno è
poco influenzato dalla forma del profilo alare è possibile trovare in letteratura
delle relazioni empiriche per il calcolo delle prestazioni aerodinamiche.
cl
clmax
Regione di post-stallo
Una delle relazioni maggiormente utilizzate è quella proposta
da SNELL nel 1993 che è basata sui coefficienti di portanza e
resistenza, del profilo bidimensionale, in condizioni di STALLO.
A tali valori va aggiunto il coefficiente di massima resistenza del
profilo, che si ha a circa 90 gradi e che, qualora non fosse noto
da prove sperimentali, può essere assunto pari a 1.3.
as
Angolo di incidenza
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Blade Element Theory (BEM)- 9
2
cl
3D
 c(r ) 
 cl 2 D  3  
  Dcl
 r 
Snell,1993
Nella regione del post-stallo si ha:
cl
cd
cl
2D
2D
cos 2 (a )
 A1  sen(2a )  A2 
sen(a )
 B1  sen 2 (a )  B2  cos(a )
Dcl
dove:
3-D
2-D
A1  0.5  B1 ; B1  cd ,max  1.3
A2  (cl ,max  cd ,max  sen(a s )  cos(a s )) 
B2 
sen(a s )
cos 2 (a s )
1
 (cd , s  cd ,max  sen 2 (a s ))
cos(a s )
Angolo di incidenza
Con cd,s uguale al coefficiente di resistenza all’angolo di stallo e cd,max pari al coefficiente di resistenza
massimo, ossia a circa 90 gradi di incidenza.
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