Problema 1: Un oggetto puntiforme si muove di moto circolare

Problema 1: Un oggetto puntiforme si muove di moto circolare uniforme su una traiettoria circolare di diametro d
percorrendo ng giri al minuto.
1. Calcolare il modulo v del vettore velocità.
2. Calcolare il modulo a del vettore accelerazione.
Problema 2: Il moto armonico semplice di un oscillatore è descritto dalla legge oraria: x(t)=Asen(ωt+φ), con A, ω, e φ
quantità note.
3. Calcolare il modulo dell’accelerazione dell’oscillatore at dopo un dato tempo t.
4. Calcolare il modulo della velocità iniziale v0 .
Problema 3:
Una forza costante di modulo F è applicata ad un punto materiale di massa m e questo si sposta di un tratto s nella direzione
della forza.
5. Calcolare il lavoro L compiuto dalla forza.
6. Se il punto materiale all’inizio è in quiete, calcolare il modulo della velocità vs acquistata dal punto alla fine dello
spostamento s.
Problema 4: Ad un corpo di massa mc , inizialmente in quiete su un piano orizontale, è applicata una forza costante di
modulo F1 tangente al piano.
7. Calcolare il modulo della velocità v1 acquistata dopo un tempo t1 , nell’ipotesi che gli attriti siano trascurabili.
8. Calcolare la potenza, P, erogata dalla forza F1 nel tempo t1 .
9. Calcolare il modulo della velocità v2 raggiunta dopo lo stesso tempo t1 , in presenza di attrito sul piano con coefficiente
di attrito dinamico µd .
Problema 5:
Un corpo di massa m1 scivola dalla cima di un piano inclinato di altezza h e lunghezza, L.
10. Calcolare il lavoro totale compiuto L1 quando il corpo arriva alla base del piano inclinato.
Soluzioni
Problema 1:
1. Il raggio, r, della traiettoria circolare percorsa è r=d/2 . ng giri al minuto corrispondono ad una frequenza angolare di:
ω=
2 π ng
rad/s.
60
La velocità è quindi data da:
v = ωr =
2 π ng r
60
2. Dato che il modo circolare è uniforme è presente solo l’accelerazione normale. Quindi:
a=
v2
2 π ng r 2
= ω2r = (
) r.
r
60
3. Derivando rispetto al tempo la legge oraria si ottiene l’espressione per la velocità: v(t)=A ω cos(ωt+φ). Derivando
rispetto al tempo l’espressione per la velocità si ottiene l’espressione per l’accelerazione:
a(t) = −Aω 2 sen(ωt + φ).
4. Per ottenere la velocità iniziale basta sostituire all’espressione per la velocita’ trovata prima t=0. Quindi:
v(t) = Aωcos(φ).
Problema 3:
5. La forza e lo spostamento hanno la stessa direzione e quindi:
L = F s.
6. Dato che la forza applicata e la massa del corpo sono costanti lo è anche l’accelerazione subita dal corpo che è uguale
ad a=F/m. Si tratta quindi di un moto uniformemente accelerato e perciò:
vs =
√
2as.
Alla stesso conclusione si giungeva applicando il teorema delle forze vive, per cui il lavoro, calcolato precedentemente,
è uguale alla variazione di energia cinetica:
Fs =
√
1
mvs2 → vs = 2as.
2
Problema 4:
7. Dato che la forza applicata e la massa del corpo sono costanti lo è anche l’accelerazione subita dal corpo che è uguale
ad a=F1 /mc . Applicando le leggi del moto uniformemente accelerato si ha:
v1 = at1 =
F1
t1 .
mc
8. Il lavoro, L, compiuto dalla forza costante F1 può essere calcolato con il teorema delle forze vive. Quindi:
L=
1
mc v12 .
2
E perciò la potenza P è:
P =
1
L
= ( mc v12 )/t1 .
t1
2
9. Adesso, in aggiunta alla forza F1 sul corpo agisce anche la forza di attrito dinamico di modulo µd mg che si oppone al
moto del corpo e che quindi scriviamo con il segno negativo, prendendo come verso positivo quello del moto del corpo.
Anche la forza di attrito dinamico è costante e quindi il moto è, anche in questo caso, uniformemente accelerato con
accelerazione:
a2 = F1 /mc − µd g.
Utilizzando le leggi del moto uniformemente accelerato la velocità al tempo t1 si ottiene come:
v2 = a2 t1 = (F1 /mc − µd g)t1 .
Problema 5:
10. Le forze agenti sul corpo sono la forza di gravità e la reazione vincolare del piano inclinato, che è perpendicolare ad
esso. Per il calcolo del lavoro ci interessa solo la componente delle forze agenti lungo il piano inclinato e quindi della
sola forza di gravità. La componente della forza di gravità lungo il piano inclinato è mgsenα, dove senα=h/L. Il lavoro
totale compiuto dalle forze quando il corpo ha percorso il tratto L lungo il piano inclinato è quindi:
L = mgsenαL = mgh.