Compito II – Condensatori, resistenze e circuiti RC

Esercizio 1: In figura a fianco è schematizzato un circuito in cui i condensatori hanno capacità
C2=3.0μF, C4=4.0μF e la batteria genera una ddp di 9.0V. Tutti i condensatori sono inizialmente
scarichi. Quando l’interruttore viene chiuso una carica di 12μC passa attraverso il punto a e una
carica di 8μC passa attraverso il punto b.
Determinare le capacità dei condensatori a) C1 e b) C3.
C2=3.0μF
C4=4.0μF
fem=9.0V
Qa=12μC
Qb=8μC
Dato che sul punto a passa una carica di 12μC e la carica di 8μC passa attraverso il punto b, si
ha che sul condensatore C3 ci sarà una carica Q3=12μC - 8μC = 4μC, mentre su C4 una carica
Q4= 8μC . Poiché C3 e C4 sono collegati in parallelo, Q
8 C
4
VQ4 

 2V
ai loro capi hanno la stessa ddp:
4 F
C4
da cui:
VQ3  VQ4 
Q3
C3
 C3 
Q3 4  C

 2 F
VQ3
2V
Ora, per determinare C1, considerando che C1 , C2 e C34 sono collegati in serie, possiamo
scrivere:
Q
Q 12C
V
dove la capacità equivente è:
Ceq
 Ceq 
1
1
1
1
 

Ceq C1 C2 C34
V


9V
 1.333 F
1
1
1
1



 2.5 105 F 1
C1 Ceq C2 C34
C1  4 F
Esercizio 2: Un condensatore a piatti paralleli ha una capacità di 1.85μF, l'area dei piatti è di
50cm2 e tra i due piatti è posto un dielettrico di costante relativa εr=7.50. Ai capi del
condensatore è applicata una tensione di 235 V. Calcolare:
a) l'intensità del campo elettrico all’interno del condensatore;
b) la quantità di carica libera sui piatti;
c) la quantità di carica superficiale indotta su dielettrico.
Il condensatore viene fatto scaricare tramite una resistenza R = 150Ω.
d) Determinare il tempo che impiega la carica del condensatore a ridursi a 1/e di quella iniziale.
a) l'intensità del campo elettrico all’interno del condensatore
Campo elettrico nel dielettrico è dato da:
E
E0
r

q
0 r  A

C V
 1.3 109 V
m
0 r  A
b) la quantità di carica libera sui piatti è semplicemente:
qlib  C V  4.3 104 C
c) la quantità di carica superficiale indotta su dielettrico:
qind

1
 qlib 1 
 r

4

3.8

10
C


Esercizio 2: Un condensatore a piatti paralleli ha una capacità di 1.85μF, l'area dei piatti è di
50cm2 e tra i due piatti è posto un dielettrico di costante relativa εr=7.50. Ai capi del
condensatore è applicata una tensione di 235 V. Calcolare:
a) l'intensità del campo elettrico all’interno del condensatore;
b) la quantità di carica libera sui piatti;
c) la quantità di carica superficiale indotta su dielettrico.
Il condensatore viene fatto scaricare tramite una resistenza R = 150Ω.
d) Determinare il tempo che impiega la carica del condensatore a ridursi a 1/e di quella iniziale.
q finale  qiniziale  e
d) Scarica del condensatore:

t

La carica si riduce di 1/e della carica iniziale se:
q finale
qiniziale

1
 e1
e

t

1
 t 
  R  C  150 1.85 F  2.8 104 sec
t  2.8 104 sec
Esercizio 3: Nella figura a fianco si hanno R1=1.0Ω, R2=2.0Ω, mentre
E1=2.0V, E2= E3= 4.0V. Qual è l’intensità e la direzione della corrente
a) nella batteria 1;
b) nella batteria 2;
c) nella batteria 3?
d) Qual è la differenza di potenziale Va-Vb?
Possiamo applicare le leggi di Kirchhoff oppure possiamo controllare se il circuito si può
semplificare per simmetria.
Poiché E2= E3 allora R2=2R1, cio’ significa che nella maglia di destra
circola la stessa corrente:
i2  i3  i
posto i2 corrente che attraversa E2 e i3 corrente che attraversa E3.
Analizzando la maglia di sinistra abbiamo sempre R2=2R1 e:
21   2  i1  2i
ricavando la corrente da:
Vb  Va   2  iR2  1  (2i )(2 R1 )
i 
 2  1
4 R1  R2
 0.33A
Esercizio 3: Nella figura a fianco si hanno R1=1.0Ω, R2=2.0Ω, mentre
E1=2.0V, E2= E3= 4.0V. Qual è l’intensità e la direzione della corrente
a) nella batteria 1;
b) nella batteria 2;
c) nella batteria 3?
d) Qual è la differenza di potenziale Va-Vb?
Allora, ricapitolando si ha:
a) La corrente nella batteria ε1 è i1 = 2i = 0.67 A, verso il basso;
b) La corrente nella batteria ε2 è i2 = 0.33 A, verso l’alto:
c) La corrente che attraversa il generatore ε3 è i3 = i2 = 0.33 A,
anch’essa verso l’alto;
d) La ddp è data da:
Va  Vb   2  iR2  3.3V
i2  i3  i
21   2  i1  2i
i  0.33A
Esercizio 4: Nel circuito in figura si hanno R1=850 Ω, R2=250 Ω, R3=750Ω, C=150μF, V=12V.
Inizialmente, l'interruttore è chiuso ed il condensatore è carico. All'istante t = 0 si apre
l'interruttore ed il condensatore comincia a scaricarsi.
Determinare:
a) quanto vale la costante di tempo τ per la scarica
b) quanto vale la tensione ai capi del condensatore
dopo che è trascorso un tempo pari ad una volta la
costante di tempo (cioè dopo un tempo t = τ).
Inizialmente il capacitore è carico, quindi nel ramo
che lo contiene non circola alcuna corrente. Mentre
nella maglia sinistra abbiamo una corrente che attraversa
le resistenze, collegate in serie.
Al tempo t=0, quindi all’apertura dell’interruttore, il
condensatore si scarica, pertanto circolerà una corrente
nel solo ramo di destra. Allora:
a) La costante di tempo è data da
  ReqC   R2  R3  C  0.15sec
b) Al tempo t= τ
VC  VC (0)  e

t

VC (0)
VC  VC (0)  e 
e
t 
1
Esercizio 4: Nel circuito in figura si hanno R1=850 Ω, R2=250 Ω, R3=750Ω, C=150μF, V=12V.
Inizialmente, l'interruttore è chiuso ed il condensatore è carico. All'istante t = 0 si apre
l'interruttore ed il condensatore comincia a scaricarsi.
Determinare:
a) quanto vale la costante di tempo τ per la scarica
b) quanto vale la tensione ai capi del condensatore
dopo che è trascorso un tempo pari ad una volta la
costante di tempo (cioè dopo un tempo t = τ).

t
b) Al tempo t= τ
VC  VC (0)  e
Prima dell’apertura:
Così :
V ( R3 )  0
Ma la ddp ai capi di R2:
V ( R2 )  IR2 

t 

VC  VC (0)  e 1 
perché non circola corrente
VC (0)  V ( R2 )
VC (0)
 1V
e
VC (0)
e
Vbatteria
R2  2.73V
R1  R2