classe 5D 14 Dicembre 2009

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classe 5D
14 Dicembre 2009
Verifica di fisica: Conduttori
Domanda n. 1
Dai la definizione di potenziale elettrostatico. Indica e dimostra il legame tra campo e potenziale.
Dati due piani infiniti carichi con densità superficiale rispettivamente σ1=10-5 C/m2 e σ2=2 10-5 C/m2
determina la differenza di potenziale tra i due piani, sapendo che sono posti alla distanza d=1 m.
Domanda n. 2
Enuncia e dimostra il teorema di Coulomb per i conduttori in equilibrio elettrostatico.
Due sfere conduttrici di raggi rispettivamente R1 e R2=2R1 sono caricate con la stessa carica Q. Detti
E1 ed E2 i moduli dei campi elettrici immediatamente fuori dalla prima e dalla seconda sfera
E
conduttrice, determina se è possibile 1 .
E2
Domanda n. 3
Dai la definizione di capacità elettrica di un condensatore. Scrivi e ricava l’espressione della capacità
di un condensatore piano, trascurando gli effetti di bordo.
Commenta le seguenti affermazione specificando se sono vere o false.
a) Raddoppiando tutte le dimensioni di un condensatore piano, raddoppia la capacità
b) Il grafico della capacità di un condensatore in funzione della carica è una retta passante per
l’origine
c) Il grafico della capacità di un condensatore in funzione del potenziale è una retta orizzontale.
Domanda n. 4
Scrivi quali sono le caratteristiche di un sistema di condensatori collegati in serie ed indica cosa si
intende per condensatore equivalente. Specifica l’espressione della capacità equivalente per una serie
di condensatori
Ai capi della serie di condensatori rappresentati in figura c’è una differenza di potenziale ∆V = 12 V ,
determina carica e differenza di potenziale per ciascun condensatore.
C1=2 µF
Verifica 14 Dicembre 2009 5D
C2=3 µF
C3=5 µF
1
SOLUZIONI
Verifica di fisica
14 Dicembre 2009
Classe 5D
Domanda n. 1
Dai la definizione di potenziale elettrostatico. Indica e dimostra il legame tra campo e potenziale.
Il potenziale elettrostatico in un punto è per definizione il rapporto tra l’energia potenziale che una
E potenziale
carica di prova q avrebbe in quel punto e la carica di prova stessa: V =
, nel S.I. si misura in
q
J/C cioè Volt.
Dalla definizione di energia potenziale si deduce che il potenziale in un punto P è il lavoro del campo
elettrico dal punto P al punto P0 scelto come riferimento, dove con lavoro si intende l’integrale del
prodotto scalare tra campo e spostamento infinitesimo, infatti:
r r
∫ F ⋅ dr
E potenziale PP0
V=
=
per definizione di energia potenziale
q
q
r r
r
∫ F ⋅ dr
F r
PP0
= ∫
⋅ dr per la linearità dell’integrale
q
q
PP0
r
r r
F r
∫ q ⋅ dr = ∫ E ⋅ dr per definizione di campo elettrico
PP0
PP0
Quindi la differenza di potenziale tra due punti è legata al lavoro del campo elettrico secondo la
r r
relazione: V ( A) − V ( B) = ∫ E ⋅ dr
AB
Dati due piani infiniti carichi con densità superficiale rispettivamente σ1=10-5 C/m2 e σ2=2 10-5 C/m2
determina la differenza di potenziale tra i due piani, sapendo che sono posti alla distanza d=1 m.
r r
Dato che V ( A) − V ( B) = ∫ E ⋅ dr si dovrà determinare prima il campo
AB
elettrico tra i due piani, utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti:
r
r
r
σ
σ
N
E = E 2 − E1 = 2 − 1 = 5,65 ⋅ 10 5
.
2ε 0 2ε 0
C
+
+
B
+
+
r
E1
+
+
r +
E2 +
r +
E
+
+
A
Dato che il campo è uniforme, per calcolare la differenza di potenziale si può
r
evitare l’integrale e scrivere semplicemente: V ( A) − V ( B) = E d cos 0° = 5,65 ⋅ 10 5 V
Domanda n. 2
Enuncia e dimostra il teorema di Coulomb per i conduttori in equilibrio elettrostatico.
Il teorema di Coulomb dice che immediatamente fuori da un conduttore in equilibrio elettrostatico il
σ
campo ha modulo pari a
, dove σ è la densità superficiale di carica.
ε0
Per la dimostrazione bisogna prima ricordare che in un conduttore in equilibrio elettrostatico la carica
è solo superficiale, il campo elettrico interno è nullo, mentre quello esterno è perpendicolare al
conduttore stesso. Si considera quindi un cilindro con asse perpendicolare al conduttore, posto come in
figura, tanto piccolo da poter considerare uniforme il campo sulla superficie di base esterna. Il flusso
r
r r
attraverso il cilindro è per definizione pari a: Φ cilindro ( E ) = ∫ E ⋅ dS , tale integrale si riduce però al
cilindro
Verifica 14 Dicembre 2009 5D
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r
r
solo contributo della faccia di base esterna, quindi Φ cilindro ( E ) = E S base cos 0° . Utilizzando il
teorema
di Gauss, il flusso attraverso il cilindro si può anche
r
Q
σS
Φ cilindro ( E ) = int erna = base . Eguagliando le due espressioni si ottiene la tesi.
ε0
ε0
scrivere
come:
Due sfere conduttrici di raggi rispettivamente R1 e R2=2R1 sono caricate con la stessa carica Q. Detti
E1 ed E2 i moduli dei campi elettrici immediatamente fuori dalla prima e dalla seconda sfera
E
conduttrice, determina se è possibile 1 .
E2
σ
σ
Q
Q
Dal teorema di Coulomb: E1 = 1 =
, E2 = 2 =
2
ε 0 4πR1 ε 0
ε 0 4πR22 ε 0
Q
2
E1 4πR12 ε 0  R2 
 = 4
quindi:
=
= 
Q
E2
R
 1
4πR22 ε 0
Domanda n. 3
Dai la definizione di capacità elettrica di un condensatore. Scrivi e ricava l’espressione della capacità
di un condensatore piano, trascurando gli effetti di bordo.
La capacità elettrica di un condensatore è la costante di proporzionalità tra la carica presente sulle
Q
armature e la differenza di potenziale tra le armature: C =
, nel S.I. si misura in Farad. La capacità
∆V
elettrica dipende dalle caratteristiche geometriche del condensatore e dal materiale presente tra le
armature. Per un condensatore piano con armature di area S, distanti d, la capacità nel vuoto è:
Sε
C = 0 . Per la dimostrazione basta ricordare che, trascurando gli effetti di bordo, il campo tra le
d
σ
armature di un condensatore piano è uniforme e di modulo pari a
, quindi la differenza di
ε0
r
Sε
Q
Q
σ
Q
potenziale è: ∆V = E d =
d=
d e dalla definizione di capacità: C =
=
= 0
Q
ε0
d
Sε 0
∆V
d
Sε 0
Commenta le seguenti affermazione specificando se sono vere o false.
a) Raddoppiando tutte le dimensioni di un condensatore piano, raddoppia la capacità
(Vero)Osservando che raddoppiano tutte le dimensioni raddoppia la distanza tra le armature
Sε
quadruplica la superficie, l’affermazione è vera (infatti C = 0 )
d
b) Il grafico della capacità di un condensatore in funzione della carica è una retta passante per
l’origine
(Falso)La capacità è la costante di proporzionalità tra carica e differenza di potenziale, cioè non
dipende dalla carica presente, quindi C in funzione di Q è rappresentata da una retta orizzontale.
c) Il grafico della capacità di un condensatore in funzione del potenziale è una retta orizzontale.
(Vero) La capacità è la costante di proporzionalità tra carica e differenza di potenziale, cioè non
dipende dalla differenza di potenziale tra le armature, quindi C in funzione di ∆V è rappresentata
da una retta orizzontale.
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Domanda n. 4
Scrivi quali sono le caratteristiche di un sistema di condensatori collegati in serie ed indica cosa si
intende per condensatore equivalente. Specifica l’espressione della capacità equivalente per una serie
di condensatori
Tutti i condensatori di un collegamento in serie hanno sulle armature la stessa carica Q, le differenze
di potenziale ai capi dei condensatori non sono necessariamente uguali, dato che le capacità possono
Q
essere diverse (infatti: ∆Vi =
). Il condensatore equivalente è quell’unico condensatore che si
Ci
carica con carica Q quando ai suoi capi è posta una differenza di potenziale pari a quella presente ai
capi della serie, la capacità di tale condensatore è data da: C eq
 1
1
1
= 
+
+ ... +
CN
 C1 C 2



−1
Ai capi della serie di condensatori rappresentati in figura c’è una differenza di potenziale ∆V = 12 V ,
determina carica e differenza di potenziale per ciascun condensatore.
C1=2 µF
C2=3 µF
C3=5 µF
I tre condensatori in figura sono collegati in serie, quindi
−1
 1
1
1 
 = 0,97 µF = 0,97 ⋅ 10 −6 F .
C eq = 
+
+
 C1 C 2 C3 
La carica presente sul condensatore equivalente e quindi su ciascun condensatore della serie è:
Q = C eq ∆V = 11,61 ⋅ 10 −6 C .
Nota Q è quindi possibile determinare la differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore:
Q
Q
Q
∆V1 =
= 5,81V
∆V2 =
= 3,87 V
∆V3 =
= 2,32 V
C1
C2
C3
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