Esame di Fisica II con Laboratorio 20 Novembre 2014

Esame di Fisica II con Laboratorio
20 Novembre 2014
Problema 1: Si consideri una sfera carica di raggio R=30cm con densità di carica ρ = ρ0 e− r / R , dove r è
la distanza dal centro della sfera e ρ0=6 10-5 C/m3. Si calcoli la carica totale della sfera ed il campo
elettrico in tutto lo spazio. Una carica negativa q=-200 nC, di massa m=5g si muove partendo da ferma
in direzione radiale da una distanza d=2R ad una distanza R dal centro della sfera. Si calcoli la velocità
di moto della carica immediatamente prima di impattare sulla sfera.
Problema 2: Si consideri un filo, nel nostro caso indefinito, in cui scorre, per tempi
positivi, una corrente che cresce linearmente nel tempo per t ∈ [0, T ] da zero fino al
valore massimo i0=10A e per poi decrescere linearmente per t ∈ [T , 2T ] fino a ritornare
a zero. Sia T=0.1s. Si consideri una spira quadrata di lato l=10cm posta ad una distanza
d=1cm dal filo. Si calcoli la forza elettromotrice indotta nella spira e si determini il
verso della corrente al variare del tempo. Si assuma che la resistenza della spira valga
R=1Ω. Si valuti l’energia dissipata dalla corrente indotta nella spira.
Problema 3: Si consideri il circuito di figura, con R=5Ω, f1=6V,
f2=1V e f3=4V, C=1µF Si calcolino, in condizioni di regime, le
correnti che attraversano le varie resistenze, si stabilisca se il
generatore f2 assorbe o eroga corrente e si calcoli l’energia
immagazzinata nel condensatore.
Problema 4: Due automobili viaggiano in direzioni opposte a velocità di 100 km/h e 50 km/h. I clacson
delle auto emettono dei suoni a lunghezze d’onda di 0.76m. Si calcoli la frequenza alla quale i clacson
emettono i loro suoni. Si calcoli la frequenza del suono del clacson percepita dai due guidatori, sia in
assenza di vento, sia nel caso in cui il vento spira ad una velocità di 80 km/h, nella direzione di moto
dell’auto più veloce. Si assuma la velocità del suono in aria pari a 343m/s.
Soluzioni Compito di Novembre 2014
Problema 1: La carica contenuta all’interno di una sfera di raggio r, può essere calcolata per
integrazione della densità di carica. Per r<R si ha
Qint (r ) =
∫
r
ρ (r ') d V =4πρ0 ∫ r '2 e− r '/ R dr ' =4πρ 0 R  2 R 2 − (r 2 + 2rR + 2 R 2 )e− r / R 
B (0, r )
0
5

Per r ≥ R si ha che Qint (r ) = Qint ( R ) = 4πρ0 R 3  2 −  = 3.2 µ C
e

Il campo elettrico applicando il teorema di Gauss e scegliendo come superfici delle sfere, si ottiene
come
 ρ0 R  R 2 
R
R2  −r /R 
2
−
1
+
2
+
2

 2 
e  r < R
r
r2 
Qint
 ε0  r


E (r ) =
=
3
4πε 0 r 2 
ρ0 R  5 
2−
r≥R

ε 0 r 2  e 

All’esterno della sfera, in potenziale è lo stesso di quello di una carica puntiforme Qint ( R) concentrata
nell’origine.
Si
ha
che
applicando
la
conservazione
1 2 qQint ( R ) qQint ( R )
. Da cui il valore di velocità è
mv +
=
2
4πε 0 R
8πε 0 R
v=
dell’energia
meccanica
− qQint ( R )
≈ 1.98m / s
4mπε 0 R
Problema 2: Il campo magnetico generato dal filo è orientato secondo circonferenze concentriche al
µi
filo e varia con la distanza r dal filo secondo la legge di Biot-Savart : B(r ) = 0 . Attraverso la spira
2π r
il flusso di B varia nel tempo perché la corrente varia nel tempo. Il flusso del campo magnetico vale:
Φ (B) = ∫ B ⋅ ndS =
□
µ0il d +l 1
µ il
l

dr = 0 log 1 + 
∫
2π d r
2π
 d
La forza elettromotrice indotta vale
ε =−
µl
∂Φ(B)
l  di

= − 0 log 1 + 
∂t
2π
 d  dt
di i0
e cambia segno passando da t < T a t > T .
=
dt T
Nella fase iniziale la corrente circola in verso antiorario, poi orario. Poiché il quadrato della forza
Il rateo di corrente è costante in modulo e vale
elettromotrice è costante, la potenza è costante e l’energia spesa durante il processo vale
µ02l 2i02
l

W = 2T =
log 2 1 +  = 1.710−9 J
2
R
2 Rπ T
 d
ε2
Problema 3: Nel circuito di figura, in condizioni di regime, il condensatore si comporta come un
circuito aperto e nel ramo del condensatore non circola corrente. Il circuito ridotto, senza il ramo del
condensatore, presenta un solo nodo indipendente, per il quale si ha che la tensione V vale
V − f1 V − f 2 V − f 3
+
+
=0
2R
R
2R
Da questo si ricava che V = 3V . Le correnti che attraversano i generatori f1 e f3 entrano nel nodo e
valgono
i1 =
f −V
f1 − V
= 0.3 A; i3 = 3
= 0.1A
2R
2R
La corrente che attraversa il generatore f2 esce dal nodo e vale
i2 =
V − f2
= 0.4 A
R
Il generatore f2 assorbe corrente. La tensione ai capi del condensatore è Vc = 3.5V , da cui l’energia
immagazzinata è
1
Wc = CVc2 = 610−6 J
2
Problema 4: La frequenza del clacson è f =
c
λ
= 451Hz . Per effetto Doppler, la frequenza percepita
 c + vr 
dal ricevitore in moto a velocità vr verso la sorgente in moto a velocità vs vale f ' = 
 f . La
 c − vs 
frequenza percepita, in assenza di vento, dal guidatore dell’auto più lenta è f L = 511Hz , mentre quella
percepita dal guidatore dell’auto più veloce è fV = 508Hz . Nel caso in cui c’è vento, la velocità del
vento varia ed è 365m/s nella direzione del vento e 321m/s nella direzione opposta. La nuova frequenza
percepita dal guidatore lento è f L* = 507 Hz mentre l’altra è fV* = 513Hz .