Le Potenze - Salesiani Bra

Le Potenze
Def:
Si dice POTENZA n-ESIMA (potenza ennesima) di un numero il
prodotto di quel numero n volte. L’operazione con la quale si calcola
la potenza si dice ELEVAMENTO a POTENZA.
𝑎𝑛 = 𝑏 (a elevato n uguale b)
𝐚 = BASE
n = ESPONENTE
b = POTENZA
Esempio:
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81
53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125
Osservazione: le potenze con esponente due e tre si dicono anche al
QUADRATO e al CUBO.
Esempio:
23 si legge 2 alla terza o 2 al cubo.
82 si legge 8 alla seconda o 8 al quadrato.
1
Proprietà delle Potenze
1. il PRODOTTO di potenze che hanno la STESSA BASE è la potenza
che ha per base la stessa base e per esponente la SOMMA degli
ESPONENTI:
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Es:
25 ∙ 23 = 25+3 = 28
perché:
25 ∙ 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 28
43 ∙ 42 = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 43+2 = 45
2. il QUOZIENTE di potenze che hanno la STESSA base è la potenza
che ha per base la stessa base e per esponente la DIFFERENZA
degli ESPONENTI:
𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
Es: 37 : 33 = (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3): (3 ∙ 3 ∙ 3) =
= 37−3 = 34
3. la POTENZA di una POTENZA è la potenza che ha per base la
STESSA BASE e per esponente il PRODOTTO degli ESPONENTI:
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
Es:
(23 )5 = 23 ∙ 23 ∙ 23 ∙ 23 ∙ 23
=2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2=
= 23∙5 = 215
2
Es:
[(35 )4 ]6 = 35∙4∙6 = 3120
4. il PRODOTTO di più potenze che hanno BASI DIVERSE, ma
ESPONENTI UGUALI, è la potenza che ha per base il PRODOTTO
DELLE BASI e per esponente lo STESSO ESPONENTE:
𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 ∙ 𝑐 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐)𝑛
Es:
24 ∙ 34 ∙ 104 = (2 ∙ 3 ∙ 10)4 = 604
𝐸𝑠:
35 ∙ 25 ∙ 45 = (3 ∙ 2 ∙ 4)5 = 245
5. il QUOZIENTE fra due potenze che hanno basi diverse, ma
ESPONENTI UGUALI, è la potenza che ha per base il
QUOZIENTE FRA LE BASI e per esponente lo STESSO
ESPONENTE:
𝑎𝑛 ∶ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∶ 𝑏)𝑛
Es:
156 : 56 = (15: 5)6 = 36
277 : 37 = (27: 3)7 = 97
6. qualunque potenza di 1 è uguale a 1:
1𝑛 = 1 per ogni numero n
Es:
14 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
17 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
3
7. qualunque potenza di 0 è uguale a 0, tranne quella con
esponente uguale a 0, che non ha alcun significato:
0𝑛 = 0
per ogni numero n diverso da 0;
Es:
04 = 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0
06 = 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0
00 non ha significato
8. un qualsiasi numero, diverso da 0, elevato a 0 da sempre 1:
𝑎0 = 1 per ogni a diverso da zero.
Es:
30 = 1
12345820 = 1
0
0,34682 = 1
80 = 1
3 0
( ) =1
4
10 = 1
Esempio:
85 : 85 = 85−5 = 80 = 1
9. un qualsiasi numero elevato a 1 ha come potenza se stesso:
𝑎1 = 𝑎
Es:
31 = 3
01 = 0
1231 = 123
4
OSSERVAZIONE: quando un numero non ha l’esponente, allora
l’esponente è 1.
USO DELLE TAVOLE NUMERICHE
Per calcolare le potenze al quadrato o al cubo di numeri interi, si
possono utilizzare le tavole numeriche:
 la prima colonna contiene i numeri interi da 1 a 1000 ( n)
 La seconda colonna contiene i numeri della prima elevati a 2
(𝑛2 )
 La terza colonna contiene i numeri della prima elevati a 3 (𝑛3 )
Es: Calcolare 743 = 405224
 Si cerca la riga del 74 e si legge il numero corrispondente alla
terza colonna
5
POTENZE DI NUMERI DECIMALI
Per calcolare le potenze al quadrato o al cubo di numeri decimali, si
possono utilizzare le tavole numeriche, con un accorgimento:
 Cercare il numero sulle tavole, senza la virgola;
 Se l’esponente è 2  si mette la virgola nel risultato dopo un
numero di cifre DOPPIE rispetto a quelle che ci sono nella base
 Se l’esponente è 3  si mette la virgola nel risultato dopo un
numero di cifre
TRIPLO rispetto a quelle
che ci sono nella base
Es: 1,82 =?
 Cerco 18 sulle tavole
 Trovo che 182 = 324
 Nella base c’è 1 numero decimale  nel risultato ce ne saranno
2
1,82 = 3,24
Es:
6,43 =?
 Cerco 64 sulle tavole
 643 = 262′144
 Nella base c’è un numero decimale  nel risultato dovranno
essere 3
6,43 = 262,144
6
NUMERI IN FORMA ESPONENZIALE
Le potenze di 10:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1′000
104 = 10′000
Regola: per calcolare le potenze di 10 si mette 1 seguito da tanti 0
quanto vale l’esponente.
Le potenze di 0,1:
0,10 = 1 = 100
0,11 = 0,1 = 10−1
0,12 = 0,01 = 10−2
0,13 = 0,001 = 10−3
0,14 = 0,0001 = 10−4
Regola: si mette l’1 nella posizione decimale indicata dall’esponente.
Def: un numero molto grande o molto piccolo si scrive in forma
esponenziale, o NOTAZIONE SCIENTIFICA, quando si scrive come
prodotto di un numero intero per una potenza positiva o negativa di
10.
Es:
8′ 000′ 000 = 8 ∙ 1′ 000′ 000 = 8 ∙ 106
7
250′ 000′ 000 = 25 ∙ 10′000′000 = 25 ∙ 107
0,00004 = 4 ∙ 0,00001 = 4 ∙ 10−5
Def: un numero si scrive in NOTAZIONE POLINOMIALE, nel modo
seguente:
7′563 = 7 ∙ 1′ 000 + 5 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 3 ∙ 1
= 7 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 3 ∙ 100
2,3681 = 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0,1 + 6 ∙ 0,01 + 8 ∙ 0,001 + 1 ∙ 0,0001 =
= 2 ∙ 100 + 3 ∙ 10−1 + 6 ∙ 10−2 + 8 ∙ 10−3 + 1 ∙ 10−4
8