Esercizi sui prerequisiti 2

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Esercizi sugli insiemi:
1) Siano dati due insiemi
A = { 1 , 3 , 4 , 5} ; B = {1 , 3 , 9 , 6 , 5}
Trovare A ∪ B, A ∩ B .
2) Siano dati tre insiemi:
A = {1 , 3 , 4 } ; B ={3 , 6} ; C ={5 , 3 , 2 , 1}
Trovare A ∩ B ∩ C, A ∪ B ∪ C, (A ∪ B) ∩ C, A ∪ (B ∩ C) .
3) Siano dati tre insiemi:
A = {1 , 2 , 4 } ; B ={3 , 4, 2 } ; C ={1 , 5 , 6 , 2, 4}; D={1}
Indicare quali delle seguenti affermazioni è vera
a) A ∈ C;
b) A ⊂ B
c) 5 ∈ B;
d) 5 ∈
/ A;
e) A ⊂ C;
f) 1 ⊂ C;
g) D ⊂ A;
h) ∅ ⊂ A;
4). Siano dati gli insiemi A, B e C formati rispettivamente dalle lettere delle
parole “cammello”, “cavallo” e “uccello”,
1) elenca gli elementi di ciascun insieme;
2) indica quali tra le seguenti affermazioni sono vere:
a) e ∈ A;
b) v ∈
/ B;
c) uccello ∈ C;
d) A ⊂ B;
e) (B ∩ C) ⊂ A;
3) elenca gli elementi dell’unione A ∪ B∪ C e dell’intersezione A ∩ B ∩ C.
5) Scrivi la rappresentazione mediante proprietà caratteristica dei seguenti
insiemi.
A = {L’Aquila, Pescara, Chieti, Teramo};
B = {10, 12, 14, 16, 18, 20};
C = {il, lo, la, i, gli, le};
D = {nord, sud, ovest, est}.
6) Costruisci gli insiemi A,B,C di modo che:
A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5, 6} , A ∪ C = {0, 2, 3, 4, 5} , B ∪ C = {0, 4, 6} ,
A ∩ B = {0} ,A ∩ C ={0} , B ∩ C = {0, 4}
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Esercizi di logica
1) Si considerino i seguenti insiemi
A = {x ∈ N : x è pari} , B = {x ∈ N : x è un multiplo di 4} ,
C = {x ∈ N : x è un numero la cui ultima cifra è 0 o 2 o 4 o 6 o 8}
D = {x ∈ N : x è un numero dispari} , E = {x ∈ N : x è un numero primo}
Dire se le seguenti implicazioni sono corrette:
a) x ∈ A ⇒ x ∈ B
b) x ∈ A ⇒ x ∈ C
c) x ∈
/B⇒x∈
/A
d) x ∈ A ⇔ x ∈ C
e) x ∈ D ⇔ x ∈
/A
f) x ∈ A ⇒ x ∈
/E
g) x ∈
/E⇒x∈A
h) ∃ x ∈ A : x è un multiplo di 3
i) ∃ x ∈ B : x è un multiplo di 2
2) Dobbiamo dimostrare che un certo numero x è inferiore ad un altro numero
y diverso da x. Quante fra le seguenti affermazioni permettono di dedurre la
nostra tesi?
(1) esiste un numero compreso tra loro
(2) ogni numero non superiore a x è minore di y
(3) tutti i numeri sono inferiori a y o superiori a x
(4) nessun numero supera y e non supera x
3) Abbiamo 3 proposizioni p,q,r che soddisfafano queste ipotesi
i) se p è vera allora q è vera
ii) se p è falsa allora r è falsa
quale conclusione può essere dedotta?
A. Se q è vera allora p è vera;
B. Se p è vera allora r è vera;
C. Se q è vera allora r è vera
D. Se r è vera allora q è vera
4) Considerate le seguenti frasi:
p:<<Giovanni legge fumetti>>, q:<<Giovanni è felice>>,
esprimere con il linguaggio della logica i seguenti enunciati
a) Se Giovanni legge fumetti allora è felice.
b) Esprimere l’enunciato della proposizione inversa di quella riportata in a).
c) Enunciare la contronominale della proposizione riportata in a).
5) Negare la frase
p:<<Tutti i candidati hanno superato il test>>
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Esercizi equazioni di primo grado
1) Risolvi le seguenti equazioni:
a) 3x − 10 = 5x − 6
b) 6x − 7 = 2x + 4x − 2
c) 3(x − 1) − 2x = 4(x − 2) − 1
d) 2(x − 3) − 5(1 + x) − 1 = x + 2(1 − 2x)
e) (x − 1)2 − (1 + x)2 = 3 − 2x
f) (2x − 1)2 + 4x = 4(x2 + 1)
x−3
g) x−1
2 + 5 =1
x+1
h) 12 − x−5
15 = 2
i) (x + 3)(x + 1) = (x − 4)(x + 7)+x-2
j) (2x + 1)2 − 2(x − 1)(x + 3) = (x − 1)2 + (x + 1)2
2) Determinare un numero naturale sapendo che, se al suo doppio si aggiunge
7, si ottiene il suo triplo diminuito di 5.
3) Determinare un numero naturale la cui metà, aumentata di 30, sia uguale al
quadruplo del numero stesso, diminuito di 110.
4) Gli anni di un figlio sono uguali a 13 degli anni della mamma; sapendo che
insieme hanno 44 anni, determinare le due età.
5) Determinare due numeri naturali, sapendo che uno è il triplo dell’altro e che
la loro somma è pari a 60.
6) Risolvi le seguenti equazioni:
2
a) x−1
=3
2x
3
b) x−1 − x−2
=2
x−1
c) x+1 − 1 = 0
4
d) x+2
=0
3
e) x = 3x+1
x2
x
1
f) x+1
= 1 − x+1
x−1
2
g) x+1
x−1 + x+1 = 2 − 1−x2
6) Discuti le seguenti equazioni:
a) ax = a + 1
b) (a + 1)x = a
c) (a + 1)x = a2 + a
d) bx = b2 − b
e) 4x = a + 2
f) (a2 − a)x = a
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Esercizi sulle disequazioni di primo grado
1) Risolvi le seguenti disequazioni
a) 2x − 3 > 5 − 4x
b) 2(x − 3) > 5 + 6x
c) 3(−x + 1) > 2 − 3x
d) −(3x + 1)2 < 9(3 − x2 )
e) 4x − 1 ≤ −3 + 2(2x + 1)
f) 12 x + 4 ≥ 13 x − 1
g) 2(x − 1) < 12 (4x + 5) + 3
h) 43 x − 72 ≤ 3x − 12
i) (x − 1)2 + (x − 2)2 ≤ 2(x + 1)2 + 3
2) Risolvi i seguenti sistemi
x−4>0
,
3x − 2 > 0
2x < x + 3
,
x − 2 ≥ −10
2x + 13 < 2(x + 21)
,
x+4<5
x + 3 < 4x − 1
,
x−1>0
> 1,
2x+ 12
x+4
> 0,
2x − 3 < 2(x − 2)
x+4<5
x−3
2−x
x−1
2 + 4 < 8
x−3
2x
2 −x < 3
(x − 1)2 + 2x ≤ 13 (3x2 + 8)
4 − x2 + 2x(x − 1) > 6 + (1 − x)2
3) Risolvi le seguenti disequazioni
2x+1
4−x
x−1
1−2x
x−4 > 0, x−2 > 0, x−3 < 0, x−3 ≥ 0,
2x+1
x−4
2x − 3 < x − 2
,
x+1<0
3
x+4
< 0,
−23
4−x
>0
4
x−2
2x
< 0,
4x
2x−6
≤0
Esercizi su equazioni e disequazioni con il valore assoluto
1) Risolvi le seguenti equazioni
|3x + 2| − 4 = 0, |3x + 2| + 4 = 0, 1 − 2 |3x + 4| = 2x + 1
3x
3x − 2 |2 − x| = |2x + 1| , |x−1|
=2
2) Risolvi le seguenti disequazioni
|4 − 3x| < 2x + 5, |1 − 3x| < 0, |3x + 4| ≤ 0 |2x + 1| − 3x ≥ 0, |3 − x| + 2|x| ≤ 2 + x, x−1
x−2 ≤ 2
4−2|4−2x|
1+|x−1|
≤2
3) Dire se la seguenti proposizione è vera
p:<< il valore assoluto di un numero è sempre positivo>>
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