Complementi su divisibilità e numeri primi

Riportiamo alcuni complementi sulla divisibilità ed i numeri primi. Per approfondimenti si
possono vedere diverse fonti: ad esempio (perché disponibile in rete e da cui abbiamo tratto
queste note):
Mario FERRARI, "Aritmetica", in Ministero della Pubblica Istruzione - Unione Matematica
Italiana, Aritmetica - Seminario di formazione per Docenti - Istruzione elementare, Quaderni n.
23, Liceo Scientifico Statale "A.Vallisneri",, Lucca, Novembre 1996-Febbraio 1997, pp.11-33.
Teorema di divisione. Per ogni coppia ordinata (a, b) di numeri naturali, con b ≠ 0, esiste
un’unica coppia di numeri naturali (q, r) tale che valgano entrambe le relazioni
a = bq + r
0
r
b
(a, b, c, d vengono detti dividendo, divisore, quoziente e resto della divisione a:b)
Dimostrazione.
Esistenza di (q, r).
Siccome b è un numero positivo tutti i prodotti bn da 0 fino ad un certo valore q, sono minori
del dividendo a, poi da q+1 in poi sono maggiori di a:
0= b0
…
bq
a
b(q+1)
b(q+2)
…
Prendiamo come quoziente q proprio quel valore, ossia il massimo numero naturale n tale che
bn
a. Se poniamo poi r = a – bq abbiamo sia a = bq + r, sia 0
r
b. Infatti a
bq,
quindi r = a – bq
0 e se invece fosse b r, allora avremmo b
r = a – bq, quindi
b a – bq e perciò b(q+1) a contro il fatto che a
b(q+1).
Unicità di (q, r).
Sia ora (q’, r’) è una coppia di numeri naturali verificante (come (q, r))
a = bq’ + r’ e 0
r’
b. Mostriamo che q = q’ ed r = r’.
Infatti se già in partenza q = q’ allora dato che a = bq + r e a = bq’ + r’, si ha bq + r = bq’ +
r’, ma allora r = r’ perché bq = bq’.
Se invece q ≠ q’, allora o q’
secondo come esercizio.
q oppure q
q’. Affrontiamo solo il primo caso lasciando il
Se fosse q’
q, allora esisterebbe un numero naturale h
1 tale che q’ = q + h. Allora bq + r
= bq’ + r’ = b(q+h) + r’ = bq + bh + r’. Quindi bq + r = bq + bh + r’, perciò r = bh + r’, ma r’
0, allora r
bh e poiché h
1, allora bh
b, quindi r
b contro il fatto che r b.
Il caso r = 0 è interessante e corrisponde al fatto che b divide a (in simboli b | a);
equivalentemente si dice che b è un divisore di a, b è sottomultiplo di a, a divisibile per b, a è
multiplo d b. Quindi dati a, b numeri naturali con b ≠ 0,
b | a significa che esiste un numero naturale q tale che a = bq
Un numero naturale maggiore o uguale a 2, che ammette solo due divisori: 1 e se stesso si
dice numero primo.
I numeri più grandi di due che non sono primi, si dicono composti. Ogni numero composto è
divisibile per almeno un numero primo.
Quanti sono i numeri primi? Sono infiniti, ma attenzione: il crivello di Eratostene non fornisce
una dimostrazione di questo asserto, ma solo un metodo per trovare tutti i numeri primi fino
ad un limite superiore prefissato.
Il risultato, contenuto nella sostanza negli Elementi di Euclide, richiede una dimostrazione
diversa
Teorema. Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che l’insieme dei numeri primi sia finito e
disponiamoli in ordine crescente: 2, 3, 5, 7, …p, dove p è l’ipotetico numero primo più grande
di tutti p. Consideriamo il numero, che indichiamo con n, costituito dal successivo del prodotto
d tutti i numeri primi:
n = 2×3×5×7× … ×p + 1
Dato che è più grande di 1, n è primo oppure composto. Se fosse primo allora dato che n
p,
avremmo concluso in quanto p non sarebbe il più grande di tutti i numeri primi. Se fosse
invece composto allora dovrebbe essere divisibile per qualche numero primo e dato che stiamo
presupponendo di conoscere tutti i numeri primi, sarebbe divisibile almeno per uno dei numeri
2, 3, 5, 7, …p. Ma dato che n = 2×3×5×7× … ×p + 1, il resto della divisione n:2 è 1 ed
analogamente il resto delle divisioni n:3, n:5, n:7, …, n:p è sempre 1 (proprio per il fatt che
abbiamo aggiunto +1 al prodotto 2×3×5×7× … ×p). Abbiamo così di nuovo una
contraddizione.