Soluzione - INFN - Sezione di Padova

Esercizi tratti dalla IIa prova di accertamento in itinere
del corso Fisica II per Ingegneria delle Telecomunicazioni e dell’Automazione
degli anni precedenti
Problema 1
Dal filamento F di figura vengono emessi elettroni con velocita’ iniziale trascurabile, che
vengono accelerati verso la griglia G da una d.d.p. incognita V tra la griglia ed il
filamento. Gli elettroni (massa m= 9 10-31 kg, carica e = 1,6 10 –19 C) proseguono con
velocita’ v diretta lungo l’asse x attraversando lo spazio tra due armature di un
condernsatore piano, di area  = 100 cm2, caricate con una carica q = 0,1 C. Il
condensatore e’ immerso in un campo magnetico B=0,1 T parallelo alle armature e
perpendicolare all’ asse x.
Determinare:
a) la velocita’ v degli elettroni perche’ passino tra le armature con moto rettilineo:
v =.........
b) il valore della d.d.p. V tra il filamento e la griglia in questo caso: V =
V
v
+q
B
F
G
-q
x
Soluzione:
a) la forza elettrostatica tra le armature deve eguagliare la forza di Lorentz:
e E = e v B => v = E/B = 1, 1 107 m/s
essendo il campo tra le armature E = 0 = 1,1 106 V/m
con la densita’ superficiale di carica  = q/ = 10-5 C/m2.
b) l’ energia cinetica finale dell’ elettrone e’ uguale al lavoro del campo elettrostatico
della griglia:
mv2/2 = e V
=> V = mv2 / (2 e ) = 337 V
Problema 2:
Un solenoide toroidale di raggio medio Rm=0,5 m (vedi figura) e sezione quadrata di lato b
= 0,2 m e’ costituito da N= 1000 spire percorse dalla corrente i = 2 A. Una spira quadrata
PQRS di lato a = 0,1 m percorsa dalla corrente is = 0,3 A e’ posta come in figura al centro
di una sezione del toroide. I versi delle correnti i ed is sono indicati in figura. Calcolare:
a) il campo magnetico B1 sul lato PQ della spira: B1 = ..........
b) la forza totale agente sulla spira (modulo e direzione lungo l’ asse radiale x orientato
verso l’ esterno):
Fxtot = .............
c) se nel toroide viene inserito un materiale ferromagnetico, calcolare il campo
magnetizzante H nel centro della sezione toroidale e la magnetizzazione del materiale se la
permeabilita’ magnetica nelle condizioni date vale km=1500: H = ..............
M=
........................
Rm
b
a
P
x
Q
S is
R
i
Soluzione:
a) applicando la legge di Ampere per la circuitazione del campo B:
2 r1 B1 = 0 ic con r1 = Rm-a/2 e la corrente concatenarta e’ ic = N i
 B1 = 0 N i / [ 2(Rm-a/2) ] = 8,9 10 –4 T
b) sul lato SR il campo magnetico e’ :
B2 = 0 N i / [ 2(Rm+a/2) ] = 7,3 10 –4 T
 la forza totale sulla spira e’ (applicando la legge elementare di Laplace
dF = i ds  B integrata sui lati QP e SR della spira):
Ftot x = - is a ( B1- B2) = -4,8 10-6 N
( diretta verso il centro del totoide )
c) il campo magnetizzante H nel centro della sezione toroidale vale :
H = i N/ (2 Rm ) = 637 A /m e la magnetizzazione e’ :
M = mH = (km-1) H = 9,5 105 A/m .
Problema 3
Un filo conduttore indefinito, sagomato nel modo mostrato in figura, è percorso dalla corrente i.
Il lavoro necessario per ruotare di  =  un dipolo magnetico di momento m = 3 x 10-9 Am2,
(posto nel centro O della circonferenza di raggio R = 40 cm e inizialmente parallelo al campo
magnetico B) è W = 1.2 ·10-13 J. Determinare:
a) l’intensità del campo magnetico B nel punto O,
B =.....................
b) l’intensità i della corrente che scorre nel filo.
i =.....................
Soluzione:
a) Il lavoro è pari alla variazione di energia del dipolo nel campo magnetico. Per cui essendo E p  m  B
si ha
W  mBO  mBO   2mBO
BO 
W
 2 105 T
2m

b)
Per il principio di sovrapposizione il campo magnetico è la somma dei contributi di due semirette e
di una semicirconferenza. Applicando la prima legge di Laplace al tratto verticale di filo si nota che il suo
contributo è nullo poiché i
vettori ds e r sono paralleli. Allora si ha:
1  i  1   i 
BO   0   0 
2 2R  2 2R 
4RBO
i
 19.3A
 1 
0 1 
  

Problema 4
Il circuito di figura è costituito da due sbarrette conduttrici fisse sulle quali è libera di
muoversi con attrito trascurabile una terza sbarretta di massa m = 50 g e lunghezza d =
0,1 m. Il circuito è chiuso da un quarto lato fisso in cui è inserito un generatore ideale che
eroga una corrente i = 2 A. Il circuito è immerso in un campo magnetico uniforme B = 0,5
T perpendicolare al piano che lo contiene. Inizialmente la sbarretta mobile ha velocità
nulla. La resistenza totale del circuito è R=1 . Calcolare :
a) la forza che agisce sulla sbarretta : F = .............
b) la velocità della sbarretta e la f.e.m. indotta nel circuito al tempo t1= 2 s dalla partenza
della sbarretta:
v1=....................., 1=
c) la f. e. m. e la potenza erogata dal generatore allo stesso istante:
1gen=
.............., P1 =..............
d) il lavoro compiuto dal generatore tra l’ istante iniziale e l’ istante t1:
W =..............
B
m
d
i
Soluzione:
a) F =  ids B
=> F = idB = 0,1 N
b) v1 = a t1= F/m t1 = 4 m/s,
c)
1gen+ 1 = Ri
=>
1 = - d(B)/dt = -Bd dx/dt = -Bd v1 = -0,2 V
1gen = 2,2 V,
P1 = 1gen i = 4,4 W
a) W =  P(t)dt =  gen(t)i dt = Ri2 t1 +  Bdv(t)dt = Ri2 t1 +  Bd (i d B/m )tdt =
= Ri2 t1 + (B2d2 i2/m ) t12/2 = 8,4 J
Problema 5:
Un solenoide toroidale di raggio interno R=0,5 m e sezione quadrata di lato a=0.1 m è
costituito da N= 1000 spire. Un filo rettilineo indefinito perpendicolare al piano del
toroide e passante per il suo centro (vedi figura) è percorso da una corrente che decresce
esponenzialmente: i(t)= i0 e-t/, con i0 = 2 A e = 0.5 10-3 s . Determinare:
a) il flusso del campo magnetico concatenato con la singola spira del toroide all’
istante iniziale t=0 :
1 =
b) il coefficiente di mutua induzione tra il filo rettilineo ed il toroide:
M=
i0 =
c) la f.e.m. indotta all’ istante iniziale sul toroide:
i(t)
a
R
Soluzione:
a) il flusso del campo magnetico concatenato con la singola spira del toroide all’
istante iniziale t=0 e’::
1 =  B d = R R+a (0i / 2r) a dr = ( 0i a / 2ln [ (R+a) /R ] = 7,1 10-9 Wb
b) il coefficiente di mutua induzione tra il filo rettilineo ed il toroide:
M = N 1/ i = 3,6 10-6 H
c) la f.e.m. indotta sul toroide e’:
i (t)= -Mdi/dt,
All’ istante iniziale: i0 = M i0 /  = 14,4 mV
Problema 6:
Una spira quadrata di lato a=15 cm ruota con velocita’ angolare costante  = 100 rad/s.
Essa e’ immersa in un campo magnetico costante B=0,5 T perpendicolare al suo asse di
rotazione. Attraverso dei contatti striscianti il circuito della spira e’ chiuso su una
resistenza R=5 . Determinare:
a) il massimo valore della f.e.m. indotta nel circuito:
ε 0 = ..........
b) la potenza media dissipata per effetto Joule sulla resistenza in un giro della spira:
Pm = .........
c) il valore massimo del momento di dipolo della spira e del momento meccanico che
agisce sulla spira:
m0 = .........
Mmax =..........


R
Soluzione:
a) il flusso del campo B concatenato con la spira e’: (t) =  B cos(t)= a2 B cos(t)
i
uN
F.e.m.:
(t) = t
B
t = -d/dt =  B  sin(t)=0 sin(t)
0 =  B 1,125 V

b)
i(t) =t/R = i0sinwt
con i0 = 0 /R = 0,225 A
Pm = 1/T 0 T Ri2(t)dt = R i02 /2 = 0,126 W
c) m0 = i0 = 0,51 10-2 A/m2
Momento meccanico: M = m  B => M(t) = m(t)B sin((t)) = i0Bsin2t
essendo m(t) = i(t)= i0sin t
=> Mmax = i0B= 0,255 10-2 N m
Problema 7.
Un condensatore con armature piane di area =100 cm2 distanti d=1 cm e’ riempito per
meta’ di un dielettrico di costante dielettrica relativa k=3 (vedi figura). La d.d.p. tra le
armature e’ V0=10 V. Determinare:
a) La densita’ di carica superficiale sulle armature ed il campo elettrico nel dielettrico:
=.................., Ek=..............................;
b) La capacita’ del condensatore e l’ energia elettrostatica immagazzinata: C = .......,
Ue =.................
Il condensatore viene quindi collegato in serie ad un induttore di induttanza L=0.1 H.
Determinare:
c) il massimo valore della corrente nel circuito: i 0 =..........
d) la massima energia magnetica immagazzinata nell’ induttore: Um=..............
d
d/2
L
Soluzione:
a) la d.d. p. tra le armature e’ data da:
V0 =Ekd/2+ E0d/2 = (d / 2 )(/ k0 + / 0 ) = d  (1+k) / ( 20 k)
  = 2 0 V0 k / d(k+1) = 1,33 10-8 C/m2
ed il campo elettrico nel dielettrico e’ quindi: Ek= / 0 k = 500 V/m
b) la capacita’ del condensatore e’:
C=q/V0 = /V0 = 13,3 pF
L’ energia elettrostatica immagazzinata e’: Uel = CV02 / 2 = 6,6 10-10 J
c) Il circuito oscilla alla pulzazione  = 1/(LC)1/2= 870 KHz
La carica sulle armature varia con legge sinusoidale:
q(t) = qmax sin t = V0 C sin t
la corrente e’ : i(t) = dq/dt = V0 C sin t = V0/L sin t
=> la corrente massima e’ : io = V0/L = 115 A ,
d) Um = L i 02/2 = Uel = 6,6 10-10 J
Problema 8
Due spire conduttrici di area 1=20 cm2 e 2 = 10 cm2 rispettivamente e resistenza
R = 10-2  sono disposte come in figura a distanza d = 2 m l’ una dall’ altra. Ricordando
che il campo magnetico lungo l’ asse x di un dipolo e’ B = 0 m / 2x3 e considerando
uniforme sulla superficie 2 il campo B generato dalla corrente i1 circolante nella spira
1, calcolare:
a) il coefficiente di mutua induzione tra le spire: M12 = ........
b) la massima corrente indotta in 2 se in 1 viene fatta circolare una corrente oscillante
i1(t) = iocost alla frequenza =/2=15.9 KHz, con io = 0,2 A:
imax = ...........
2
d
m
1
i1
Soluzione:
a) il flusso attraverso 2 del campo B1 generato dalla corrente i1 e’ :
(B1) = B1 2 = [0 m / (2d3 )] 2 =
1.
con m = i12 momento magnetico della spira
 M12 = (B1) / i1 = 0 1 2 / (2d3 ) = 0, 5 10-13 H
b) la f.e.m. indotta nella spira 2 e’ :
 i = -M12 di1/dt = M io  sint =  max sint
dove il valore massimo della f.e.m. e’ :
 max = M io 10-9 V
la corrente massima e’ : i max =  max / R = 0,1 A
Problema 9
Un generatore di f.e.m. costante ε = 100 V carica un condensatore piano con armature
circolari di area =100 cm2 inserito nel circuito di figura; le armature sono distanti d = 1
cm e tra di esse e’ inserito un dielettrico di costante dielettrica relativa k=11. La resistenza
totale nel circuito e’ R = 500 . Determinare:
a) la costante di tempo del processo di carica: t = .......
b) il campo elettrico tra le armature all’ istante t1 = 0.1 s:
c) il campo magnetico nello stesso istante, in un punto P a distanza r =1 cm dall’asse
passante per il centro delle armature (vedi figura): B(r,t1) =......
R
ε
r
d
P
Soluzione:
a) capacita’ C = k/d = k 0/d = 0, 097 nF
costante di tempo del processo di carica : = RC = 0,0485 s
b) la d.d.p. tra le armature del condensatore e’:
VC(t) = e (1-e-t/) Al tempo t1: VC(t1) = 87,3 V
Il campo elettrico tra le armature in quell’ istante e’: E(t1)=VC(t1)/d = 8730 V/m
c)  B ds = 0  d(E)/dt
=> 2r B(r) = 0 k0 r2 dE(t)/dt
con dE(t)/dt = (/d ) e-t/ /(r,t)0 k0 r (/ d ) e-t/ / 
(r1,t1) = 1,62 10-8 T