- IIS Prever

Capitolo 6
Disequazioni di I grado in una sola incognita
6.1 Definizione ed esempi
Definizione 6.1.1
In generale, si dice disequazione una qualsiasi disuguaglianza contenente una o più incognite.
Definizione 6.1.2
In generale, si dice disequazione intera di I grado in un’incognita una disequazione che ridotta
alla forma canonica contiene una sola incognita al grado 1.
Definizione 6.1.3
Una disequazione è in forma canonica quando sono state eseguite tutte le operazioni richieste dal
testo (perlopiù moltiplicazioni) e quando dopo aver portato tutti i termini al I membro sono state
effettuate tutte le semplificazioni del caso. In particolare una disequazione di I grado in
un’incognita nella forma canonica si presenta come segue: ax  b  0 , ax  b  0 , ax  b  0 ,
ax  b  0 , dove a e b sono numeri reali.
Esempio 6.1.1
La seguente espressione è una disequazione di I grado in un’incognita: 5x  3  13  2x .
Esempio 6.1.2
La seguente espressione è una disequazione di I grado in un’incognita in forma canonica:
5x  7  0 .
6.2 Principi regolatori delle diseguaglianze e disequazioni e legge del trasporto
Per poter risolvere una equazione di I grado intera in un’incognita è necessario conoscere le
seguenti regole:
Primo principio regolatore (prima formulazione)
Se si addiziona o si sottrae ad ambo i membri di una disuguaglianza lo stesso numero si ottiene
ancora una disuguaglianza nella quale il simbolo di maggiore, minore, maggiore o uguale e minore
o uguale non cambia . In simboli: se a  b  a  c  b  c , per ogni c.
Primo principio regolatore (seconda formulazione)
Se si addiziona o si sottrae ad ambo i membri di una disequazione la stessa espressione algebrica si
ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Definizione 6.2.1
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Secondo principio regolatore (prima formulazione)
Se si moltiplicano o si dividono ad ambo i membri di una diseguaglianza per lo stesso numero
positivo si ottiene ancora una disuguaglianza nella quale il simbolo di maggiore, minore, maggiore
o uguale e minore o uguale non cambia . In simboli: se a  b  a  c  b  c , e a  b  a : c  b : c
per c  0 . Se si moltiplicano o si dividono ad ambo i membri di una diseguaglianza per lo stesso
numero negativo si ottiene ancora una disuguaglianza nella quale il simbolo di maggiore, minore,
maggiore o uguale e minore o uguale cambia . In simboli: se a  b  a  c  b  c , e
a  b  a : c  b : c per c  0 .
Secondo principio regolatore (seconda formulazione)
Se si moltiplicano o si dividono ambo i membri di una disequazione per la stessa espressione
algebrica diversa da 0 si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Osservazione 6.2.1
La seconda regola discende dal fatto che i numeri negativi aventi valore assoluto maggiore sono
minori di quelli aventi valore assoluto minore e dal fatto che un qualsiasi numero positivo e lo zero
sono maggiori di un qualsiasi numero negativo.
Legge del trasporto (prima formulazione)
Data una disuguaglianza, se si sposta un termine da un membro all’altro cambiandolo di segno si
ottiene ancora una disuguaglianza nella quale il simbolo di maggiore, minore, maggiore o uguale e
minore o uguale non cambia.
Legge del trasporto (prima formulazione)
Data una disequazione, se si sposta un termine da un membro all’altro cambiandolo di segno si
ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 6.2.1
Si consideri la seguente disequazione: 2x  7  11x  24 . Se si sposta, per esempio, il termine 11x al
I membro, cambiandolo di segno, si ottiene la disequazione 2x  7  11x  24 equivalente a quella
data.
Osservazione 6.2.2
La legge del trasporto è una conseguenza diretta della prima regola. Infatti spostare un termine da
un membro all’altro cambiandolo di segno è equivalente ad addizionare il suo opposto ad ambo i
membri (o, che è lo stesso, a sottrarre tale quantità ad ambo i membri). Per esempio, quando sposto
11x al I membro cambiandolo di segno e come se effettuassi la seguente operazione:
2x  7  11x  11x  11x  24 .
6.3 Come si risolve una disequazione di I grado
Per poter risolvere una disequazione di I grado occorre procedere come segue:





si eseguono tutte le operazioni richieste dal testo dell’esercizio (normalmente
moltiplicazioni)
si portano tutti i termini contenenti l’incognita da una parte dell’uguale cambiandoli,
eventualmente, di segno (o al I o al II membro)
si portano tutti i numeri dall’altra parte dell’uguale cambiandoli, eventualmente, di segno
si semplificano le espressioni presenti al I e al II membro
se il coefficiente della x è diverso da 0 e da 1 ed è positivo, si dividono ambo i membri della
disuguaglianza per tale numero. Se invece se il coefficiente della x è diverso da 0 e da 1 ed è
negativo, prima di procedere alla divisione di ambo i membri della disuguaglianza per tale
numero si cambia il segno di ciascun termine ed il verso della disuguaglianza.
Esempio 6.3.1
Si consideri la seguente equazione: 3x  2  6x  5 . Intendiamo risolverla. A tal fine procediamo
come segue: 3x  6  6x  5 . Da cui si ottiene, portando i termini in x al I membro e i numeri al II
membro: 3x  6x  6  5 . Semplificando si ha  3x  1 . Segue che 3x  1 da cui dividendo
1
ambo i membri per il coefficiente della x, 3 si ottiene x  .
3
Osservazione 6.3.1
Faccio notare che l’ultimo punto della procedura di risoluzione di una disequazione di I grado si
fonda sulla seconda regola.
Osservazione 6.3.2
Preciso che risolvere una disequazione significa trovare i numeri che sostituiti all’incognita rendono
vera la disuguaglianza.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Osservazione 6.3.3
La procedura di risoluzione della disequazione di I grado lascia una questione aperta: che fare se
dopo avere eseguito tutti i punti del procedimento indicato il coefficiente della x è 1 o 0? Se il
coefficiente è 1 la soluzione è data. Se, invece, il coefficiente della x è 0 si presentano i seguenti
casi:
1. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione è impossibile
perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero maggiore di un
numero positivo. Questa ricerca non può dare esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è minore di un qualsiasi numero positivo.
2. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso l la disequazione ha come soluzione
tutti i numeri perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero
maggiore di un numero negativo. Questa ricerca dà esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è maggiore di un qualsiasi numero negativo.
3. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione ha come soluzione
tutti i numeri perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero
minore di un numero positivo. Questa ricerca dà esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è minore di un qualsiasi numero positivo.
4. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione è impossibile
perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero minore di un
numero negativo. Questa ricerca non può dare esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è maggiore di un qualsiasi numero negativo.
5. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione è impossibile
perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero maggiore di un
numero positivo. Questa ricerca non può dare esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è minore di un qualsiasi numero positivo.
6. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione ha come soluzione
tutti i numeri perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero
maggiore di un numero negativo. Questa ricerca dà esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è maggiore di un qualsiasi numero negativo.
7. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione ha come soluzione
tutti i numeri perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero
minore di un numero positivo. Questa ricerca dà esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è minore di un qualsiasi numero positivo.
8. L’equazione è del tipo 0 x  b , dove b  0 . In tal caso la disequazione è impossibile
perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero minore di un
numero negativo. Questa ricerca non può dare esito positivo perché tutti i numeri
moltiplicati per 0 danno 0 che è maggiore di un qualsiasi numero negativo.
9. L’equazione è del tipo 0 x  0 . In tal caso la disequazione è impossibile perché propone di
trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero maggiore di 1. Questa ricerca non
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
può dare esito positivo perché tutti i numeri moltiplicati per 0 danno 0 che è non è
maggiore di se stesso.
10. L’equazione è del tipo 0 x  0 . In tal caso la disequazione ha come soluzione tutti i numeri
perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero maggiore o
uguale a 1. Questa ricerca dà esito positivo perché tutti i numeri moltiplicati per 0 danno 0
che è uguale a se stesso.
11. L’equazione è del tipo 0 x  0 . In tal caso la disequazione è impossibile perché propone di
trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero maggiore di 1. Questa ricerca non
può dare esito positivo perché tutti i numeri moltiplicati per 0 danno 0 che è non è minore
di se stesso.
12. L’equazione è del tipo 0 x  0 . In tal caso la disequazione ha come soluzione tutti i numeri
perché propone di trovare i numeri che moltiplicati per 0 danno un numero minore o
uguale a 1. Questa ricerca dà esito positivo perché tutti i numeri moltiplicati per 0 danno 0
che è uguale a se stesso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)