Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Fisica I (N.O.&V.O.) 16.09.02 Esercizio n.1 Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa M, e’ sospesa nel punto O ed è libera di ruotare nel piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per tale punto. Inizialmente la sbarra è inclinata di un angolo θ0, rispetto alla direzione verticale (vedi figura) e da questa posizione ad un determinato istante viene lasciata cadere. Raggiungendo la posizione verticale essa colpisce, poi, una massa puntiforme m appoggiata sul piano. Nell’ipotesi che l’asta ruoti attorni ad O senza attrito e che l’urto con la massa m sia completamente anelastico, calcolare: • Il modulo della velocità angolare con cui la sbarra urta la massa m appoggiata sul piano. • L’angolo θ, rispetto alla direzione verticale, di quanto si sposta la sbarra, in seguito all’urto con la massa puntiforme. Si risponda, infine, alle seguenti domande, utilizzando questi dati numerici: L=1m, M=1kg, m=M, θ0 =30o. 1. Detta M la massa della sbarra, il momento di inerzia della sbarra rispetto ad un asse orizzontale e perpendicolare al piano della figura passante per il centro di massa della sbarra vale: A. ML2 O 1 2 ML B. 2 1 C. ML2 3 1 ML2 (*) D. 12 m 2. Durante il moto di caduta della sbarra, la grandezza fisica che rimane costante è: A. L’ energia cinetica della sbarra B. L’ energia meccanica della sbarra (*) C. La quantità di moto della sbarra D. Il momento angolare della sbarra rispetto al punto O 3. Il modulo della velocità angolare con cui l’asta urta la massa m vale: rad (*) s rad B. 3.84 s rad C. 0.23 s rad D. 8.54 s A. 4. Il modulo della velocità del centro di massa della sbarra all’istante dell’urto vale m s m B. 1.63 s m C. 0.99 (*) s m D. 1.92 s A. 5. 1.98 0.28 Durante l’urto tra la sbarra e la massa m, la grandezza fisica che si conserva è: A. L’ energia meccanica della sbarra B. Il momento angolare totale del sistema sbarra+massa rispetto al punto O (*) C. L’ energia potenziale della sbarra D. La quantità di moto totale del sistema sbarra+massa M 6. Il modulo della velocità angolare della sbarra in subito dopo l’urto vale: rad s rad B. 1.92 s rad C. 2.35 s rad (*) D. 0.49 s A. 7. 10.63 Al termine del moto di risalita il sistema asta+massa si è spostato, rispetto alla direzione verticale, di un angolo θ pari a: θ = 60 .34 B. θ = 45 .57 C. θ = 30 .16 D. θ = 8 .46 (*) A. Esercizio n.2 Un convoglio ferroviario percorre un tratto curvo di lunghezza 5 km e raggio di curvatura 15 km, movendosi con accelerazione tangenziale costante. La velocità della locomotiva all’inizio del tratto è 80 km/h; alla fine di esso è aumentata a 90 km/h. Calcolare: • il tempo impiegato dalla locomotiva a percorrere il tratto curvo • il modulo dell’accelerazione tangenziale della locomotiva • il modulo dell’accelerazione normale della locomotiva alla fine del tratto curvo • il modulo dell’accelerazione della locomotiva alla fine del tratto curvo Rispondere quindi alle seguenti domande: 8. Il cambiamento del modulo della velocità della locomotiva è dovuto A. all’accelerazione normale B. all’accelerazione tangenziale (*) C. all’accelerazione di gravità D. all’accelerazione centrifuga 9. Il tempo impiegato dalla locomotiva a percorrere il tratto curvo vale 3 h (h=ora) 2 1 B. h (*) 17 1 h C. 35 2 D. h 45 A. 10. L’ accelerazione tangenziale ha modulo km h2 km B. 60 2 h km C. 120 2 h km D. 170 2 (*) h A. 30 11. L’ accelerazione normale alla fine del tratto ha modulo km h2 km B. 540 2 (*) h km C. 227 2 h km D. 738 2 h A. 828 12. Il modulo dell’ accelerazione alla fine del tratto curvo vale km h2 km B. 566 2 (*) h km C. 632 2 h km D. 833 2 h A. 928 Esercizio n.3 Un filo è avvolto intorno ad un cilindro di massa M e raggio R e può trascinare il cilindro facendolo rotolare lungo un piano inclinato. All’altro estremo del filo è attaccata una massa m il cui peso fornisce la forza motrice. Assumendo che il cilindro parta da fermo e che salga lungo il piano inclinato con moto di puro rotolamento, si calcoli: • la tensione della fune • l’ accelerazione angolare del cilindro • l’ accelerazione con cui cade la massa m la velocità angolare del cilindro e la velocità di caduta della massa m quando il cilindro è risalito lungo il piano inclinato di un tratto d R (vedi figura). Valori numerici: M=3kg, R=0.3m, m=1kg,θ=30°, d=1,5m. Si risponda quindi alle seguenti domande 13. Se il cilindro sale lungo il piano inclinato di una distanza d, il blocco m scende di A. 2d (*) B. d d θ 3d 2 d D. 2 o C. 14. La relazione tra l’accelerazione angolare α del cilindro e l’ accelerazione lineare a della massa m è R 2 B. a = 2αR (*) 1 C. a = α 2R R2 D. a = α 2 A. a=α 15. Il modulo della tensione del filo vale m A. 2.12 N B. 7.00 N C. 8.65 N (*) D. 15.34 N 16. Il modulo dell’accelerazione angolare del cilindro vale rad (*) s2 rad B. 6.17 2 s rad C. 9.05 2 s rad D. 14.57 2 s A. 1.92 17. Il modulo dell’ accelerazione della massa m vale m s2 m B. 1.15 2 (*) s m C. 2.8 2 s m D. 0.9 2 s A. 10.6 18. Il modulo della velocità angolare del cilindro dopo che questo è salito di d lungo il piano inclinato vale rad s rad (*) B. 4.39 s rad C. 1.5 s rad D. 115.8 s A. 20.5 19. Il modulo della velocità della massa m dopo che il cilindro è salito di d lungo il piano inclinato vale: m s m B. 14.8 s m C. 2.63 (*) s m D. 4.1 s A. 0.6 Altre domande: 21. Per un sistema di forze a risultante nulla R = 0 il momento non dipende dal polo M o = M o , ( 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. ) ( ) A. Vero (*) B. Falso L’ accelerazione di gravità g di un corpo vicino alla superficie terrestre, misurata in un sistema di riferimento inerziale, è uguale a quella misurata in un sistema solidale alla Terra A. Vero B. Falso (*) Le forze apparenti non derivano dalle interazioni fondamentali e esistono solo nei sistemi di riferimento non inerziali A. Vero (*) B. Falso Siano S ed S’ due sistemi di riferimento aventi origine comune ed in moto relativo rotatorio uniforme (S’ ruota rispetto ad S con velocità angolare costante ω ). Un punto fermo e quindi con accelerazione nulla in S’, ha accelerazione nulla anche in S A. Vero B. Falso (*) Il moto del centro di massa di un sistema di particelle è determinato dalla somma vettoriale delle forze interne e delle forze esterne A. Vero B. Falso (*) Se la risultante delle forze esterne su un sistema di particelle è nulla R = 0 , la quantità di moto totale ed il momento angolare totale rispetto ad un punto fisso in un sistema inerziale si conservano A. Vero (*) B. Falso Il lavoro delle forze interne di un sistema di particelle è sempre nullo a causa del principio di azione e reazione. A. Vero B. Falso (*) Il teorema di Huygens-Steiner dice che il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova a distanza d dal centro di massa del corpo è dato da I = I CM − md 2 dove I CM è il momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo passante per il centro di massa A. Vero B. Falso (*) Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito tra la ruota ed il piano compie un lavoro uguale alla variazione di energia cinetica della ruota A. Vero B. Falso (*) In un urto di una particella con un corpo rigido vincolato, la quantità di moto totale del sistema si conserva sempre A. Vero B. Falso (*) Un equilibrista gira su se stesso tenendosi attaccato ad una corda con entrambe le mani. Quando allarga le gambe la sua velocità angolare diminuisce. A. Vero (*) B. Falso La pressione di un fluido ideale in moto con regime stazionario in un condotto orizzontale è maggiore nei punti dove la sezione del condotto aumenta. A. Vero (*) B. Falso Il momento d’ inerzia di un corpo rigido dipende soltanto dalla forma e dalla massa di esso e quindi può essere considerato, proprio come la massa, una proprietà intrinseca del corpo rigido. A. Vero B. Falso (*) Un sistema di riferimento che ruota con velocità angolare ω costante rispetto ad un sistema inerziale è anch’ esso inerziale. A. Vero B. Falso (*) ( ) Soluzioni Esercizio n.1 Il moto della sbarra può essere schematizzato in 3 fasi: 1. fase di discesa della sbarra 2. urto completamente anelastico con m 3. risalita del sistema sbarra+massa Fase 1: il moto è regolato dalla CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA per la sbarra tra l’istante iniziale in cui la sbarra è ferma a 600 rispetto alla direzione verticale e l’istante finale immediatamente precedente all’urto con la massa m: K in + U in = K fin + U fin = 0 + Mg ( L − 1 L L cos θ0 ) = I o ω2 + Mg 2 2 2 ω= 3g (1 − cos θ0 ) L Fase 2: Durante l’urto si ha la CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE TOTALE del sistema sbarra+massa rispetto al polo O: ( 1 ) ML2 3 Lin ( sbarra ) + Lin (m) = L fin ( sbarra ) + L fin (m) = I o ω + 0 = ( I o + mL )ω' ω'= ω ( 1 ) ML2 + mL2 3 2 Fase 3: Durante la risalita del sistema sbarra+m si ha la CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA: K in ( sb + m) + U in ( sb + m) = K fin ( sb + m) + U fin ( sb + m) L L 1 2 + Mg = 0 + mg ( L − L cos θ) + Mg ( L − cos θ) ( I o + mL2 )ω' 2 2 2 Esercizio n.2 1 2 ( I o + mL2 )ω' (1 − cos θ) = 2 M ( + m) gL 2 km km la velocità iniziale, v f = 91 la h h velocità finale e t il tempo impiegato per percorrere il tratto curvo . Tenendo conto che il moto lungo il tratto curvo è uniformemente accelerato, si ha Siano s la lunghezza del tratto curvo, R il suo raggio di curvatura, v i = 89 vi + at t = v f 1 vi t + at t 2 = s 2 t= v f − vi at = at v 2f − vi2 2s L’ accelerazione normale a fine percorso vale an = v 2f R L’ accelerazione a fine percorso ha modulo a = at2 + an2 Esercizio n.3 Le equazioni della dinamica applicate alla massa m ed al cilindro (il cui moto di puro rotolamento è considerato una rotazione pura intorno all’ asse mobile passante per il punto di contatto O) danno ma = mg − T I o α = 2RT − MRg sin θ dove I o = 1 3 MR 2 + MR 2 = MR 2 è il momento di inerzia del cilindro rispetto all’asse passante per O, a ed 2 2 a sono rispettivamente l’accelerazione della massa m e l’accelerazione angolare del cilindro, T è la tensione del 2R filo. Risolvendo il sistema si ottiene α= 8m − 4M sin θ g 3M + 8m 3M + 4M sin θ mg T= 3M + 8m a= L’ accelerazione angolare del cilindro risulta α= a = 2R Lo spostamento della massa m è il doppio dello spostamento del CM del cilindro; la velocità angolare ω del cilindro, che è legata alla velocità di traslazione del suo CM dalla relazione v CM = 2ωR , e la velocità v di caduta della massa m sono tali v = 2ωR = 2v CM . Applicando la conservazione dell’ energia possiamo ricavare il valore di queste due quantità quando il cilindro ha percorso un tratto d lungo il piano inclinato: 1 1 3 1 Mgd sin θ − mg 2d + I o ω 2 + mv 2 = Mgd sin θ − mg 2d + MV 2 + mv 2 = 0 2 2 16 2 da cui si ricava v=4 ω= 2 R 2m − M sin θ gd 3M + 8m 2m − M sin θ gd 3M + 8m