Prova scritta del 21 marzo 2006

C.d.L. in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2005-06 – Fisica Generale - Prova del 21-03-06
ESERCIZIO 1
La pista di un aeroporto è lunga 810 m . Un aereo, partendo da fermo, deve acquistare una velocità
di v0 = 648 km h −1 per potersi sollevare da terra.
Supponendo che l’aereo acceleri costantemente, si calcolino:
a) l'accelerazione minima necessaria per poter effettuare il decollo;
b) il tempo impiegato dall’aereo a decollare.
Soluzione
Il moto dell’aereo è un moto rettilineo uniformemente accelerato; imponendo nelle equazioni
caratteristiche di tale moto che l’aereo dopo aver percorso uno spazio pari alla lunghezza della pista
abbia acquistato la velocità necessaria al decollo, si ottiene un sistema di due equazioni dal quali si
ricavano immediatamente le incognite.
Innanzitutto bisogna convertire la velocità in unita del S.I.. Si ha:
km
103 m
v0 = 648
= 648
= 180 m s −1
3600 s
h
Data la distanza entro la quale ci si deve arrestare e la velocità iniziale della macchina,
l’accelerazione si calcola mettendo a sistema le due equazioni:
⎧ v (t ) = a t
⎪
⎨
1 2
⎪⎩ x ( t ) = 2 a t
Si ottiene dunque, considerando i valori v ( t ' ) = 180 m s −1 e x ( t ' ) = 810 m :
v ( t ')
⎧
a=
⎪
t'
⎪
⎨
⎪ x ( t ' ) = 1 a t '2 = 1 ⎛ v ( t ' ) ⎞ t ' 2
⎜
⎟
⎪⎩
2
2⎝ t' ⎠
e, quindi,
2 x ( t ') 2 ( 810 m )
⎧
=
= 9s
⎪ t'=
−1
v
t
'
180
m
s
(
)
(
)
⎪
⎨
v ( t ') 180 m s −1
⎪
=
=
= 20 m s −2
a
⎪
t'
9s
⎩
ESERCIZIO 2
Il cilindro omogeneo di massa M e raggio R mostrato in figura può ruotare senza attrito attorno al
suo asse orizzontale. Una corda inestensibile, di massa e spessore trascurabili, è avvolta attorno al
cilindro, e al suo estremo libero sono appesi due corpi di uguale massa m uniti da
x
una seconda fune. Si lasciano i due corpi liberi di cadere; calcolare:
R
a) il modulo dell’accelerazione angolare del cilindro;
b) il modulo della tensione della fune che unisce due corpi (punto A in figura)
m
A
.
Soluzione
m
a) Il sistema è mobile attorno all’asse fisso x; si consideri quindi la proiezione in
questa direzione della II equazione cardinale della meccanica.
dL
d
M x( E ) = x = ( I xω + 2 m v R )
dt
dt
Le forze esterne agenti sul sistema sono il peso del cilindro e la reazione vincolare, che hanno
momento nullo rispetto all’asse x, e le forze peso dei due corpi appesi alla fune. Poiché il
C.d.L. in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2004-05 – Fisica Generale - Prova del 13-12-05
momento della quantità di moto del cilindro è esprimibile come prodotto del suo momento
d’inerzia rispetto all’asse x per la velocità angolare ω, uguagliando il momento delle forze
esterne rispetto all’asse x alla derivata del momento angolare del sistema e tenendo presente la
relazione fra accelerazione lineare, accelerazione angolare e raggio del cilindro, si ottiene
un’equazione nell’incognita ω.
dω
⎧
⎪⎪2 m g R = I x dt + 2 m a R
⎨
dω
⎪
a=
R
⎪⎩
dt
da cui
1
dω
dω 2
+ 2m
2 m g R = M R2
R
2
dt
dt
e infine
2m g
4m g
dω
=
=
dt ⎛ 1
⎞
( M + 4 m) R
⎜ M + 2m⎟ R
⎝2
⎠
b) L’equazione fondamentale della dinamica, scritta per il corpo a quota inferiore:
G G
G
mg + T = ma
e proiettata nella direzione del moto
mg − T = ma
consente di ricavare il modulo di richiesto:
⎛
4m g ⎞
mM
T = m ( g − a) = m ⎜ g −
g
⎟=
M + 4m ⎠ M + 4m
⎝
ESERCIZIO 3
Si consideri una corda orizzontale lunga 5 m e di massa uguale a 1.45 g.
a) Quale deve essere la sua tensione affinché la lunghezza d’onda λ di un’onda di frequenza
ν = 120 Hz che si propaga lungo la corda misuri 60 cm?
b) Quale massa si deve appendere a un’estremità della corda per produrre tale tensione?
Soluzione
a) La relazione tra velocità, frequenza e lunghezza d’onda è:
v = λν = ( 0.6 m )(120 Hz ) = 72.0 m s −1
D’altra parte la velocità di propagazione è data dalla relazione:
v=
τ
µ
Dove la massa lineica del filo è:
µ=
Si ricava pertanto:
m 1.45 ⋅10−3 kg
=
= 0.29 ⋅10−3 kg m −1
5m
l
τ = µ v 2 = ( 0.29 ⋅10−3 kg m −1 )( 72.0 m s −1 ) = 1.5 N
2
b) La massa da appendere alla fune deve essere tale da eguagliare, con la forza peso, la tensione
richiesta:
τ
1.5 N
τ =mg ⇒m= =
= 0.153 kg
g 9.8 m s −2
2