Programma del corso

Programma del corso di Analisi Matematica 1
Area dell’Ingegneria dell’Informazione – Canale 2
Anno Accademico 2016/2017
Legenda: dove compare (D) si intende che la dimostrazione del risultato è richiesta a tutti; dove compare (d) si intende che la dimostrazione del risultato è
facoltativa e sarà richiesta solo agli studenti ammessi alla prova orale con un voto
maggiore o uguale a 25. Le dimostrazioni restanti non sono richieste. Tutte le definizioni e gli enunciati qui elencati sono richiesti, insieme agli esempi fondamentali
che li illustrano.
Elementi introduttivi
Elementi di logica. Proposizioni, connettivi logici, quantificatori, uso della negazione con altri connettivi e/o quantificatori. Leggi di De Morgan. Principio di
induzione.
Il fattoriale, il coefficiente binomiale ed il binomio di Newton (dim. non richieste).
Elementi di teoria degli insiemi. Unione, intersezione, differenza, complementazione e prodotto cartesiano. Leggi di De Morgan.
Numeri razionali. Proprietà di densità,
di Archimede, numerabilità, rappresenta√
zione decimale. Irrazionalità di 2 (d).
Numeri reali. Definizione. Teorema di completezza. Intervalli. I simboli −∞ e +∞
e la retta reale estesa. Modulo o valore assoluto. Disuguaglianza triangolare (d).
Insiemi limitati, superiormente ed inferiormente limitati. Maggioranti, minoranti,
massimo e minimo di un insieme. Definizione di estremo superiore, di estremo
inferiore e loro caratterizzazione (D). Proprietà di Archimede. Densità di Q in R
(d). Radicali e potenze ad esponente reale. Logaritmi.
Numeri complessi. Forma algebrica. Coordinate polari, forma trigonometrica ed
esponenziale. Significato geometrico del prodotto di due numeri complessi (D).
Radici n-esime dei numeri complessi, formula di De Moivre (D). Radici di polinomi
e teorema fondamentale dell’algebra.
Funzioni.
Definizione di funzione. Grafico di una funzione. Immagine e controimmagine
di un insieme. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive. Funzione inversa.
Funzioni pari e dispari. Funzioni monotone. Funzioni periodiche. Funzioni limitate e illimitate. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una
1
funzione. Potenze ad esponente intero e radici. Potenze ad esponente reale. Esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni iperboliche
e loro inverse. Grafici di queste funzioni.
Limiti di funzioni di una variabile reale
Intorni sferici. Intersezione di intorni è un intorno. Proprietà di separazione degli
intorni (D). Definizione di punto di accumulazione e di punto isolato.
Limiti e loro calcolo. Definizione di limite. Teorema di unicità del limite (D).
Locale limitatezza delle funzioni con limite finito in un punto (d). Limiti destro e
sinistro. Esistenza dei limiti destro e sinistro ed esistenza del limite (d). Teorema
della permanenza del segno (D). Teorema del confronto. Teorema dei due carabinieri (D). Il limite fondamentale di (sin x)/x per x → 0 (D). Limiti al finito della
funzione seno (d). Limiti di funzioni monotone (D). Teorema del cambio di variabile. Limiti della somma (D), del prodotto (D) e del quoziente di due funzioni.
Limiti fondamentali derivanti da quello di (sin x)/x per x → 0 (d). Numero di
Nepero, il limite di (1 + 1/n)n per n → ±∞ (D) e limiti fondamentali conseguenti
(d). Forme indeterminate. Il simbolo “o” piccolo: Definizione e sua algebra; il
simbolo “O” grande ed il simbolo “∼”. Sviluppo asintotico di una funzione composta. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti (D). Confronto
fra infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e infinitesimo. Gerarchia degli infiniti
tra le funzioni elementari (d).
Successioni e serie numeriche
Successioni. Definizione di limite per una successione. Successioni convergenti,
divergenti, indeterminate. Gerarchia degli infiniti (d). Limitatezza delle successioni convergenti (d). Teoremi della permanenza del segno, del confronto e dei
due carabinieri. Caratterizzazione del limite di successioni monotone. Progressione geometrica. Gerarchia degli infiniti (d). Sottosuccessioni. Caratterizzazione del limite di funzioni con le successioni (teorema “ponte”) (D). Teorema di
Bolzano-Weierstrass (d).
Serie. Definizione di somma parziale e di serie convergente, divergente, indeterminata. Carattere e somma di una serie geometrica (D). Carattere della somma
di serie convergenti e del prodotto di una serie per una costante (d). Resto parziale
n-esimo. Limite del termine generale di una serie convergente (D). Carattere della
serie armonica (D) e della serie armonica generalizzata (d). Carattere di una serie
a termini definitivamente non negativi (D). Definizione di convergenza assoluta
e sua relazione con la convergenza semplice (D). Criterio del confronto (D). Criterio asintotico del confronto (D). Criterio del rapporto (d) e corrispondente criterio
2
asintotico (d). Criterio della radice (D) e corrispondente criterio asintotico (D).
Criterio di Leibniz (D).
Funzioni continue di una variabile reale
Definizione di funzione continua. Continuità della somma, del prodotto e del
quoziente di funzioni continue. Continuità della composizione di funzioni continue. Sviluppo asintotico della composizione di funzioni. Discontinuità di prima e
seconda specie. Discontinuità eliminabile e prolungamento per continuità. Teorema di Weierstrass (D). Teorema di Bolzano o degli zeri (D). Teorema dei valori
intermedi (D). Continuità delle funzioni elementari.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Definizioni e prime proprietà. Definizione di derivata, di approssimazione del
prim’ordine e di retta tangente. Continuità di una funzione derivabile (D). Derivate destra e sinistra. Legame tra derivabilità e derivabilità da destra e da sinistra
(d). Derivata della somma, del prodotto e del quoziente di funzioni derivabili (D).
Derivata della funzione inversa di una funzione derivabile. Derivata della composizione di funzioni (D). Calcolo delle derivate delle principali funzioni elementari
(d). Derivata del modulo di una funzione (D). Classificazione dei punti di non derivabilità: punto angoloso, flesso a tangente verticale, cuspide. Funzione derivata
e derivate successive. Derivate successive. Funzioni di classe C n e di classe C ∞ .
Proprietà delle funzioni derivabili. Teorema di Fermat (D). Teorema di Rolle
(D). Teorema di Lagrange (D). Teorema di Cauchy. Costanza delle funzioni con
derivata nulla (D). Legame tra monotonia e derivata prima (D). Teorema di De
L’Hôpital ((d) solo nel caso 00 ). Teorema sul limite della derivata. Esercizi sul
numero degli zeri di funzioni con metodi di calcolo differenziale. Definizione di
funzioni convesse e concave. Teorema sulla monotonia della derivata prima in una
funzione convessa. Legame tra convessità e segno della derivata seconda (d). Punti
di flesso. Legame tra punti di flesso e zeri della derivata seconda (d). Asintoto
orizzontale, verticale e obliquo e studi di funzione.
Formula di Taylor. Polinomio di Taylor e di MacLaurin. Formula di Taylor con il
resto di Peano (D). Sviluppi delle funzioni elementari più comuni (D); calcolo di
limiti mediante gli sviluppi asintotici. Formula di Taylor con il resto di Lagrange.
Serie di Taylor e relativo teorema (d).
Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale
Integrale di Cauchy-Riemann. Partizioni e partizioni puntate di un intervallo. Ampiezza di una partizione. Somme di Cauchy. Definizione di funzione integrabile
3
e di integrale. Integrale come area (con segno) del sottografico. Integrabilità delle
funzioni costanti.
Classi di funzioni integrabili. Non integrabilità della funzione di Dirichlet. Integrabilità delle funzioni monotone e continue a tratti.
Proprietà degli integrali. Linearità dell’integrale. Additività rispetto all’intervallo di integrazione. Monotonia. Disuguaglianza sul modulo dell’integrale di una
funzione integrabile. Teorema della media (D).
Calcolo di integrali. Il concetto di primitiva di una funzione. Legame tra primitive
di una stessa funzione su un intervallo (D). Definizione di funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo, versione Teor. 7.13 (D) e versione Teor. 7.8
((D) nell’Osservazione 7.20 a p. 494). Metodi di integrazione: integrali immediati
o ad essi riconducibili, integrazione per parti (d), integrazione per sostituzione (d).
Sostituzioni classiche trigonometriche e iperboliche per alcuni integrali irrazionali.
Integrali di alcune classi di funzioni razionali fratte o integrali ad esse riconducibili.
Integrali generalizzati. Definizione di integrabilità in senso improprio e di integrale generalizzato o improprio. Assoluta integrabilità. Integrabilità in senso
improprio delle funzioni assolutamente integrabili. Criterio del confronto (D). Criterio asintotico del confronto. Criterio dell’integrale per le serie (d). Integrabilità
di 1/xα in P
[0, 1] e in [1, +∞[ P
(D) e di 1/(xα (ln x)β ) in [2, +∞[ (D). Convergenza
∞
α
β
α
delle serie ∞
n=2 1/(n (ln n) ) (D).
n=1 1/n (D) e
Testo adottato: A. Marson, P. Baiti, F. Ancona, B. Rubino, Analisi Matematica 1, Teoria e applicazioni, Carocci, Roma 2010.
È disponibile una dispensa a cura di A. Marson, G. Colombo e C. Sartori, edita
dalla CUSL (via Belzoni 162, Padova), contenente temi d’esame svolti.
Giovanni Colombo
[email protected]
4