LINEA NON ADATTATA (ONDE STAZIONARIE)

LINEA NON ADATTATA (ONDE STAZIONARIE)
Nel caso in cui l’impedenza di carico non sia uguale a quella caratteristica le equazioni che
definiscono il comportamento della linea sono quelle generali complete ricavate nel 1°capitolo.
Per comodità vengono ora qui riportate.
Vx  Vd  eγx  Vr  e γx
(1)
Ix 
Vd x Vr x
e 
 e  I d  ex  I r  e x
Z0
Z0
Come si può vedere esse sono la somma di due termini relativi rispettivamente all’onda diretta e
all’onda riflessa. I valori della tensione e della corrente in punto qualsiasi della linea si calcolano,
quindi, effettuando la somma vettoriale dei due termini.
Poiché l’onda riflessa si genera sul carico e si propaga verso il generatore, essa dipende dal
disadattamento tra linea e carico.
Per valutare l’entità del disadattamento è opportuno definire un parametro che esprime la quantità di
onda diretta che viene rinviata verso il generatore. Questo parametro prende il nome di coefficiente
di riflessione.
Esso può essere definito in ogni punto della linea ed espresso sia per la tensione che per la corrente
(dato che il concetto è il medesimo, faremo sempre riferimento al coefficiente di riflessione in
tensione):
K v( x) 
Vrx
Vdx
(3-1)
Come si vede dalla relazione matematica il coefficiente di riflessione è una grandezza vettoriale
definibile in ogni punto della linea come il rapporto tra i valori dell’onda riflessa e dell’onda diretta:
esso, quindi, varierà da punto a punto sia in modulo che in fase.
Questo parametro risulta particolarmente utile se misurato sul carico, ovvero nel punto di ascissa
x=0:
KVu 
Vr Z L  Z 0

Vd Z L  Z 0
(3-2)
Si può osservare che il modulo di questa grandezza varia tra 0 e 1.
Infatti se
ZL  Z0
si ottiene:
| K Vu | 0
(condizione di adattamento con riflessione nulla, come trattato nel precedente capitolo).
Si avrà invece
| K Vu | 1 (riflessione totale: onda riflessa uguale a quella diretta)
nel caso in cui Z L  0 (linea in corto circuito), e Z L   (linea a vuoto).
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Queste due condizioni estreme comportano che l’onda riflessa è uguale a quella diretta e quindi
tutto il segnale viene rinviato al generatore. I due casi (linea in corto circuito e linea a vuoto),
essendo importanti per creare circuiti di adattamento, saranno presi in considerazione
successivamente.
Per studiare una linea disadattata, oltre al coefficiente di riflessione, viene introdotto un altro
parametro che prende il nome di rapporto di onda stazionaria: questo nome si riferisce al fatto che
in condizioni di disadattamento le due onde che si propagano lungo la linea con la medesima
velocità, danno luogo ad un onda totale o stazionaria che è data, in ogni punto, dalla somma
vettoriale delle due grandezze (ciò si evince dalle equazioni generali della linea): in ogni punto della
linea si ottiene un valore costante nel tempo e quindi stazionario.
Poiché le due onde diretta e riflessa subiscono un’ attenuazione ed uno sfasamento rispettivamente
in senso antiorario e orario la loro somma darà luogo in ogni punto a dei valori diversi.
In alcuni punti della linea le due onde risulteranno in fase: la loro somma sarà un valore massimo;
in altri punti, invece, le due onde si troveranno in controfase dando luogo ad un valore minimo.
I punti in cui si avrà un valore massimo saranno detti punti di ventre mentre dove si otterrà un
minimo avremo punti di nodo.
È possibile dimostrare che tra un ventre ed un nodo ( tra un punto di massimo e uno di minimo)
esiste una distanza pari a λ/4.
Naturalmente il discorso dei punti di ventre e di nodo si definisce per l’onda totale di tensione e per
l’onda totale di corrente, ma come si potrebbe dimostrare, prendendo in considerazione le equazioni
generali, un punto di ventre di tensione è contemporaneamente un punto di nodo di corrente: in
questo modo si rispetta un principio di natura energetica poiché la potenza non può variare da punto
a punto.
Dato che tra un ventre e un nodo c’è una distanza pari a λ/4 tra due ventri o tra due nodi esiste una
distanza pari a λ/2.
Le onde stazionarie si manifestano quando la linea è disadattata ( Z L 
del disadattamento si introduce il ROS (rapporto di onda stazionaria).
Esso viene espresso dalla relazione:
ROS 
| V max | | V d |  | V r |

| V min | | V d |  | V r |
Z 0 );per valutare l’entità
(3-3)
Come si vede dall’espressione matematica il ROS è il rapporto tra tensione massima di ventre e
tensione minima di nodo.
Un’analoga definizione può essere scritta per le correnti.
Dalla relazione matematica del ROS si possono trovare i limiti della sua variabilità.
Nel caso in cui la tensione riflessa è nulla
ROS =1 (linea adattata);
in caso di riflessione totale (tensione riflessa uguale a tensione diretta)
ROS = ∞ (linea a vuoto e in corto circuito).
Risulta evidente quindi che il ROS debba essere il più piccolo possibile e avvicinarsi all’unità; per
misurare il valore del ROS sono stati realizzati appositi strumenti chiamati rosmetri.
Un’altra espressione del ROS è in funzione del coefficiente di riflessione; si può dimostrare che si
ottiene:
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ROS 
1 | K V |
1 | K V |
(3-4)
Impedenza di linea
Un parametro importante nello studio delle linee di trasmissione è il valore che assume l’impedenza
in un punto x qualsiasi della linea (ciò serve per eventuali studi per l’adattamento).
Nel caso in cui la linea sia adattata si è già detto che l’impedenza è sempre uguale al valore
caratteristico. Si ha quindi in ogni punto della linea
Z x  Z0
Se la linea non è adattata il valore della sua impedenza è variabile da punto a punto.
Si può intuire, ad esempio, che in un punto di ventre di tensione, in cui la tensione è massima e la
corrente è minima, l’impedenza sarà massima mentre presenterà un valore minimo in un punto di
ventre di corrente in cui, invece, la tensione è minima e la corrente massima.
Naturalmente l’impedenza Zx di linea può essere calcolata analiticamente mediante le equazioni di
linea. Si può dimostrare che Zx può essere calcolata con la relazione:
Z x Z0
Z u  j Z 0  tg x 
Z 0  j Z u  tg x 
(3-5)
Questa espressione si semplifica notevolmente nel caso di punti di ventre o nodo. Per un ventre di
tensione:
Z max  Z 0  ROS
(3-6)
Per un nodo di tensione:
Z min 
Z0
ROS
(3-7)
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