18 Febbraio - Sezione di Fisica

Esame Scritto, Modulo di Fisica, Corso di Chimica e Fisica Generali, per Biotecnologie
18 Febbraio 2014
Il tempo a disposizione è di tre ore. E’ ammesso l’uso di calcolatrici. Non è ammesso l’uso di appunti, libri, computer,
telefoni, altri dispositivi di comunicazione. Costanti utili: accelerazione di gravità g = 9.81 m/s2 , densità dell’acqua
ρ = 103 Kg/m3 , Si raccomanda di spiegare in modo conciso ma chiaro il procedimento seguito: risposte del tutto prive
di giustificazione non saranno considerate valide anche se corrette.
Problema 1 (12 punti)
Un blocco di massa m = 4 kg è collegato ad un estremo di una fune inestensibile e di massa trascurabile; l’altro estremo
della fune è avvolto attorno ad una carrucola di momento d’inerzia I = 0.5 kg· m2 e raggio R = 0.2 m. La carrucola
è soggetta a forze di attrito frenanti di momento incognito τ . Il blocco inizia a muoversi da fermo, e si osserva che si
abbassa di 9 m in 3 s. Calcolare:
1. l’accelerazione del blocco;
2. la tensione T della fune;
3. il momento τ delle forze d’attrito che si oppongono al moto della carrucola.
Problema 2 (9 punti)
Una persona con una casa di montagna isolata vuole installare un impianto idroelettrico per sfruttare una vicina
cascata, alta h = 5 m. Il corso d’acqua è profondo p = 0.5 m e largo ` = 3 m, l’acqua scorre con velocità v = 1.2 m/s.
Si assume che il rendimento dell’impianto, ovvero il rapporto fra energia prodotta ed energia cinetica dell’acqua, non
superi il 25 %.
1. Quanta acqua cade (in volume e in massa) per unità di tempo?
2. Qual è la potenza che si può produrre?
Problema 3 (12 punti)
Nel circuito rappresentato in figura, si assumano f = 35 V, R1 = 200 Ω,
R2 = 100 Ω, R3 = 50 Ω, C = 1 µF. In condizioni stazionarie, si calcoli:
1. la corrente che fluisce attraverso la batteria;
2. la carica sulle armature del condensatore;
3. l’energia immagazzinata nel condensatore.
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Soluzioni
Problema 1
• Il moto è uniformemente accelerato: tutte le forze in gioco, e quindi anche le accelerazioni, sono costanti. Lo
spazio percorso dal blocco (che parte da fermo) è quindi y = at2 /2, ovvero a = 2y/t2 . Sostituendo y = 9 m e
t = 3 s, si trova a = 2 m/s2 .
• Il moto del blocco dipende unicamente dalla forza peso mg diretta verso il basso e dalla tensione della corda T
diretta verso l’alto. Quindi: mg − T = ma, con a determinato prima, da cui T = m(g − a) = 31.2 N (dato che
m = 4 kg)
• La carrucola gira per effetto della tensione della corda T , di momento T R rispetto all’asse della carrucola.
L’equazione del moto della carrucola è quindi Iα = T R − τ , dove α è l’accelerazione angolare. Il momento τ è
dato da τ = T R − Iα. Notiamo che il moto della ruota e quello del blocco sono legati (se la corda non scivola!)
dalla relazione α = a/R. Si ottiene quindi τ = T R − Ia/R = (31.2 · 0.2 − 0.5 · 2/0.2) kg· m/s2 = 1.24 kg· m/s2
Problema 2
• Il flusso volumetrico Av di acqua che attraversa la sezione del fiume è dato dal prodotto della sezione per la
velocità (che assumiamo costante su tutta la sezione ed ortogonale alla stessa): AV = p`v = 0.5 · 3 · 1.2 m3 /s
= 1.8 m3 /s. Il flusso di massa Am è uguale alla quantità precedente, moltiplicata per la densità dell’acqua:
AV = p`ρv = 1800 kg/s.
• L’acqua cade da un’altezza h, acquistando quindi un’energia cinetica mV 2 /2 = mv 2 /2 + mgh, come si ricava
immediatamente dalla conservazione dell’energia. Trascuriamo v in tale espressione e troviamo mV 2 /2 = mgh
La potenza che l’impianto idroelettrico può produrre è pari ad una frazione η = 0.25 dell’energia cinetica
disponibile nell’unità di tempo. Questa è data dalla massa che cade, per unità di tempo, moltiplicata per gh, da
cui P = ηAm gh = 1800 · 9.81 · 5 W=22.1 kW (nel caso non volessimo trascurare v nell’espressione dell’energia
cinetica, P = ηAm (v 2 /2 + gh) = 22.4 kW).
Problema 3
• In condizioni stazionarie, il condensatore è carico, non c’è alcun flusso di corrente verso il condensatore: è come
se non ci fosse. Il circuito si riduce quindi ad una batteria di 35 V, collegata a tre resistenze in serie di resistenza
equivalente R = R1 + R2 + R3 = 350 Ω. La corrente che fluisce nella batteria è quindi I = f /R = 35 V/350 Ω,
ovvero I = 0.1 A.
• Il condensatore C è collegato in parallelo alla resistenza R1 . La differenza di potenziale ai capi della resistenza,
V = R1 I = 20 V, deve essere uguale alla differenza di potenziale ai capi del condensatore, V = Q/C, da cui:
Q = CV = 20 V ·1µF ·2 × 10−5 C.
• L’energia cinetica immagazzinata nel condensatore vale U = CV 2 /2 = 1µF ·400 V2 /2 = 2 × 10−4 J.
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