ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI DELLA PROVA DEL 28/09/2009
ESERCIZIO 1
(a) Gli alberi di derivazione richiesti sono dati da
[φ]1
φ∨ψ
[φ ∨ ψ ⇒ ξ]2
ξ
φ⇒ξ
⇒I,1
(φ ∨ ψ ⇒ ξ) ⇒ (φ ⇒ ξ)
⇒I,2
e da
[¬φ ⇒ ψ]3
ψ
[¬ψ]2
⊥
¬¬φ ⇒ φ
¬¬φ
φ
¬ψ ⇒ φ
[¬φ]1
⇒I,1
⇒I,2
(¬φ ⇒ ψ) ⇒ (¬ψ ⇒ φ)
⇒I,3
(b) La valutazione v definita ponendo
v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 0
rende falsa la formula (p ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r), in quanto v(p ∧ q ⇒ r) = 1 e v(p ⇒ r) = 0, come é
facile verificare.
(c) Si vedano le dispense.
ESERCIZIO 2
(a) Un albero di derivazione che dimostra la formula in questione é dato da
∀x(φ ⇒ ψ(x)) 2
φ ⇒ ψ(x)
[φ]1
ψ(x)
∀xψ(x)
φ ⇒ ∀xψ(x)
⇒I,1
∀x(φ ⇒ ψ(x)) ⇒ φ ⇒ ∀xψ(x)
⇒I,2
(b) Dalla definizione di validitá di una formula, si ha che le seguenti asserzioni sono equivalenti:
(i) J∀x1 ∀x2 x1 < x2 ⇒ ∃y(x1 < y < x2 ) K = 1.
(ii) Per ogni p1 , p2 ∈ Q, Jx1 < x2 ⇒ ∃y(x1 < y < x2 )Kx1 7→p1 ,x2 7→p2 = 1.
(iii) Per ogni p1 , p2 ∈ Q, se Jx1 < x2 Kx1 7→p1 ,x2 7→p2 = 1 allora J∃y(x1 < y < x2 )Kx1 7→p1 ,x2 7→p2 = 1.
(iv) Per ogni p1 , p2 ∈ Q, se Jx1 < x2 Kx1 7→p1 ,x2 7→p2 = 1 allora esiste q ∈ Q tale che Jx1 < y <
x2 Kx1 7→p1 ,x2 7→p2 ,y7→q = 1.
(v) Per ogni p1 , p2 ∈ Q, se p1 < p2 allora esiste q ∈ Q tale che p1 < q < p2 .
Quest’ultima formula vale perché, presi p1 , p2 ∈ Q tali che p1 < p2 , possiamo prendere q =
dimostrare che p1 < q < p2 .
p1 +p2
2
e
(c) Si vedano le dispense.
ESERCIZIO 3.
(a) Definiamo f : N → N fissando
f (m) = m .
Definiamo g : N × N × N → N fissando
g(m, n, p) = p + 3n2 + 3n + 1 .
Con queste definizioni, dimostriamo quanto richiesto per induzione. Per il caso base, abbiamo
h(m, 0) = f (m) = m = m + 03
Per il passo induttivo, supponiamo h(m, n) = m + n3 e dimostriamo h(m, n + 1) = m + (n + 1)3 .
Abbiamo quindi
h(m, n + 1) = g(m, n, h(m, n)) = g(m, n, m + n3 ) = m + n3 + 3n2 + 3n + 1 = m + (n + 1)3 ,
come volevasi dimostrare.
(b) Utilizziamo il fatto che un insieme S é ricorsivo se e solo se sia S che N \ S sono ricorsivamente
enumerabili. Per dimostrare che S é ricorsivamente enumerabile, si consideri la funzione ricorsiva
f : N → N data da f (n) = 2n. Abbiamo che
S = {f (n) | n ∈ N}
e quindi che S é ricorsivamente enumerabile, in quanto immagine di una funzione ricorsiva. Per
dimostrare che N \ S é ricorsivamente enumerabile, si consideri invece la funzione ricorsiva g : N → N
data da g(n) = 2n + 1. Abbiamo che
N \ S = {n ∈ N | n dispari } = {g(n) | n ∈ N}
e quindi che N \ S é ricorsivamente enumerabile, come prima.
(c) Sia S un insieme ricorsivamente enumerabile. Quindi esiste una funzione ricorsiva f : N → N tale
che
S = {f (m) | m ∈ N}
Da questo segue che
{g(n) | n ∈ S} = {g(f (m)) | m ∈ N} = {g ◦ f (m) | m ∈ N} ,
Quindi l’insieme {g(n) | n ∈ N} é l’immagine della funzione composta g ◦ f : N → N, che é ricorsiva
in quanto é la composta di due funzioni ricorsive.
ESERCIZIO 4.
(a) Si vedano le dispense.
(b) Sia p ∈ P(a) ∪ P(b). Ne segue che p ∈ P(a) o p ∈ P(b). Nel primo caso, p ⊆ a. Da questo
segue p ⊆ a ∪ b, in quanto a ⊆ a ∪ b, e quindi p ∈ P(a ∪ b). Nel secondo caso, p ⊆ b e si procede
analogamente.
(c) Visto che ℵ0 = card(N), per dimostrare card(Z) = ℵ0 , é necessario dimostrare che esiste una funzione
biiettiva f : Z → N. Una tale funzione puó essere definita mappando i numeri interi positivi
nei numeri naturali pari e i numeri interi negativi nei numeri interi dispari, secondo la seguente
definizione:
2n
se n ≥ 0
f (n) =
−2n − 1 se n < 0
Si lascia al lettore la verifica che questa funzione é iniettiva e suriettiva.