forze, lavoro, energia – esercizio n. 52 - Digilander

forze, lavoro, energia – esercizio n. 52
Un sasso viene lasciato cadere con velocità iniziale nulla in un pozzo profondo fino
al centro della terra. Trovare la velocità del sasso quando arriva al centro della terra
ed il tempo impiegato, trascurando ogni attrito e la rotazione della terra. (raggio
della terra R = 6600 km)
R.: 8040 m/s ; 1209 s;
P
y
Supponiamo che il pozzo, passando per il centro della terra arrivi dalla parte opposta, ad
esempio partendo dal polo nord arrivi al polo sud.
Il sasso parte con accelerazione massima e con velocità nulla, ma attratto dalla massa
della terra supposta concentrata nel centro aumenta di velocità, mentre l’accelerazione
diminuisce. Tale velocità risulterà massima nel centro della terra, mentre l’accelerazione
risulterà nulla, e raggiunto questo punto proseguirà diminuendo di velocità fino a
raggiungere la parte opposta con velocità nulla, ma accelerazione massima in verso
opposto alla precedente.
In fondo si tratta di un moto armonico.
In tali ipotesi si considerino le due seguenti posizioni occupate dal sasso:
1) Posizione di massima elongazione rispetto alla posizione naturale di riposo y = R.
2) Posizione naturale di riposo y = 0.
Le due posizioni differiscono tra loro nel tempo di un quarto di periodo.
Nella prima posizione il sasso è fermo e quindi ad esso compete la massima energia
potenziale, mentre l’energia cinetica è nulla. Nella seconda posizione il sasso è invece
dotato della massima velocità e pertanto possiede la massima energia cinetica e l’energia
potenziale è nulla.
Trattandosi di un sistema chiuso, in ogni istante deve essere costante la somma delle due
forme di energia. Ne segue che l’energia potenziale nella prima posizione deve essere
uguale all’energia cinetica corrispondente alla seconda posizione.
Il moto avrà una legge del tipo:
y = R ⋅ sen ω ⋅ t
La velocità sarà:
dy
v=
= ω ⋅ R ⋅ cos ω ⋅ t
dx
Il valore massi mo della velocità sarà:
v max = ω ⋅ R
1
forze, lavoro, energia – esercizio n. 52
L’energia cinetica massima sarà:
1 P 2
1 P
= ⋅ ⋅ ω2 ⋅ R2
Ec = ⋅ ⋅ v max
2 g
2 g
L’energia potenziale sarà:
1
Ep = ⋅ P ⋅ R
2
Eguagliando le due forme di energia:
1 P 2 2 1
⋅ ⋅ ω ⋅R = ⋅P ⋅R
2 g
2
ω=
g
R
E quindi la velocità:
g
v max = ω ⋅ R = R ⋅
= g ⋅ R = 9,8 ⋅ 6600 ⋅ 103 = 8042 m/s
R
Ricordando che:
Poiché cerchiamo il tempo di caduta del sasso fino al centro della terra tale tempo
corrisponderà ad un quarto del periodo:
T 5153
t= =
= 1209 s
4
4
2