test vettori e cinematica 19 marzo 2013 - INFN-CS

Esercizi 19 Marzo 2013
1.Un sasso, legato ad una fune inestensibile
lunga L = 0.5 m, ruota in un piano verticale. Il
centro dei cerchi descritti è ad altezza H = 2.5
m dal suolo.
La corda si spezza quando il sasso si trova nel
punto più alto della sua traiettoria e il sasso
tocca suolo avendo percorso, orizzontalmente,
un tratto Dx = 11m.
Si determini l’accelerazione centripeta del sasso nel momento in cui la fune si spezza.
(g = 9.8 m s-2 )
2.Un corpo si muove lungo una circonferenza con velocità costante in modulo e compie 5.67
giri in 18 s. Il modulo dell’accelerazione centripeta è |ac| = 7 m s-2 .
Determinare la velocità del corpo e la sua accelerazione (periferica ed angolare)
3.Un sasso (A) è lasciato cadere, con velocità iniziale nulla, dall’altezza HA = 45 m.
Contemporaneamente è lanciato verso l’alto, lungo la verticale di caduta del sasso A e dalla
quota HB = 21 m, un altro sasso (B) con velocità iniziale V0B. Sapendo che i due sassi si urtano
a quota H = 40 m, determinare:
la velocità iniziale del sasso B e le velocità di ciascuno dei sassi nel momento in cui si urtano.
(g = 10.0 m s-2 )
4.Calcolare modulo e componenti di :
C=A+B , D=AXB
Sapendo che A = 3 i – 4 k e che B e’ un vettore di modulo 12, posto nel piano XY, che forma
un angolo di 30° con l’ asse X
SOLUZIONI:
1. L’accelerazione centripeta, nel momento in cui la fune si spezza, e’ :
ac = Vi2 /L dove Vi e’ la corrispondente velocita’ del sasso; Vi = i Vi
Per determinare Vi studiamo il moto del sasso successivamente alla rottura della fune.
Il sasso sara’ soggetto alla forza di gravita’ lungo l’ asse verticale mentre si muovera’
a velocita’ costante lungo l’ asse orizzontale:
(1) x(t) = x0 + Vi t
(2) y(t) = (H+L) - .5 g t2
Il sasso tocca il suolo al tempo t = T :
(1)  Dx = Vi T
(2)  H+L = .5 g T2
da cui : Vi = Dx √ (g / 2(H+L)) = 14.06 m/s
ac = Vi2 /L = 395.37 m s-2
2. Per percorrere 1 giro il corpo impiega 18/5.37 = 3.17 s e questo e’ il periodo T con cui
il corpo ruota.
(1) T = 2 π R /V ( V = velocita’ periferica del corpo; R = raggio della circonferenza)
(2) ac = V2/R (R = raggio della circonferenza)
Da (2) abbiamo : R = V2 / ac e sostituendo in (1) otteniamo:
V = ac T /2 π = 3.53 m/s
Il corpo si muove con velocita’ costante in modulo  Accelerazione periferica = 0,
Accelerazione angolare = 0
3. Poiche’ i sassi si urtano arrivano alla stessa quota allo stesso tempo (T)
Scriviamo le equazioni del moto per ciascuno dei sassi :
Sasso A : H-HA =-.5 g T2  T = 1s (poiche’ il sasso A ha velocita’ iniziale VoA =0
Sasso B: H- HB = V0b T - .5 g T2  VoB = 24 m/s (dove VoB e’ la velocita’ iniziale
del sasso B)
Le velocita’ di ciascuno dei sassi a t =T saranno rispettivamente:
Sasso A: VA = VoA – g T = -10 m/s
Sasso B: VB = VoB – g T = 14 m/s