numeri decimali e frazioni generatrici

Ogni frazione si può trasformare, dividendo il numeratore per il
denominatore, in un numero che sarà:
naturale, se la frazione è apparente.
Esempi:
4
=2
2
60
=5
12
24
=3
8
decimale limitato o illimitato, se la frazione non è apparente.
Esempi:
3
9
7
= 0,375
= 0,9
= 0,07
8
10
100
3
7
3
0,1363636....
= 0,46666....
= 0,272727.....
22
15
11
•Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale
limitato.
•Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale
limitato solo se il suo denominatore, scomposto in fattori primi,
contiene esclusivamente i fattori 2 o 5 o entrambi.
Frazioni decimali:
41
= 4,1
10
37
= 0,37
100
Frazioni ordinarie:
7
= 0,35 20 = 2 2 × 5
20
35
= 4,375 8 = 23
8
1. Periodico semplice.
7
= 0,7777....
9
Esempi:
11
= 3,6666....
3
4
= 0,363636....
11
Notiamo che in questi numeri, una cifra o un gruppo di cifre si
ripete all’infinito subito dopo la virgola. Questi numeri si dicono
numeri decimali illimitati periodici semplici; la cifra o il gruppo di
cifre che si ripete si chiama periodo e si indica nel seguente
modo:
0,7
3, 6
0, 3 6
Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni
otteniamo:
9 = 32
3
11
Notiamo che questi denominatori non contengono affatto i fattori primi 2 o 5.
1. Periodico semplice.
In sintesi diciamo che:
•Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se, in esso,
subito dopo la virgola, inizia il periodo, cioè una cifra o un gruppo di cifre
che si ripete all’infinito.
•Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato
periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non
contiene affatto i fattori 2 e 5.
1. Periodico misto.
8
= 0,53333....
15
Esempi:
113
= 1,7121212....
66
7
= 0,583333....
12
Notiamo che anche questi numeri sono decimali illimitati nei
quali però il periodo non inizia subito dopo la virgola ma, tra la
virgola e il periodo, c’è una o un gruppo di cifre. Questi numeri
si dicono numeri decimali illimitati periodici misti e la cifra o
il gruppo di cifre che si trova tra la virgola e il periodo si chiama
antiperiodo; essi si scrivono nel seguente modo:
0,5 3
1,7 1 2
0,58 3
Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni
otteniamo:
15 = 3 × 5
66 = 2 × 3 ×11
12 = 2 × 3
2
Notiamo che questi denominatori contengono i fattori primi 2 o 5, ma
anche altri fattori primi.
1. Periodico misto.
In sintesi diciamo che:
•Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se, in esso, fra la
virgola e il periodo, esiste una cifra o un gruppo di cifre, detto antiperiodo,
che non si ripete.
•Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato
periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi,
contiene sempre altri fattori oltre a 2, a 5 o a entrambi.
Diagramma di flusso
Inizio
La frazione generatrice di un
numero decimale limitato è una
frazione che ha per numeratore il
numero naturale che si ottiene
togliendo la virgola e per
denominatore 10, 100, 1000 …. a
seconda che le cifre decimali
siano 1, 2, 3,…
25,4
Prendiamo un numero
Al numeratore di una
frazione scriviamo il
numero senza la virgola.
254
Al denominatore 1 seguito
da tanti zeri a seconda
delle cifre decimali.
254
La frazione è
ridotta ai minimi
termini?
Si
fine
10
No
127
5
Semplificare
Diagramma di flusso
inizio
La frazione
generatrice di un
numero decimale
periodico semplice è
una frazione che ha
per numeratore la
differenza fra tutto il
numero dato senza la
virgola e la sua parte
intera e per
denominatore tanti 9
quante sono le cifre
del periodo.
Prendiamo un numero
7,18
Al numeratore di una frazione scriviamo il
numero senza la virgola sottraiamo le cifre che
non fanno parte del periodo.
718 - 7
Al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del
periodo.
718 - 7
99
711
Otteniamo la frazione
99
79
La frazione è ridotta ai
minimi termini?
Si
fine
No
11
Semplificare
Diagramma di flusso
inizio
La frazione generatrice
di un numero decimale
periodico misto è una
frazione che ha per
numeratore la differenza
fra tutto il numero dato
senza la virgola e tutta la
parte che precede il
periodo, senza la virgola,
e per denominatore tanti
9 quante sono le cifre del
periodo e tanti 0 quante
sono le cifre
dell’antiperiodo.
Prendiamo un numero
8,24
Al numeratore di una frazione scriviamo il
numero senza la virgola sottraiamo le cifre
che non fanno parte del periodo.
824 - 82
Al denominatore tanti 9 quante sono le cifre
del periodo e tanti 0 quante sono le cifre
dell’antiperiodo.
824 - 82
90
742
Otteniamo la frazione
90
371
La frazione è ridotta ai minimi
termini?
Si
fine
No
45
Semplificare