dispense della prima parte del corso

Meccanica dei Fluidi
per Tecniche di fisiopatologia cardiocircolatoria e perfusione vascolare
Richiami
In questo paragrafo ricordiamo alcune definizioni che saranno utili nel seguito.
Densità
La densità di un corpo o più precisamente la densità volumetrica di un corpo è definita come il
rapporto tra la massa e il volume del corpo:
m
ρ=
V
La massa di un corpo si misura, nel Sistema Internazionale delle Unità di Misura (SI), in
chilogrammi massa (Kg) e il volume in metri cubi (m3), perciò la densità si misura in Kg/m3. In
molti casi si usa misurare la densità in g/cm3. Il volume dei liquidi è spesso misurata in litri (l).
Ricordate che un litro è pari a 1 dm3 e che 1 g/cm3 equivale a 1 g/ml.
Pressione
La pressione è definita come il rapporto tra la componente della forza ortogonale alla superficie su
cui è applicata e l’area della superficie stessa.
p = F⊥
S
I fluidi (gas e liquidi) non viscosi hanno la proprietà di esercitare la forza sempre nella
direzione perpendicolare alla superfici con cui sono a contatto. La pressione è quindi una
grandezza scalare che ci dice quale può essere la forza esercitata dal fluido su una superficie (anche
immaginaria in mezzo al fluido!) con cui si trova in contatto. Essa può variare da punto a punto. Nel
sistema SI si misura in pascal (1 Pa = 1 N / m 2 ). Altre unità di misura utilizzate nella pratica sono
l’atmosfera (atm), il bar con il sottomultiplo millibar (mbar) ed il torr. Sono legate tra loro dalla
seguente relazione:
1 atm = 760 torr = 1013 mbar = 1.013 • 105 Pa
In meteorologia la pressione atmosferica è riportata in ettopascal (hPa). Un ettopascal è pari a 100
Pa ed è equivalente a 1 mbar.
Massa molecolare
La massa molecolare di un composto chimico (detta anche peso molecolare) è la massa di una
molecola di tale composto, espressa generalmente in unità di massa atomica unificata (u)
chiamata anche Dalton (Da). Essa è definita come la dodicesima parte della massa di un atomo di
carbonio-12 (12C). L'Unione internazionale di chimica pura e applicata (IUPAC) raccomanda di
utilizzare il simbolo u per indicare l'unità di massa atomica unificata. Tuttavia, sia in biochimica
che in biologia molecolare è consuetudine utilizzare Da (Dalton).
L'unità di massa atomica non appartiene al Sistema Internazionale di unità di misura (SI), ma è da
esso riconosciuto in virtù del largo impiego che viene fatto di questa unità, specialmente in chimica,
biochimica e biologia molecolare.
Questa unità di misura è particolarmente conveniente perché un atomo di idrogeno ha una massa
circa pari ad 1 u, e più in generale un atomo o una molecola che contengono n protoni e neutroni
hanno una massa approssimativamente uguale ad n u. La ragione consiste nel fatto che un atomo di
carbonio-12, da cui l'unità di massa atomica trae la sua definizione, contiene 6 protoni, 6 neutroni e
6 elettroni, con protoni e neutroni aventi all'incirca la stessa massa e gli elettroni aventi massa
trascurabile.
La massa molecolare può essere calcolata come la somma delle masse di tutti gli atomi costituenti
la molecola.
Per esempio, note le masse atomiche di idrogeno (1,0079 u.m.a.) e ossigeno (15,9994 u.m.a.) la
massa molecolare dell'acqua (H2O) si calcola come segue:
2 × 1,0079 + 15,9994 = 18,0152 u
Le masse delle molecole ricadono in un range di valori molto ampio, si va dalla più leggera H2
(2,0158 u) a centinaia di migliaia di unità di massa atomica, per le macromolecole quali per
esempio i polimeri sintetici o le proteine e gli acidi nucleici.
Per dare un'idea della massa di una piccola molecola, qual è per esempio quella dell'acqua, si tenga
conto che 1 u = 1,66054 × 10-24 g, quindi in un grammo d'acqua ci sono circa 3,34 × 1022 molecole.
Mole
La mole è l’unità di misura della quantità di sostanza nel SI. La quantità di sostanza è il numero
di entità elementari che sono contenute nell'oggetto considerato. Le entità elementari possono
essere: atomi, molecole, ioni o altro (ad es. particelle elementari) e vanno specificate ogni volta.
La quantità di sostanza non deve essere confusa con la quantità di materia, o massa, di un oggetto
che usa come unità di misura, nel SI, il chilogrammo. La mole può considerarsi un contatore di
particelle (analogamente ai termini coppia, terna, dozzina, etc.): mole di molecole, mole di atomi,
mole di protoni, mole di elettroni, mole di ioni, sostituiscono i termini ancora in uso: grammomolecola, grammo-atomo, grammo-equivalente, grammo-ione (non accettati dal S.I.).
La mole è definita come il numero di atomi presenti in 0,012 kg di carbonio-12. Da questa
definizione, ricordando che la massa atomica dell carbonio-12 è 12 u, si può dimostrare che il
numero di atomi considerato è pari al reciproco del valore numerico che esprime in grammi l’unità
di massa atomica. Questo numero è 6,023 × 1023 ed è chiamato numero di Avogadro.
Come conseguenza della definizione di mole si ha che:
Una mole di atomi di un dato elemento corrisponde ad una quantità di materia, la cui massa,
espressa in grammi, è pari alla massa atomica espressa in unità di massa atomica. Più in
generale, una mole di molecole di una data sostanza corrisponde ad una quantità di materia la cui
massa, espressa in grammi, è pari alla massa molecolare espressa in unità di massa atomica. Ad
esempio, poiché la masse molecolari del ferro, del calcio e del glucosio sono rispettivamente 55,845
u, 40,078 u e 180,18 u si ha che:
1 mole di ferro corrisponde a 55,845 grammi
1 mole di calcio corrisponde a 40,078 grammi
1 mole di glucosio corrisponde a 180,18 grammi
Scala assoluta della temperatura
La temperatura assoluta si indica con T e si misura in gradi Kelvin (K). La relazione tra la
temperatura espressa in gradi Kelvin e quella espressa in gradi Celsius (°C) è data da:
T(K ) = t (°C) + 273.14
È facile vedere che questa relazione implica che le unità di misura delle due scale termometriche
sono uguale, cioè 1 K = 1°C.
Stato della materia
La materia si presenta solitamente in tre stati: aeriforme o gassoso, liquido e solido. Considerando
le proprietà microscopiche i gas sono caratterizzati dal fatto che non hanno ne’ volume ne’ forma
propri, ma assumono quelli del recipiente che li contiene. I liquidi hanno volume proprio, ma
assumono la forma del recipiente che li contiene. I solidi hanno forma e volume propri.
Dal punto di vista molecolare la distanza media delle molecole di un gas è maggiore di quella di un
liquido e quella di un liquido è maggiore di quella di un solido. In conseguenza di questo fatto la
densità di una sostanza cresce al passaggio da gas a liquido e da liquido a solido.
Una notevole eccezione a questa regola è data dalla densità dell’acqua che è maggiore di quella del
ghiaccio.
Gas
In un gas le molecole sono in moto disordinato. Durante il moto si urtano tra di loro e urtano le
pareti del recipiente. In genere esistono forze di attrazione tra le molecole di un gas, ma in molte
condizioni queste forze sono trascurabili e hanno solo piccoli effetti sul moto delle molecole del
gas. Inoltre le molecole sono piccole rispetto alla distanza media che percorrono tra un urto e l’altro
(libero cammino medio) perciò si possono considerare puntiformi. Queste condizioni sono ben
verificate quando si è lontani dal punto di liquefazione. In questi casi si dice che il gas si comporta
come un gas perfetto. Per tale gas vale la relazione (equazione di stato):
pV = nRT
Dove p è la pressione, V il volume, n il numero di moli, R una costante il cui valore dipende solo
dalle unità di misura e T è la temperatura assoluta.
R è chiamata costante dei gas perfetti e il suo valore nel SI è 8.31 J/mole K. Altro valore spesso
usato è 0.082 litri×atm/mole K.
Si ossevi che il prodotto pV ha le dimenzioni di una energia.
Osserviamo che l’equazione di stato dei gas perfetti contiene le tre leggi empiriche dei gas cioè
quelle di Boyle-Mariotte, di Gay-Lussac e di Charles. Che possiamo enunciare rispettivamente
come:
• Nelle trasformazioni isoterme, cioè a temperatura costante, il prodotto della pressione e del
volume di una quantità fissata di un gas rimane costante.
• Nelle trasformazioni a pressione costante il volume di una quantità fissata di un gas varia in
maniera proporzionale alla temperatura.
• Nelle trasformazioni a volume costante la pressione di una quantità fissata di un gas varia in
maniera proporzionale alla temperatura.
E’ importante notare che nella equazione dei gas perfetti compare il numero di moli, cioè il numero
delle molecole e non la massa molecolare per cui è vera per qualsiasi gas e anche per miscele di gas,
come ad esempio l’aria.
Dalla definizione di densità si osserva che la densità di un gas perfetto può essere scritta come:
ρ=
mP
nRT
Cioè, poiché m/n è la massa di una mole, che dipende dal gas considerato, la densità alla stessa
pressione e temperatura varia da gas a gas. Per uno stesso gas è proporzionale alla pressione e
inversamente proporzionale alla temperatura.