Alcune regole per il calcolo di limiti 1. Limiti di

Alcune regole per il calcolo di limiti
1. Limiti di funzioni monotone. Teorema. Se f : (a, b) → R con a, b ∈ R è una funzione monotona, allora esistono (finiti
o infiniti), i limiti di f per x → a+ e x → b− . Più precisamente:
• se f è crescente, allora:
lim f (x) =
x→a+
inf f (x)
lim f (x) = sup f (x)
e
x→b−
x∈(a,b)
x∈(a,b)
• se f è decrescente, allora:
lim f (x) = sup f (x)
x→a+
lim f (x) =
e
x→b−
x∈(a,b)
inf f (x)
x∈(a,b)
Il teorema continua ad essere valido se a = −∞ oppure b = +∞
2. Limiti di funzioni elementari. Utilizzando il teorema precedente e la monotonia delle funzioni elementari (deducibile dai
loro grafici), si ottengono i seguenti risultati:
Limiti delle funzioni lineari affini (x0 indica un qualunque elemento di R)


 +∞ se m > 0
 −∞ se m > 0
q
se m = 0
q
se m = 0
limx→−∞ mx + q =
limx→x0 mx + q = mx0 + q limx→+∞ mx + q =


−∞ se m < 0
+∞ se m < 0
Limiti delle funzioni potenza (x0 indica un qualunque elemento di R+ )
 +

se α > 0
 0
 +∞ se α > 0
1
se α = 0
1
se α = 0
limx→x0 xα = xα
limx→0 xα =
limx→+∞ xα =
0

 +
+∞ se α < 0
0
se α < 0
Limiti delle funzioni esponenziali (x0 indica un qualunque elemento di R)
+
0
se a > 1
+∞ se a > 1
limx→x0 ax = ax0
limx→−∞ ax =
limx→+∞ ax =
+∞ se 0 < a < 1
0+
se 0 < a < 1
Limiti delle funzioni logaritmiche (x0 indica un
qualunque elemento di R+ )
−∞ se a > 1
+∞ se a > 1
limx→x0 loga (x) = loga (x0 )
limx→0+ loga x =
limx→+∞ loga x =
+∞ se 0 < a < 1
−∞ se 0 < a < 1
Limiti delle funzioni trigonometriche (x0 indica un qualunque elemento di R)
lim sin(x) = sin(x0 )
x→x0
non esiste né
lim cos(x) = cos(x0 )
x→x0
lim sin x
x→±∞
né
lim cos x
x→±∞
3. Teoremi riguardanti l’algebra dei limiti (limite di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni).
0
Siano f e g due funzioni definite sullo stesso insieme X e sia x0 ∈ X . Se esistono i limiti limx→x0 f (x) e limx→x0 g(x), allora:
• limx→x0 [f (x) + g(x)] = limx→x0 f (x) + limx→x0 g(x)
(l’uguaglianza perde di significato se uno dei due limiti è +∞ e l’altro è −∞)
• limx→x0 [f (x) · g(x)] = limx→x0 f (x) · limx→x0 g(x)
(l’uguaglianza
perde
di significato se uno dei due limiti è 0 e l’altro è ±∞)
f (x)
limx→x0 f (x)
• limx→x0
=
g(x)
limx→x0 g(x)
(l’uguaglianza perde di significato sia se i due limiti sono entrambi ∞ sia se i due limiti sono entrambi 0)
Le tabelle seguenti mostrano in dettaglio i risultati per:
• il limite di una somma
g/f
+∞
L2 ∈ R
−∞
+∞
+∞
+∞
?
L1 ∈ R
+∞
L1 + L2
−∞
• il limite di
g/f
+∞
L 2 ∈ R+
0
L 2 ∈ R−
−∞
−∞
?
−∞
−∞
un prodotto
+∞ L1 ∈ R+
+∞
+∞
+∞ L1 · L2
?
0
−∞ L1 · L2
−∞
−∞
0
?
0
0
0
?
L 1 ∈ R−
−∞
L 1 · L2
0
L1 · L2
+∞
−∞
−∞
−∞
?
+∞
+∞
In particolare, se L1 ∈ R e λ ∈ R, allora limx→x0 λf (x) = λL1 .
• il limite di una quoziente
g/f
+∞ L1 ∈ R+
+∞
?
0+
L1
L2 ∈ R+ +∞
L2
+
0
+∞
+∞
0−
−∞
−∞
L1
L2 ∈ R− −∞
L2
−∞
?
0−
0+
0+
0−
?
?
0−
0−
0−
0−
0−
?
?
0+
0+
L 1 ∈ R−
0−
L1
L2
−∞
+∞
L1
L2
+
0
−∞
?
−∞
−∞
+∞
+∞
?
Il simbolo ? indica forme di indecisione per le quali i teoremi precedenti non forniscono risposta. Le forme di
indecisione vanno pertanto trattate a parte, caso per caso. Alcune tecniche per risolverle sono riportate nella
sezione 5.
Solo per comodità di scrittura e senza alcun significato operativo, indichiamo di seguito le forme di indecisione
che incontreremo più di frequente:
0
∞
,
, 0 · ∞, +∞ − ∞, −∞ + ∞
0
∞
4. Limiti di funzioni composte. Siano f : X → R e g : Y → R due funzioni che è possibile comporre, cioè tali che f (X) ⊆ Y .
Se limx→x0 f (x) = y0 , f non è costante in un intorno di x0 e limy→y0 g(y) = k, allora:
lim (g ◦ f )(x) = lim g(y) = k
x→x0
Esempio: limx→+∞ e
1
x
y→y0
y
= limy→0+ e = 1
5. Alcune tecniche per affrontare situazioni in cui i precedenti teoremi non possono essere applicati (casi (1) e
(2)) e per risolvere alcune forme di indecisione (casi (3), (4), (5), (6)).
(1) Il prodotto di una funzione infinitesima ed una funzione limitata è una funzione infinitesima.
1
Esempio: limx→+∞ sin x = 0
x
(2) La somma di una funzione infinita ed una funzione limitata è una funzione infinita.
Esempio: limx→+∞ x2 + cos x = +∞
(3) Limiti per x → ±∞ di funzioni razionali intere.
Si procede raccogliendo la potenza più elevata di x che compare nella funzione.
h
a1
an i
lim a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an = lim xn a0 +
+ ... n =
x→+∞
x→+∞
x
x




h
i
a1
an
n
n−1
n
lim a0 x + a1 x
+ . . . + an = lim x a0 +
+ ... n =
x→−∞
x→−∞

x
x


+∞
−∞
se
se
a0 > 0
a0 < 0
+∞ se n è pari e a0 > 0
−∞ se n è pari e a0 < 0
+∞ se n è dispari e a0 < 0
−∞ se n è dispari e a0 > 0
3
2
1
Esempio: limx→−∞ (4x5 + 3x4 − 2x + 1) = limx→−∞ x5 4 + − 4 + 5 = −∞
x
x
x
Ci si convinca mediante l’esempio che l’unica cosa da ricordare per risolvere questo tipo di limiti è il
fatto di raccogliere la potenza più alta di x; operato questo passaggio, il risultato del limite è immediato
anche senza memorizzare tutta la casistica sopra elencata.
(4) Confronto tra potenze per x → 0 e per x → +∞.
Per α, β ∈ R+ si ha:


se α > β
 0
 +∞ se α > β
xα
xα
1
se α = β
1
se α = β
limx→0+ β =
limx→+∞ β =


x
x
+∞ se α < β
0
se α < β
x
x6
1
Esempi: limx→0 4 = limx→0 x2 = 0
limx→+∞ 3 = limx→0 2 = 0
x
x
x
Vale lo stesso invito del punto precedente: non c’è niente da ricordare a memoria se non i grafici delle
funzioni potenza.
(5) Limiti per x → ±∞ di funzioni razionali fratte.
Si procede raccogliendo la potenza più elevata di x sia a denominatore che a numeratore.
xn a0 + ax1 + . . . xann
a0 + ax1 + . . . xann
a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an
= lim xn−m lim
lim
=
lim
b
b
m
m−1
1
m
m
x→±∞ b0 x
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞ b0 + b1 + . . . bm
+ b1 x
+ . . . + bm
b0 + x + . . . xm
x
xm
Si utilizzano quindi i risultati dei due punti precedenti.
x5 3 + x54 + x35
3x5 + 5x + 3
Esempio: limx→+∞
= limx→+∞
= +∞
8x4 + 3x2
x4 8 + x32
0
(6) Limiti di funzioni razionali fratte che si presentano nella forma di indecisione
0
L’indeterminazione viene eliminata scomponendo in prodotto di fattori sia il numeratore che il denominatore e semplificando i fattori comuni.
Esempio:
(x − 2)2 (x + 1)
x3 − 3x2 + 4
x+1
3
lim 3
= lim
= lim
=
2
x→2 x − 2x − 4x + 8
x→2 (x − 2)2 (x + 2)
x→2 x + 2
4
6. Limiti notevoli.
limx→0
limx→0
limx→0
sin x
=1
x
x
a −1
= log a
x
log(1 + x)
=1
x
limx→0
limx→0
limx→0
1 − cos x
1
=
x2
2
ex − 1
=1
x
(1 + x)α − 1
=α
x
x
1
limx→±∞ 1 +
=e
x
loga (1 + x)
limx→0
= loga e
x