ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE 1. Sistemi di equazioni Dei

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE
1. Sistemi di equazioni
Dei seguenti sistemi di equazioni lineari, dopo averne dato una rappresentazione in forma
matriciale, si discuta la risolubilità (esistenza o meno di soluzioni) e la determinatezza
(unicità o molteplicità delle soluzioni), utilizzando i criteri basati sul determinante e il rango
delle matrici associate. Nel caso di esistenza delle soluzioni, le si determini utilizzando,
quando possibile, il metodo di Cramer, oppure il metodo di eliminazione di Gauss.


 2x + y + 3z = 12
4y − z = −7


5x + 8z = 34
(1)
(2)
=1
=0
=3
=1





=0
=0
=1
=0

x − 3y + 5z = −3



 3x + 2y + 4z = −9
−x − 3y + z = 3




2x + y + 3z = −6
(4)
(6)
x + 2y + 3z
x − 2y − z
2x + 8y + 10z




2x + 2z
x + 2y + 3z
x − 2y − z
2x + 8y + 10z




2x + 2z
(3)
(5)





6x − 2y − 2z − 8t = 7
−9x + 3y + 3z − 12t = 13


 λx − y = 0
λy − z = 0

 x − λz = 0
λ∈R
1
2



(7)


(9)
(11)
x + y + λ3 z = 0




λ∈R
2y − λ3 z = 0

3

 2x + λ y − z = 0
x + y − 2z = 0


x−y =0


x + y + z = 0
kx + 2z = k

 x − kz = 0
(8)
(10)
x+y+z =0
kx + z = 0
2y + z = 1


 1 x + k 3 y + k 3 z = −1
2

3

 2x + k y − z = 0
x + y − 2z = 0


x−y =0
λ∈R
k∈R
k∈R
k∈R
2. Determinante, rango, autovalori, trasformazioni lineari
Al variare dei parametri reali a e b, determinare rango e determinante della seguente
matrice:

(12)

a b 0
a a a
0 b a
Determinare gli autovalori delle seguenti matrici:

(13)

a 0 0
1 2 0
0 1 2

(14)

2 0 0
0 0 0
0 0 1
3

(15)
(16)
(17)

2 2 5
0 3 1 
0 0 −1
2 1
1 2
−1 3
2 1
Considerando le seguenti matrici come trasformazioni del piano R2 in R2 , dire cosa
accade al quadrato di vertici (1, 1), (−1, 1), (−1, −1) e (1, −1) e come cambiano la sua
area e il suo perimetro:
(18)
2 0
0 1
(19)
−1 0
0 4
Come per l’esercizio precedente si applichi la seguente matrice al quadrato di vertici
(1, 0), (0, 1), (−1, 0) e (0, −1)
(20)
0 −1
1 0