CALCOLO LETTERALE L`uso delle lettere come simboli al posto dei

CALCOLO LETTERALE
L'uso delle lettere come simboli al posto dei numeri permette di esprimere la validità generale delle
proprietà e dei procedimenti matematici. Un'espressione letterale contiene lettere e numeri collegati
dai segni delle operazioni. Sostituendo il valore numerico alle lettere si ottiene il valore numerico
dell'espressione.
Esempio: l'espressione “ b · h “ esprime la formula generale per il calcolo dell'area di un rettangolo.
Sostituendo ai simboli b e h i rispettivi valori e moltiplicandoli tra di loro, si ottiene la
misura della superficie.
MONOMI
Espressioni letterali che contengono solo moltiplicazioni e divisioni.
2 x3 y
2
sono due esempi di monomi (il primo intero, il secondo frazionario)
ab e
z
Il segno di moltiplicazione è sottointeso sia tra le lettere che tra le lettere e i numeri.
Il monomio è costituito da una parte letterale, che comprende tutte le lettere moltiplicate e/o divise
tra loro, e da un coefficiente numerico, che rappresenta la parte numerica che moltiplica le lettere.
Esempi:
Il coefficiente numerico di a b2 è 1 e la parte letterale è a b2
Il coefficiente numerico di −7 c z è -7 e la parte letterale è c z
3 2
3
y è
Il coefficiente numerico di
e la parte letterale è y 2
2
2
Il grado rispetto ad una lettera è l'esponente con cui compare la lettera nella parte letterale.
Il grado assoluto o grado è la somma degli esponenti di tutte le lettere della parte letterale.
Esempi:
il grado assoluto di 12 a b2 c3 è 1 + 2 + 3 = 6
il grado rispetto alle lettera a è 1; rispetto alla lettera b è 2; rispetto alla lettera c è 3
NOTA: dalle proprietà delle potenze ricorda che qualsiasi lettera con esponente 0 è uguale a 1
Per questo un qualsiasi numero può essere considerato come un monomio di grado 0: è come se
fosse moltiplicato per una qualsiasi lettera con esponente 0.
Ad esempio possiamo dire che 3=3 a0 e quindi 3 è un monomio di grado 0.
Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale, si dicono uguali se sono simili e hanno
anche il coefficiente uguale.
Esempio:
12 a b2 c3 e −7 a b2 c3 sono simili
2 3
−7 a b c
e −7 a b2 c3 sono uguali
L' ADDIZIONE E LA SOTTRAZIONE sono possibili solo tra monomi simili e si eseguono sommando e
sottraendo tra di loro i coefficenti numerici mentre la parte letterale resta la stessa.
Esempio:
2
2
In questa espressione i monomi simili sono quelli sottolineati quindi si
4 x y +5 xz −12 x y −7z
procede combinando i loro coefficienti e riscrivendo gli altri monomi
come prima.
4 x 2 y +5 xz −12 x 2 y −7z = (4−12) x2 y +5 xz−7z = −8 x 2 y+ 5 xz −7z
IL PRODOTTO di due o più monomi si svolge moltiplicando i vari coefficienti e sommando, per ogni
lettera, gli esponenti con cui compare in ogni monomio
Esempi:
3 2 3 3 2 3
21
a b c ⋅7 a b c = ⋅7 a1+ 3 b 2+1 c3 +2= a4 b 3 c5 ;
2
2
2
1
1
−7 x 2 y⋅ x y⋅4 x3 y 3=−7⋅ ⋅4 x2 +1+3 y1 +1+3=−14 x 6 y 5 ;
2
2
˙ b c 2=3⋅(−5)a 1+0 b2+1 c 1+2=−15 a b3 c 3
3 a b2 c −5
NOTA: ricorda che se una lettera non compare in
un monomio è come se avesse esponente 0!
LA DIVISIONE tra due monomi si svolge dividendo i coefficienti e facendo la sottrazione, per ogni
lettera, tra l'esponente con cui compare nel dividendo e quello con cui compare nel divisore
Esempi:
3 4 3
3
3 1
3
b c :7 b c 2= :7 b 4−1 c3 −2 = ⋅ b 3 c= b 3 c ;
2
2
2 7
14
3
1−0
6 b c :7 c=6 :7 b
3
c
3−1
1 2 6 2
=6⋅ b c = b c ;
7
7
−12 b c :2b c=−12 :2 b
1−1 3−1
c
0 2
=−6 b c =−6 c
2
;
LA POTENZA di un monomio si ottiene elevando a potenza sia il coefficiente che ogni lettera della
parte letterale
Esempio:
2 3 3
3
3
2 3
3 3
3 6 9
(−3 a b c ) =(−3) ⋅(a) ⋅( b ) ⋅(c ) =−27 a b c NOTA: è stata applicata la regola della potenza di
potenza in cui si moltiplicano gli esponenti
POLINOMI
I polinomi sono addizioni e sottrazioni di due o più monomi.
Un polinomio è ridotto a forma normale quando non contiene monomi simili.
Esempio:
2
2 1
2
Il seguente polinomio contiene 4 monomi di cui 3 simili: −3 a b −16 xy−13 a b + a b
3
Per ridurlo a forma normale si devono combinare tra loro i monomi simili:
1
1
−9−39+1
47
−3ab 2−16xy−13ab2 + ab2 =(−3−13+ )ab 2−16xy=(
)ab2−16xy=− ab2−16xy
3
3
3
3
Il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è l'esponente maggiore tra tutti quelli con cui la
lettera compare nei vari monomi. Il grado complessivo o grado di un polinomio ridotto a forma
normale è il maggiore tra i gradi dei monomi che formano il polinomio.
Esempio:
3
2 2
a b+ abc+ a b c ;
Il grado del primo monomio è 4, del secondo 3 e del terzo 5 → il grado complessivo è 5
il grado rispetto alla lettera a è 3, rispetto a b è 2, rispetto a c è 1.
L'ADDIZIONE E LA SOTTRAZIONE tra polinomi si esegue scrivendo di seguito tutti i monomi con i
rispettivi segni e combinando tra loro i monomi simili se sono presenti.
Esempi:
a3 b+12 a2 b2 c+(−8 a3 b+ c)=a3 b+12 a2 b 2 c −8 a3 b+c=−7 a 3 b+12 a 2 b2 c +c
NOTA: ricorda che il segno + davanti alle parentesi NON cambia i segni dei termini nelle parentesi
2x2 y 3−3 x 3 y −(−4x 2 +7 x 2 y 3 )=2x 2 y 3−3 x 3 y+ 4x 2−7 x2 y 3=−5 x2 y 3−3 x 3 y + 4x2
NOTA: ricorda che il segno - davanti alle parentesi CAMBIA i segni dei termini nelle parentesi
LA MOLTIPLICAZIONE tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi si esegue applicando la
proprietà distributiva: ogni termine del primo polinomio deve essere moltiplicato per ogni termine del
secondo polinomio. Tutti i prodotti vanno poi sommati tra loro con i rispettivi segni.
Esempi:
−2x⋅(2xy−7 x 3 z−2yz)=(−2x)⋅2xy +(−2x )⋅(−7x3 z)+(−2x )⋅(−2yz)=−4x2 y+ 14 x 4 z + 4 xyz
(ab+ c)⋅(ac−b)=ab⋅ac+ ab⋅(−b)+c⋅ac+ c⋅(−b)=a 2 bc−ab2 +ac 2−bc
I PRODOTTI NOTEVOLI sono casi particolari di moltiplicazione tra polinomi in cui il risultato si riduce
ad una formula da applicare direttamente, senza dover svolgere l'intero calcolo come fatto prima.
Esistono diversi tipi di prodotti notevoli, per ora ne vediamo due.
1) PRODOTTO TRA LA SOMMA E LA DIFFERENZA DI DUE MONOMI
Svolgiamo il prodotto applicando la proprietà distributiva per trovare il risultato generale.
(a+ b)⋅(a−b)=a⋅a+ a⋅(−b)+ b⋅a+ b⋅(−b)=a2 −ab+ab−b2 =a2 +0⋅ab−b2=a 2−b2
↓
(a+ b)⋅(a−b)=a2−b 2
Il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi è uguale alla differenza tra i quadrati dei
monomi. NOTA: nel risultato il primo termine della differenza è il monomio che non cambia segno
Esempi di applicazione della regola:
(2x+ 3y)⋅( 2x−3y)=(2x)2−(3y)2=4x2 −9y 2
NOTA: il monomio che non cambia segno è “ 2 x “
(−a+4b 2)⋅(−a−4b2)=(−a)2−(4b2 )2=a 2−16 b4 NOTA: il monomio che non cambia segno è “ – a “
2
1
1
1
1
( ac +b)⋅(− ac+b)=(b)2−( ac ) =b2− a2 c 2 NOTA: il monomio che non cambia segno è “ b “
3
3
3
9
2) QUADRATO DI UN BINOMIO
Un binomio è un polinomio formato da due monomi. Svolgiamo il calcolo per esteso nei casi possibili
(a+ b)2 =(a+ b)⋅( a+b)=a⋅a+ a⋅b+ b⋅a+ b⋅b=a 2 +ab+ ab+b 2=a2 +2 ab+b 2
↓
2
2
2
(a+ b) =a +2 ab+b
(a−b)2=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+ a⋅(−b)+(−b)⋅a+(−b)⋅(−b)=a2−ab−ab+ b2=a 2−2 ab+b 2
↓
2
(a+ b) =a2−2 ab+ b2
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio più il quadrato del secondo
monomio più il prodotto dei due monomi moltiplicato per 2.
NOTA: nel prodotto tra i due monomi bisogna tener conto del segno!
Esempi di applicazione della regola:
(2a+ 3b)2=(2a)2 +2⋅2a⋅3b+(3b)2=4a 2 +12ab+9 b 2 Il prodotto tra i monomi è positivo
(2ac−3b)2=(2ac )2 +2⋅2a⋅(−3b)+(−3b)2=4a 2 c 2−12ab+ 9 b2 Il prodotto tra i monomi è negativo
(−2ac−3b)2=(−2ac)2+ 2⋅(−2a)⋅(−3b)+(−3b)2=4a 2 c 2 +12ab+9 b 2 Il prodotto tra i monomi è
positivo