Impedenza Vascolare

Impedenza Vascolare
Prof. Marcello Bracale
Appunti del corso di Elettronica Biomedica
Impedenza Vascolare
Marcello Bracale
DEFINIZIONE DI RESISTENZA ED IMPEDENZA VASCOLARE
La resistenza vascolare può essere definita come l'impedimento che il sangue incontra nello scorrere
lungo un certo settore del circolo. Tale settore può essere sia localizzato ad una regione, come un
avambraccio od un organo come il rene, sia generalizzato ad un intero circuito, come il circuito
polmonare o il circuito sistemico. La resistenza vascolare trova la sua analogia nella teoria delle reti
elettriche. La legge di Poiseuille afferma, infatti, che, dato un condotto in cui circoli un liquido in
regime laminare, cioè in assenza di moti turbolenti, la caduta di pressione attraverso due sezioni del
condotto è proporzionale al flusso di liquido nel condotto. La legge di Ohm afferma, invece, che,
dato un circuito elettrico, la differenza di potenziale tra i capi del circuito è proporzionale alla
corrente elettrica che attraversa il circuito. Nel primo caso abbiamo che:
(1)
PA- PB = RLF
dove PA è la pressione nella sezione A, PB è la pressione nella sezione B, ed F è il flusso di liquido
che passa nel condotto. Nel secondo caso abbiamo che:
(2)
VA -VB = RI
dove VA è la tensione nel punto A del circuito, VB è la tensione nel punto B del circuito, ed I è la
corrente che circola nel circuito elettrico. Confrontando la (1) e la (2) abbiamo che: la caduta di
pressione fra l’entrata e l’uscita di un organo è rappresentata dalla caduta di tensione fra le due
estremità di un conduttore.
Il flusso di sangue che attraversa l'organo considerato è rappresentato dall’intensità di corrente che
attraversa il conduttore. La resistenza emodinamica dell’organo è rappresentata dalla resistenza
ohmica del conduttore. Il concetto di resistenza vascolare non può essere usato, però, quando si
prende in considerazione la natura pulsante della pressione e del flusso. Il rapporto tra la pressione
oscillatoria e il flusso oscillatorio è chiamato impedenza idraulica o impedenza vascolare di nuovo
dalla analogia con l’impedenza delle reti elettriche. L’impedenza vascolare è dunque una
espressione dell'opposizione al flusso di sangue pulsatile nelle arterie, includendo tale opposizione
gli effetti della elasticità, dell’inerzia e della viscosità così come gli effetti della riflessione.
L’impedenza può essere calcolata come il rapporto di pressione e flusso sinusoidali entrambi alla
stessa frequenza. Se la frequenza cambia, generalmente cambia anche il valore dell’impedenza.
Formalmente tali segnali sono:
flusso q(t) = Qi cos(ω it + ψi)
pressione p(t) = Pi cos(ωit + Φi)
dove: Pi = ampiezza o modulo della pressione alla frequenza fi
Φi = fase della pressione
Qi = ampiezza del flusso
ψi = fase del flusso
ωi = pulsazione
t
= tempo
Possiamo, quindi, definire un modulo |Zi | e una fase ξ dell’impedenza nel modo
seguente:
P
Zi  i
ξi = Φi - ψi
Qi
Ancora possiamo rappresentare l’impedenza come numero complesso:
P
= Pi exp | j(ωi t + Φi) |
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q
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= Qi exp | j(ωi t + ψi) |
Zi 
Pi
Qi
exp | j(Φi - ψi) | =
p
q
Zi come numero complesso ha una parte reale e una parte immaginaria:
Pi
cos( i  i )  resistenza
parte reale:
Qi
parte immaginaria
Pi
sin( i  i ) 
Qi
reattanza
La resistenza è sempre zero o positiva (cioè si perde energia); quindi l’angolo di fase
dell’impedenza non può essere più grande di 90° o più piccolo di -90°. La reattanza può essere
positiva o negativa. Quando il flusso precede la pressione, come in una camera elastica, allora
(Φi - Ψi) <0. Notare che Z i, cosi come calcolata sopra, è relativa a due segnali alla particolare
pulsazione ω i. Il calcolo deve essere ripetuto per tutte le frequenze che interessano, e l'impedenza è
calcolata come una funzione della frequenza. Si può allora parlare di spettro di impedenza. Il valore
dell’impedenza alla frequenza zero è, naturalmente la resistenza periferica poiché l’impedenza è
una funzione della frequenza, le componenti di frequenza della pressione e del flusso di sangue
possono essere determinate con l’analisi di Fourier.
Fig. 1 - (a) Quantities characterizing sinusoidal pressure and flow signals need to compute
impedance. Amplitudes (Pi,Qi) and phases (Φi,Ψi) must be determined from which the magnitude
or impedance |Zi| = Pi/Qi and its phase ξ i = Φ i - ψi follow. In the case shown it is assumed that
flow leads pressure and ξ i is a negative angle. The sinusoids may be the Fourier components, at
frequency ωi of compound pressure and flow pulses. (b) Phasor representation or Sinusoids. The
sinusoid M(cos ωt.+φ) is represented as a complex number. Its real part is Mcos φ (i.e real part of
exp (jωt+ φ ) at t=0) and its imaginary part is Msinφ. The phasors in the upper two diagrams
represent the same pressure and flow waves as shown in (a). The impedance can be obtained by
forming the quotient or the two complex numbers. The diagram at the bottom shows the result. Z is
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a complex number whose real part is resistance, its complex part is reactance (i.e. elastance or
interance). Note that Z is a function or frequency. The units in the diagrams are arbitrary. In the
example shown, ξ, is negative since pressure lags flow.
ONDE DI RIFLESSIONE
Abbiamo detto che il valore dell'impedenza vascolare dipende oltre che dall’elasticità delle arterie,
dall’inerzia e dalla viscosità del sangue, anche dai fenomeni di riflessione. Cioè, in generale, i
segnali misurati in una arteria risultano da onde che viaggiano simultaneamente sia in senso diretto,
cioè verso la periferia, sia in senso retrogrado, cioè verso il cuore, e l'impedenza dipende da questi
due tipi di onde. La forma generale di un'onda di pressione diretta ad una particolare frequenza ωi è:
pif (x, t) = pif exp | j(ωi t - Φi ) - γx |
dove: x = distanza dall’inizio del vaso al punto generico x
γ = costante di propagazione
In questo modo esprimiamo il fatto che sia l'ampiezza che la fase della pressione variano al variare
della distanza x. La costante di propagazione γ è, infatti, un numero complesso. La sua parte reale
determina il cambiamento dell’ampiezza dell'onda con la distanza percorsa. Essa è una misura
logaritmica della attenuazione, poichè la variazione dell’ampiezza di p(x,t) è data da exp(-x Re γ )
dove Re γ = parte reale di γ. La parte immaginaria di γ (Imγ) determina il cambiamento di fase, o
ritardo dell’onda sulla distanza percorsa ed è dovuta al fatto che l’onda viaggia con una velocità
finita c i. La imγ è legata alla velocità dalla relazione:
Im 
i
ci
Alla fine del segmento arterioso in considerazione, se L è la sua lunghezza, la pressione dovuta
all’onda diretta è:
Pif (L, t) = Pif exp | j(ωi t - Φi ) - γL |
Se il punto x=L è un punto di riflessione, se per esempio, il vaso presenta una biforcazione, una
certa frazione dell’onda diretta dal punto x=L viaggia in direzione retrograda. Chiamiamo Γ L questa
frazione, allora la pressione dovuta all’onda riflessa nel punto x=L è data da:
Pir (L, t) = ΓL Pif exp | j(ω i t - Φi ) - γL |
Allora la pressione dovuta all'onda riflessa ad una generica distanza x è:
Pir (x, t) = ΓL Pif exp | j(ωi t - Φi ) - γL - γ (L-x) |
Quindi l'onda di pressione totale, somma delle onde diretta e retrograda, diventa:
Pi(x, t) = Pif exp | j(ωi t - Φi ) – γx| {1+ ΓL exp |-2 γ (L-x) |}
(**)
Questa equazione esprime l’onda di pressione totale in termini di onda diretta e Γ L●ΓL, la frazione
riflessa nel punto di riflessione, è chiamato coefficiente di riflessione terminale. Quindi un
coefficiente di riflessione generale Γ(x) può essere definito come:
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Γ(x) = ΓL exp | -2 γ (L-x) |
dove (L-x)= distanza percorsa dall'onda retrograda. Si p uò dimostrare che l'onda di flusso, nel
punto x, è descritta da una equazione simile alla (**):
qi(x, t) = Qif exp | j(ω i t - Φi ) – γx| {1- ΓL exp |-2 γ (L-x) |}
L’impedenza è il rapporto tra pressione e flusso, quindi essa è una funzione di x.
Alla frequenza ωi:
Z i ( x) 
Pif
Qif
exp | j 0 |
1  L exp | 2 (L  x) |
1  L exp | 2 (L  x ) |
dove ξ 0 = ψi - Φi
Da questa espressione possiamo trarre alcune conclusioni. Se non ci sono discontinuità nel punto
x=L, non c’è riflessione e quindi Γ L =0. L'impedenza Zi allora diventa uguale a:
Pif
Qif
exp( j o )
che è indipendente da x. Questa particolare impedenza, misurata se nel punto esistente solo onde
dirette, è chiamata impedenza caratteristica Zo. Possiamo esprimere allora Zi in funzione di γ e Zo :
1  L exp | 2 (L  x ) |
1   ( x)
 Z0
Z i ( x)  Z 0
(1)
1  L exp | 2 ( L  x ) |
1   ( x)
L’impedenza nel punto x=L diventa:
Z i ( L)  Z 0
1  L
1  L
oppure
L 
Z i ( L) / Z 0  1
Z i ( L) / Z 0  1
(2)
Queste due equazioni mostrano come l’impedenza e il coefficiente di riflessione terminale sono
collegati. Per esempio, se un vaso fosse aperto alla sua estremità, la pressione in questo punto
sarebbe zero, quindi Zi(L)=0 e dalla (2) :
ΓL = -1
viceversa se un vaso è occluso nel punto x=L, Z i(L)=∞ (flusso nullo), quindi ΓL = +1. In questo
caso, l’onda riflessa è uguale in ampiezza e in fase all’onda diretta. In effetti, nella circolazione, le
riflessioni da punti periferici sono generalmente del secondo tipo. Γ L può essere di circa 0,6 e
l’impedenza verso la periferia perciò aumenta. Usando la (1) possiamo misurare Zi in qualsiasi
punto x. In particolare ci interessa l’impedenza d’ingresso (x=0). Allora:
Z i (0)  Z 0
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1   L exp | 2L |
1  L exp | 2L |
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Può verificarsi il caso in cui, ad una certa frequenza, ΓLexp(-2γL) sia un numero negativo. Questo
accade quando 2ImγL =π. Ne segue quindi che 2ωL/C= ovvero 4πL/=π (dove =lunghezza
d’onda = c/frequenza); e così L=/4. Questa può essere chiamata la condizione a /4 per cui
Zi(0) è più piccola della impedenza caratteristica Zo ed infatti Zi (0) assume un minimo anche
se alla periferia Zi(L) è molto più grande di Zo.
ERRORI NELL MISURA DELL’ IMPEDENZA VASCOLARE
Per ottenere l'impedenza di ingresso, la pressione ed il flusso devono essere misurati
contemporaneamente e nello stesso punto. Utilizzando le attuali tecniche è difficile ottenere le
due misure nello stesso punto. Di conseguenza alcuni ricercatori hanno scelto la misura della
pressione prossimale al flusso, mentre altri la distale. L'impedenza d'ingresso è descritta per
mezzo del valore assoluto |Z| e della fase . Queste quantità sono riportate in un grafico in
funzione della frequenza. I risultati mostrano che il valore assoluto dell’impedenza alla
frequenza zero è alta e può essere considerata uguale alla resistenza periferica del letto in
considerazione. Per frequenze più alte di 3Hz circa l’impedenza rimane su livelli molto più
bassi del valore alla frequenza zero. Circa
il valore della fase dell'impedenza esistono maggiori disaccordi. Per basse frequenze la fase è stata
trovata sempre negativa. Per valori della frequenza da 3 a l0 Hz alcuni ricercatori hanno trovato
angoli di fase positivi, altri negativi, altri ancora hanno trovato valori prossimi a zero da 3 a 8 Hz.
Come si può vedere, tutti i ricercatori che hanno misurato la pressione distale al flusso hanno
trovato angoli di fase negativi, mentre quelli che hanno misurato la pressione prossimale al flusso
hanno trovato angoli positivi nel campo delle frequenze compreso tra 3 e 8 Hz. La diversa posizione
dei punti di misura della pressione e del flusso è, appunto, la causa di queste differenze. Definiamo,
quindi, matematicamente questo errore, e, quindi troveremo il modo per correggere i risultati.
Quando l'impedenza è determinata nel modo ideale, cioè pressione e flusso sono misurati nello
stesso punto, possiamo scrivere
p() = P() exp |j(t + )|
q() = Q() exp |j(t + Ψ)|
dove P e Q sono le ampiezze delle armoniche della pressione e del flusso;  =2f; f =frequenza;  e
Ψ sono gli angoli di fase delle armoniche. Il valore assoluto |Z| e la fase  dell'impedenza sono
definiti come
|Z|= P/Q
=-Ψ
Assumiamo ora che la pressione p'() sia misurata distale al flusso in un punto z=zp. In generale
varieranno sia l’ampiezza p' che la fase '. L’ampiezza di molte armoniche della pressione aumenta
verso la periferia, ma su una distanza relativamente breve come quella che stiamo considerando,
questo aumento sarà piccolo e possiamo, quindi, considerare p=p'. Se si conosce la velocità
apparente dell’onda, il ritardo di fase sulla distanza Z p può essere calcolato nel seguente modo:
 d ( ) 
360  f  z p
capp ( )
dove d() è il ritardo di fase della armonica della pressione e c app è la velocità apparente dell'onda,
che è funzione della frequenza. Come risultato otteniamo per la pressione nel punto Z=Zp
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p’ exp {j |t + ’()|}=p exp {j |t + ()-d()}
In questo caso, la fase dell'impedenza sarà più piccola della quantità d() rispetto al valore
effettivo. Per basse frequenze capp è grande, quindi f/capp è piccolo e l'errore sarà piccolo. Per
frequenze più alte (maggiori di 3Hz) la velocità di fase apparente è prossima alla velocità di fase cph
e questa nelle grandi arterie tende ad essere indipendente dalla frequenza. Il valore della velocità di
fase nell’aorta calcolato tenendo conto delle proprietà del sangue e delle pareti del vaso è
cph = 500 cm sec -1
Quindi, per frequenze maggiori di 3Hz possiamo scrivere:
capp = cph = 500 cm sec-1
suppoendo che Zp sia di 4 cm avremo:
 d ( ) 
360  f  4
 2,9 f
500
Quindi a 10Hz l’errore sarà di circa 30°.
In figura sono riportati i valori dell’impedenza di ingresso, ottenuti misurando la pressione e il
flusso nello stesso punto (a), misurando la pressione 4 cm distale al flusso (h) e misurando il flusso
4 cm distale alla pressione (c) .
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SPETTRI D’IMPEDENZA
In Fig.1 è rappresentato lo spettro dell’impedenza vascolare dell’arteria femorale di un cane, in
condizione di controllo ottenuto da O’Rourke e Taylor.
Come si vede il modulo dell’impedenza cade rapidamente da un alto valore iniziale alla frequenza
zero ad un minimo verso gli 8-14 Hz prima di aumentare di nuovo gradualmente. La fase precede la
pressione, e rimane negativa prima di passare piuttosto rapidamente per il valore zero e diventare a
8-14 Hz. Lo scarto considerevole alle alte frequenze è dovuto al fatto che questi punti sono ricavati
dalla ottava, nona e decima armonica delle onde di pressione e di flusso che sono molte piccole e
quindi soggette ad un notevole errore sperimentale. Alla frequenza alla quale corrisponde il minimo
del modulo e il valore nullo della fase, stanza tra il punto di registrazione e le determinazioni
vascolari è uguale ad un quarto della lunghezza d’onda. Assumendo una velocità dell'onda di
10m/sec ne consegue che questo punto di riflessione si trova subito al disotto del ginocchio. Il
valore della frequenza critica dipende, quindi, tra l’altro, anche dalle dimensioni dell’animale.
Aumentando la pressione media per mezzo di una iniezione di noradrenalina, la frequenza critica
aumenta. Questo effetto è dovuto ad un aumento della velocità dell’onda, per cui aumenta la
frequenza in corrispondenza della quale la distanza tra il punto di misura e il punto di riflessione è
pari ad un quarto di lunghezza d’onda. Poichè l’aumento della pressione del sangue è dovuto ad una
generale vasocostrizione, il modulo dell’impedenza alla frequenza zero, cioè la resistenza periferica,
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aumenta. Quindi in condizioni di alta
pressione del sangue dovuta a
vasocostrizione,
il
modulo
dell'impedenza decresce da un più
alto valore iniziale ad un minimo che
corrisponde ad una frequenza più
elevata.
Quando
la
pressione
sistemica diminuisce, la frequenza
critica si riduce; questo fatto è
attribuito ad una diminuzione della
velocità dell’onda. Durante una
ipotensione
il
modulo
della
impedenza alla frequenza zero
diminuisce. La Fig. 2 mostra le
modificazioni
del
modulo
dell’impedenza vascolare dopo una
iniezione di acetilcolina.
Con il tempo gli effetti del farmaco
tendono a scomparire e l'andamento
tende a quello iniziale. L’effetto sulla
fase è mostrato in Fig.3.
La massima vasodilatazione si ha
dopo
circa
10
secondi.
L’osservazione
che
in
queste
condizioni il modulo dell’impedenza
diventa quasi costante a tutte le
frequenze, e la fase dell’impedenza
tende a zero, significa che durante la
vasodilatazione il letto femorale si
comporta prevalentemente come un
carico resistivo.
Fig. 1
La Fig.4 mostra i cambiamenti del
modulo
dell’impedenza
dopo
un’iniezione di noradrenalina.
L’impedenza è una espressione della
opposizione totale al flusso di
sangue pulsatile nel letto vascolare.
Il letto vascolare femorale inizia dal
punto di misura del flusso e termina
nella vena femorale dove il flusso di
sangue non è influenzato dalle
pulsazioni arteriose e dove la
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pressione è all'incirca atmosferica. La funzione di ingresso per questo letto è il flusso di sangue che
entra e la pressione oscillante all'ingresso dipende dalle interazioni degli effetti della elasticità, ella
viscosità e dell'inerzia, nonchè degli effetti della riflessione. Teoricamente, l’impedenza del letto
può essere calcolata; misurando la pressione all'ingresso quando il sistema è sollecitato da un flusso
sinusoidale a varie frequenze. La stessa informazione può essere ottenuta sotto diverse condizioni
fisiologiche per mezzo delle armoniche corrispondenti delle onde di pressione e di flusso
all'ingresso. Il modulo dell’impedenza alla frequenza zero è la resistenza del letto al flusso costante
e dipende solo dagli effetti dell’attrito.
Fig. 2
Come il flusso diventa oscillatorio assumono maggiore
importanza l’inerzia e le proprietà elastiche dei vasi. In
assenza di riflessioni, l’impedenza è uguale all'impedenza
caratteristica e può essere calcolata dai valori del raggio
del vaso, della viscosità del sangue, dal modulo elastico
delle pareti del vaso e della frequenza. Quando il letto
vascolare totale si comporta come se avesse un unico
punto di riflessione, il modulo dell’impedenza diminuisce
sino ad un minimo al disotto dell'impedenza caratteristica,
quando la lunghezza del sistema rappresenta un quarto
della lunghezza d’onda, quindi aumenta al disopra
dell'impedenza caratteristica fino ad un massimo al quale
corrisponde una lunghezza del sistema pari a mezza
lunghezza d’onda. Alla frequenza zero l’angolo di fase
dell'impedenza è zero, cioè pressione e flusso sono in fase.
Fig. 3
In un sistema ideale (tubo perfettamente elastico, fluido non viscoso) senza riflessioni, la pressione
ed il flusso sono quasi in: fase. In presenza di riflessioni invece la differenza di fase dipende dal
coefficiente di riflessione.
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