Esercizi su Integrale di Riemann (aggiornamento 13.3.2017)

Analisi Matematica 2: Esercizi su Integrazione di piú variabili
Vladimir Georgiev
Dipartimento di Matematica ”L.Tonelli”,
Università di Pisa,
Largo Bruno Pontecorvo 5, I-56127, Pisa, Italy.
E-mail: [email protected]
Contents
1 Esercizi su integrali multipli
1.1 Definizione e volume del parallelepipedo . . . .
1.2 Esercizi su integrali doppi e tripli . . . . . . . .
1.3 Teorema del valor medio e calcolo del baricentro
1.4 Integrali Impropri nel piano . . . . . . . . . . .
1.5 Volume di {x ∈ Rn ; kxk = 1} . . . . . . . . . . .
1
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.
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3
3
5
9
12
17
2
CONTENTS
Chapter 1
Esercizi su integrali multipli
1.1
Definizione e volume del parallelepipedo
Definizione 1.1.1. Un parallelepipedo in R3 pu essere definito, usando
i vettori, é possibile definire il parallelepipedo come l’insieme
{x1 a + x2 b + x3 c | 0 ≤ x1 , x2 , x3 ≤ 1}
determinato da tre vettori a, b, c linearmente indipendenti.
I vettori a, b, c coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.
Il volume di un parallelepipedo é il prodotto dell’area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza h fra il piano contenente tale faccia
e quello contenente la faccia opposta.
Quando il parallelepipedo é determinato da tre vettori:
~a = (a1 , a2 , a3 )
~b = (b1 , b2 , b3 )
~c = (c1 , c2 , c3 )
il volume é il prodotto triplo
~a · (~b × ~c)
3
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
4
Definizione e volume del parallelepipedo
o equivalentemente, del determinante


a1 b1 c1
det a2 b2 c2  .
a3 b3 c3
Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, il volume diverr
quindi il prodotto aritmetico delle lunghezze dei tre lati.
Problema 1.1.1. Sia P il parallelogramma stabilito dai vettori v =
(v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ). Dimostrare che
m(P ) = vol(P ) = |v1 w2 − v2 w1 |.
Lemma 1.1.1. Sia e1 , e2 , e3 una basa ortonormale in R3 e A un operatore lineare in R3 . Dimostrare che il volume del parallelopipedo determinato dei vettori
f1 = Ae1 , f2 = Ae2 , f3 = Ae3
e
√
detB
dove B = (< fi , fj >)3i,j=1.
Idea della soluzione. Se M é la matrice (3 × 3) definita con


f1
M =  f2 
f3
allora il volume del parallelopipedo definito con f1 , f2 , f3 e |detM|. La
matrice trasposta M t e definita come segue
M t = f1t f2t f3t
Sappaimo che
detM = detM t , detMM t = detMdetM t = (detM)2
Usando la relazione
MM t = (< fi , fj >)3i,j=1 = B
concludiamo con
(detM)2 = detB.
(1.1.4)
5
1.2
Esercizi su integrali doppi e tripli
Problema 1.2.1. Sia A, B due insiemi limitati in Rn misurabili secondo Peano - Jordan e tale che
m(A − B) + m(B − A) ≤ δ.
Sia f (x), g(x) due funzione definiti e limitati in A, B risp. e tali che
f, g sono integrabili secondo Riemann e
|f (x) − g(x)| ≤ δ
per x ∈ A ∩ B. Dimostrare
Z
Z
≤ Cδ
f (x) −
g(x)
A
B
dove
C = m(A ∩ B) + sup |f (x)| + sup |g(x)|.
Problema 1.2.2. Cambiare l’ordine della integrazione nell
Z 4 Z 12x
f (x, y)dydx.
3x2
0
Problema 1.2.3. Calcolare
Z p
x2 − y 2 dxdy,
∆
dove ∆ il triangolo ABC con A(0, 0), B(10, 1), C(1, 1).
Risposta.
√
√
5 99 log(10 + 99)
+
.
3
6
Problema 1.2.4. Calcolare
ZZ
I=
(x2 + y 2)−1/2 dxdy,
U
dove
U = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
√
2x − x2 }.
6
Esercizi su integrali doppi e tripli
Idea della soluzione. Usando coordinate polari
x = r cos θ, y = r sin θ,
troviamo che U si trasforma in
V = {(r, θ), 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ π/2}.
Cosi la formula
ZZ
f (x, y)dxdy =
U
ZZ
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
V
implica
I=
Z
π/2
0
Z
2 cos θ
−1
r rdrdθ =
0
Z
π/2
2 cos θdθ = 2.
0
Problema 1.2.5. Calcolare l’area del’ellise
x2 y 2
+
= 1.
4
9
Problema 1.2.6. Trovale il volume dell’semiellisoido
z2
= 1, z > 0.
c2
x2 + y 2 +
Idea della soluzione. Il dominio é
U = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ c
La misura di U e
ZZZ
ZZ
m(U) =
dxdydz =
x2 +y 2 ≤1
U
p
1 − x2 − y 2 }.
Z c√1−x2 −y2
0
secondo la formula di riduzione. Cosı́ troviamo
ZZ p
m(U) = c
1 − x2 − y 2 dxdy,
B1
!
dz dxdy,
7
dove
B1 = {x2 + y 2 ≤ 1}.
Introducendo coordinate polari
x = r cos θ, y = r sin θ,
si vede che B1 si trasforma in
f1 = {(r, θ); 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}.
B
Abbiamo la formula di cambiamento di variabili
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
f1
B
B1
e la formula di riduzione ci da
Z
ZZ p
2
2
1 − x − y dxdy = c
c
0
B1
1
Z
2π
dθ
0
√
1 − r 2 rdr =
2πc
.
3
Problema 1.2.7. Trovale il volume dell’ellisoido
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Suggerimento e risposta. Effetuare il cambiamento di variabili
x = ae
x, y = be
y , z = ce
z,
riducendo il calcolo dell’integrale
2
ZZZ
x
y2 z2
dxdydz, U =
+ 2 + 2 ≤1
a2
b
c
U
al calcolo dell integrale
dove
ZZZ
de
xde
y de
z,
V
V = {e
x2 + ye2 + ze2 ≤ 1}.
Ripetere l’algoritmo della soluzione del Problema 1.2.6. Risposta
4πabc
.
3
8
Esercizi su integrali doppi e tripli
Problema 1.2.8. Calcolare l’integrale
ZZ
zdxdydz,
U
dove
V =
Risposta.
z2
x + y + 2 ≤ 1 ∩ {z ≥ 0}.
c
2
2
πc2
.
4
Problema 1.2.9. Calcolare
ZZ
I=
xy 2 dxdy, U = {0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}
U
Risp.
I = 1/40.
Problema 1.2.10. Calcolare
ZZ
p
I=
sin( x2 + y 2 )dxdy, U = {π 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4π 2 }
U
Risp.
I = −6π 2 .
Problema 1.2.11. Calcolare
ZZ
I=
|x| + |y|dxdy, U = {|x| + |y| ≤ R}
U
Risp.
4R3
I=
.
3
9
Problema 1.2.12. Calcolare
ZZ
I=
xydxdy, U = {xy ≥ 1, x + y ≤ 5/2, x ≥ 0, y ≥ 0}
U
Risp.
I=
165
− ln 2.
128
Problema 1.2.13. Data una funzione f (s, y) ∈ C([0, ∞) × R) verificare che la funzione
ZZ
1
u(t, x) =
f (s, y)dsdy
2 ∆(t,x)
dove
∆(t, x) = {(s, y); 0 ≤ s ≤ t, s + y ≤ t + x, s − y ≤ t − x}
appartiene a C 2 ((0, ∞) × R) e soddisfa l’equazione
∂t2 u(t, x) − ∂x2 u(t, x) = f (t, x).
Problema 1.2.14. Calcolare
ZZZ p
I=
x2 + y 2 dxdydz, V = {(x, y, z); x2 + y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1}
V
Risp.
I=
1.3
π
.
6
Teorema del valor medio e calcolo del
baricentro
Dalla definizione di integrale di Riemann segue che per ogni compatto
K ⊂ Rn che é misurabile (in senso di Riemann) per ogni funzione
f ∈ C(K) possiamo cosiderare la media
R
Z
f (x)dx
K
, m(K) =
dx,
(1.3.5)
m(K)
K
10
Teorema del valor medio e calcolo del baricentro
chiamato media integrale di di f su K.
Il teorema della media integrale di Analisi 1 vale nel caso di piú
variabili. Piu precisamente abbiammo
Lemma 1.3.1. (Teorema del valor medio ) Se K ⊂ Rn é compatto e
f ∈ C(K), allora esiste ξ ∈ K tale che
R
f (x)dx
K
= f (ξ).
m(K)
Problema 1.3.1. Se f (x) é una funzione continua in Rn , verificare
che la condizione
Z
f (x)dx = 0
ω
per ogni compatto misurabile ω ⊂ Rn implica f (x) = 0 per ogni x ∈ Rn .
Problema 1.3.2. Se f (x) é una funzione continua in R, calcolare
F ′ (R), dove
ZZZ
F (R)
f (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz.
x2 +y 2 +z 2 ≤R2
Se U ⊂ R2 é un insieme limitato e misurabile (in senso di Riemann)
il baricentro di U é definito con M = (Mx , My ), dove
RR
RR
ydxdy
xdxdy
, My = U
(1.3.6)
Mx = U
m(U)
m(U)
e
m(U) =
ZZ
dxdy.
U
Se V ⊂ R3 é un insieme limitato e misurabile (in senso di Riemann)
il baricentro di V é definito con M = (Mx , My , Mz ), dove
RR
RR
RR
xdxdydz
ydxdydz
zdxdydz
V
V
Mx =
, My =
, Mz = V
m(V )
m(V )
m(V )
(1.3.7)
e
ZZ
m(V ) =
dxdydz.
V
11
Problema 1.3.3. Trovare il baricentro dell’semielissoide
z2
2
2
V = x + y + 2 ≤ 1, z ≥ 0 .
c
Suggerimento e Risposta. Usiamo le relazioni (1.3.7). L’insieme V é
invariante rispetto la simmetria
(x, y, z) → (−x, −y, z)
(1.3.8)
Possiamo usare la proprietá: se l’insieme V é invariante rispetto (1.3.8)
e la funzione f (x, y, z) é dispari rispetto (x, y), cioé
f (−x, −y, z) = −f (x, y, z),
allora
ZZ
f (x, y, z)dxdydz = 0.
V
Questa osservazione implica Mx = My = 0. Dobbiamo calcolare solo
RR
zdxdydz
.
Mz = V
m(V )
Usando i risultati ottenuti risolvendo i Problemi 1.2.6 e 1.2.8, troviamo
c
Mz = .
6
Problema 1.3.4. Trovare il baricentro dell’insieme
2
x
y2
V =
+ 2 ≤ 1, y ≥ 0, x ≥ 0 .
a2
b
Problema 1.3.5. Trovare il baricentro dell’semielissoide
2
x
y2 z2
V =
+ 2 + 2 ≤ 1, z ≥ 0 .
a2
b
c
12
1.4
Integrali Impropri nel piano
Integrali Impropri nel piano
Come nel caso di una sola variabile, la definizione di integrale di Riemann richiede di integrare funzioni limitate su insiemi limitati. Per
estendere la definizione al caso di un dominio E non limitato, il primo
passo e prendere in esame le funzioni positive, e considerare una successione crescente di compatti Ek ⊂ Ek+1 dove la funzione e limitata
e tale che
∪Ek = E
Cosi abbiamo la relazione
ZZ
ZZ
f (x)dx = lim
k→∞
E
f (x)dx
Ek
come definizone dell’integrale improprio sui domini nonlimitati.
Esempio 1.4.1. Consideriamo
Z
2
2
e−x −y dxdy.
R2
Possiamo approssima l’integrale come segue
ZZ
Z
2
2
−x2 −y 2
e−x −y dxdy,
e
dxdy = lim
R→∞
R2
BR
dove
BR = {(x, y); x2 + y 2 ≤ R2 }.
Usando coordiante polari troviamo
Z
Z
−x2 −y 2
e
dxdy = lim
R→∞
R2
0
R
Z
0
2π
2π 2
1 − e−R = π.
R→∞ 2
= lim
Usando quandrati
2
dθ e−r rdr =
QR = {(x, y); |x| ≤ R, |y| ≤ R}
13
si vede che
QR ⊂ B√2R
e quindi
ZZ
−x2 −y 2
e
QR
ZZ
dxdy ≤
e−x
2 −y 2
dxdy.
(1.4.9)
B√2R
In modo simile, l’inclusione
BR ⊂ QR
implica
ZZ
−x2 −y 2
e
BR
dxdy ≤
ZZ
e−x
2 −y 2
dxdy.
(1.4.10)
QR
Il principio di confronto e le stime (1.4.9), (1.4.10) implicano
ZZ
ZZ
2
2
−x2 −y 2
lim
e
dxdy = lim
e−x −y dxdy.
R→∞
R→∞
BR
QR
Usando la formula di riduzione abbiamo
ZZ
Z R
Z
−x2 −y 2
−x2
e
dxdy =
e dx
QR
−R
con
IR =
Z
R
−x2
e
−R
−R
dx → I =
In questo modo deduciamo
2
I = lim
R→∞
IR2
= lim
R→∞
e quindi
= lim
R→∞
ZZ
I=
Z
R
ZZ
Z
2
e−y dy = IR2 ,
2
e−x dx.
R
e−x
2 −y 2
dxdy =
QR
e−x
2 −y 2
dxdy = π
BR
R
2
e−x dx =
√
π.
(1.4.11)
14
Integrali Impropri nel piano
Problema 1.4.1. Sia Γ(z) la funzione Gamma di Eulero
Z +∞
Γ(z) =
tz−1 e−t dt, Rez > −1.
0
Verificare la relazione
Γ(z + 1) = zΓ(z)
(1.4.12)
e calcolare Γ(1/2).
Idea della soluzione. Abbiamo
Γ(z + 1) =
Z
+∞
tz e−t dt
0
e dopo una integrazione par parti troviamo (1.4.12). Per calcolare
Z +∞
Γ(1/2) =
t−1/2 e−t dt
0
si fa cambiamento di variabili t = τ 2 e quindi
Z
Z ∞
1 ∞ −τ 2
−τ 2
e dτ.
Γ(1/2) =
e dτ =
2 −∞
0
L’ultimo integrale di Gauss é calcolato nel Esempio 1.4.1 e cosı́ troviamo
√
π
Γ(1/2) =
.
2
Problema 1.4.2. Sia Γ(z) la funzione Gamma di Eulero
Z +∞
Γ(z) =
tz−1 e−t dt.
0
Verificare che per ogni A > 0 abbiamo la relazione
Z ∞
1
−s
ts−1 e−At dt, ∀s ∈ (0, 1).
A =
Γ(s) 0
(1.4.13)
15
Problema 1.4.3. Vedere se l’identitá
Z ∞ s−1
π
t dt
=
1+t
sin πs
0
per ogni s ∈ (0, 1) implica
Γ(s)Γ(1 − s) =
Idea della soluzione.
Z
Γ(s)Γ(1 − s) =
∞
0
(1.4.14)
π
, ∀s ∈ (0, 1).
sin πs
Z
∞
0
(1.4.15)
e
e
ts−1 e−t de
tλ−s e−λ dλ
e utilizzando cambiamento di variabili e
t = tλ troviamo
Z ∞Z ∞
=
ts−1 e−λt dte−λ dλ =
0
=
Z
0
∞
s−1
t
0
Z
∞
−λ(1+t)
e
dλdt =
0
adesso possiamo dedurre la relazione
Γ(s)Γ(1 − s) =
Z
0
∞
Z
∞ s−1
0
t dt
1+t
ts−1 dt
.
1+t
Problema 1.4.4. Per ogni s ∈ (0, 1) verificare l’identitá
∞
2s
1 X
(−1)k 2
Γ(s)Γ(1 − s) = +
.
s k=1
k − s2
Suggerimento. Usando (1.4.16) possiamo scrivere
Z ∞ s−1
Z 1 s−1
Z ∞ s−1
t dt
t dt
t dt
=
+
1+t
1+t
0
0 1+t
1
e utilizzando cambiamento di variabili t = 1/τ scriviamo
Z 1 −s
Z ∞ s−1
τ
t dt
=
dτ.
1+t
0 1+τ
1
(1.4.16)
16
Integrali Impropri nel piano
Possiamo usare lo sviluppo in serie per entrambi integraloi
Z 1 s−1
∞ Z 1
∞
X
1 X (−1)k
t dt
s−1+k
k
t
dt = +
= (−1)
.
s
s
+
k
0
0 1+t
k=0
k=1
In modo simile troviamo
Z 1
0
∞
X (−1)k+1
τ −s
dτ =
.
1+τ
−s + k
k=1
Problema 1.4.5. Si consideri l’integrale improprio
ZZ
q
dx1 dx2
,
Iλ =
sin x21 + x22
2
(x1 + x22 )λ/2
R2
dove λ ∈ (2, 3). Studiare l’esistenza dell’integrale Iλ e vedere se esiste
λ ∈ (2, 3) tale che
Iλ = 0.
Soluzione. Usando i coordinati polari per x = (x1 , x2 ) ∈ R2 si vede che
Z M
ZZ
dx
dr
= 2π
sin |x|
sin r a
λ
|x|
r
|x|≤M
0
dove
a = λ − 1 ∈ (1, 2).
Cosi il problema si puo risolvere dimostrando che
Z ∞
dr
Ja =
sin r a , a ∈ (1, 2)
r
0
(1.4.17)
esiste e soddisfa la proporietá
Ja > 0, ∀a ∈ (1, 2)
In fatti, per M = kπ abbiamo
Z M
k−1 Z
dr
dr X (j+1)π
sin r a .
sin r a =
r
r
0
j=0 | jπ
{z
}
Kj,a
(1.4.18)
17
si vede che
Kj,a =
|Kj,a|,
se j é pari;
−|Kj,a |, se j é dispari.
Abbiamo inoltre
|K0,a | > |K1,a | > · · ·
e quindi
Z
∞
0
sin r
dr
>0
ra
per ogni a ∈ (1, 2).
1.5
Volume di {x ∈ Rn; kxk = 1}
Sia
B1 = {x ∈ Rn ; kxk = 1}
la palla di raggio 1 in Rn . Usando coordinate polari
x = rω,
dove
ω1 = cos(θ1 )
ω2 = sin(θ1 ) cos(θ2 )
ω3 = sin(θ1 ) sin(θ2 ) cos(θ3 )
············
ωn−1 = sin(θ1 ) sin(θ2 ) · · · sin(θn−2 ) cos(θn−1 )
ωn
= sin(θ1 ) sin(θ2 ) · · · sin(θn−2 ) sin(θn−1 ),
sappiamo che per ogni funzione radiale f (|x|) con decadimento abbastanza forte all infinito abbiamo la relazione
Z
Z ∞
f (|x|)dx =
r n−1f (r)dr m(Sn−1 ),
(1.5.19)
Rn
0
Volume di {x ∈ Rn ; kxk = 1}
18
dove
n−1
m(S
)=
Z
π
···
0
Ovviamente
Z
m(B1 ) =
π
sin
n−2
0
Z
θ1 dθ1 · · ·
Z
π
sin θn−2 dθn−2
0
Z
2π
dθn−1
0
1
r n−1 drm(Sn−1 ) = n−1 m(Sn−1 ).
0
−r 2
Scegliendo f (r) = e
possiamo usare la formula di riduzione e ottenere
Z
Z
Z
Z
−|x|2
−x21
−x22
−x2n
e dx1
e dx2 · · ·
e dxn
e
dx =
Rn
R
R
e usando (1.4.11) deduciamo
Z
R
2
e−|x| dx = π n/2 .
Rn
Formula (1.5.19) ci da
Z
Z
−|x|2
e
dx =
Rn
∞
2
r n−1 e−r drm(Sn−1 ).
0
2
La sostituzione r = t e la definizione della funzione Γ di Eulero implicano
Z ∞
1
1
2
r n−1 e−r dr = tn/2−1 e−t dt = Γ(n/2)
2
2
0
e quindi
1
π n/2 = Γ(n/2)m(Sn−1 ).
2
Adesso possiamo scrivere
m(B1 ) = n−1 m(Sn−1 ) =
e via
deduciamo
2π n/2
nΓ(n/2)
n
n n
=Γ
Γ
+1 ,
2
2
2
m(B1 ) =
π n/2
.
Γ(n/2 + 1)
(1.5.20)
19
Problema 1.5.1. Trovare il volume dell’ellisoide
{x21 /a21 + x22 /a22 + · · · + x2n /a2n = 1, a1 , a2 , · · · an > 0}.
Risposta.
π n/2
Γ(n/2 + 1)
n
Y
j=1
aj
!
.
20
Volume di {x ∈ Rn ; kxk = 1}
Bibliography
[1] E. Acerbi; L. Modica; S. Spagnolo, Problemi scelti di analisi matematica II, Liguori Editore , 1986.
[2] P.Acquistapace, Lezioni di Analisi Matematica 2,
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[3] J.P.Cecconi, G.Stampacchia, Analisi Matematica 2 volume, Funzioni di piú variabili, Liguori Editore, 1986
[4] J.P.Cecconi, L.C.Piccinini, G.Stampacchia, Esercizi e
problemi di Analisi Matematica, 2 volume, Funzioni di
piú variabili, Liguori Editore, 1986
[5] N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica
due, Liguori Editore, 1996
[6] M. Giaquinta, G. Modica, Mathematical Analysis An Introduction to Functions of Several Variables Birkhäuser,
2009.
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[10] P. Ney de Souza, J.-N. Silva, Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition, Springer, 2004
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BIBLIOGRAPHY
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