Esame di Istituzioni di Matematica 2. 3 Febbraio 2016 Svolgere il

Esame di Istituzioni di Matematica 2.
3 Febbraio 2016
Svolgere il maggior numero di esercizi possibile
1. Data la funzione
√
1−x
f (x, y) =
,
y
determinare e disegnare il dominio di f e determinare l’equazione del piano
tangente al grafico nel punto ( 34 , 1, 12 ).
2. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
(
y 0 + (cos x)y = e− sin x
y(0) = π .
3. Sia D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ e}. Calcolare il seguente integrale
doppio
Z Z √
1−x
dxdy.
y
D
2
4. Sia dato il campo di forze F (x, y) = ( xy 2 , 1− 2y
x ). Calcolare il lavoro compiuto
dal campo F lungo il segmento che congiunge il punto P = (1, 0) con il punto
Q = (1, 1).
Rispondere sinteticamente alle seguenti domande:
a) Dare la formula per il calcolo dell’ integrale curvilineo di una funzione f (x, y)
lungo una curva γ.
b) Descrivere brevemente il metodo di risoluzione per equazioni differenziali del
primo ordine a variabili separabili.