Analisi Matematica 2

Analisi Matematica 2
Corso di Studio in Ingegneria Civile Ambientale
Seconda prova intermedia – 5 giugno 2006
Siano dati la funzione f ( x, y)  x 2  y 2  2 y  2
e l’insieme
A  ( x, y) : x  y  2.
a) Determinare, se esistono, il minimo assoluto ed il massimo assoluto di f in A,
b) Calcolare, se esistre,  f ( x, y)dxdy .
Esercizio 1.
A
Cenno della soluzione:
a) f è continua , l’insieme A è chiuso e limitato quindi esiste il massimo assoluto di f in A ed
esiste il minimo assoluto di f in A per il teorema di Weierstrass
All’interno di A esiste in solo punto critico P0  (0,1) che risulta essere punto di minimo per f
poiché f xx (0,1) > 0 ed H(0,1) > 0.
La frontiera A di A si può considerare unione di tre curve: A   1   2   3
Su  1 si ha y  2 e  2  x  2
max f  f (2,2)  f (2,2  6
e
Su  2 si ha y  x
max f  f (2,2)  6
Infine su  3 si ha
segue che su  3
quindi
f ( x,2)  x 2  2 da cui segue che su  1
min f  f (0,2)  2 .
e 0 x2
quindi
f ( x, x)  2 x 2  2 x  2
e min f  f (1 / 2,1 / 2)  3 / 2 .
y  x
e
2 x0
max f  f (2,2)  6
e
da cui segue che su  2
f ( x, x)  2 x 2  2 x  2
min f  f (1 / 2,1 / 2)  3 / 2 .
quindi
In conclusione in A max ass f = f(2,2) = f(-2,2) = 6
e
min ass f = f(0,1) =1.
b) L’insieme A è sia normale rispetto all’asse x che normale rispetto all’asse y.
Quindi si può scrivere A  ( x, y) : 0  y  2 ,  y  x  y oppure
A  ( x, y) : 2  x  0 ,  x  y  2  ( x, y) : 0  x  2 , x  y  2
Si calcola facilmente che
 f ( x, y)dxdy = 8 .
A
da cui