Prova d`esonero del corso di Elettromagnetismo per i corsi di laurea

Prova d’esonero del corso di Elettromagnetismo
per i corsi di laurea in Fisica
16 Maggio 2008
(Proff. F. Lacava, F. Ricci, D. Trevese)
Esercizio 1
Un condensatore piano ha le armature quadrate di lato L=10 cm distanti tra di loro d=5 mm.
Esso è riempito da tre diversi materiali dielettrici di costanti dielettriche relative (ε1r=1.5,
ε2r=2.5, ε3r=2.0): il blocco 1 occupa metà del volume del condensatore, i blocchi due 2 e 3
sono identici, hanno le stesse dimensioni ed insieme occupano l’altra metà come mostrato in
figura. Tale condensatore viene collegato ad una batteria che fornisce una d.d.p. Vo=200 V.
Si chiede di calcolare:
1. La capacità del condensatore;
2. Le cariche di polarizzazione che compaiono sulle superfici di separazione dei vari
dielettrici;
3. Supponendo di estrarre il dielettrico e1r di una certa quantità x fuori dal condensatore,
calcolare la forza con cui esso viene risucchiato;
4. La variazione di energia della batteria se esso viene completamente estratto dal
condensatore.
Nota bene: si risolva l’esercizio assumendo il campo uniforme in ciascun dielettrico
all’interno del condensatore e nullo all’esterno.
Esercizio n. 2
Un ago magnetico di dimensioni trascurabili, di momento m = 2.0 A m2, è appeso ad un filo e
può ruotare sul piano orizzontale. Il filo oppone alla rotazione dell’ago un momento torcente
M = k α dove α è l’angolo rispetto alla direzione di riposo.
Un anello circolare di spessore trascurabile, di raggi esterno R2 = 20 cm e interno R1 = 10 cm,
e uniformemente carico con densità σ = 0.1 C m-2, giace nel piano identificato dal filo e dalla
direzione dell’ago magnetico nella sua posizione di riposo. Il centro dell’anello e quello
dell’ago coincidono. Il disco viene poi posto in rotazione attorno al proprio asse con velocità
angolare ω = 600 rad s-1, e l’ago ruota di αo= 0.20 rad nel piano orizzontale.
Si calcolino:
a) il campo magnetico nel centro del disco,
b) il valore della costante k.
Soluzione
Esercizio 1
1. Il condensatore riempito dai tre dielettrici è equivalente ad un sistema di tre
condensatori: un condensatore con il dielettrico ε1 in parallelo alla serie di due
condensatori riempiti rispettivamente con i dielettrici di costanti ε2 ed ε3 .
La capacità è:
"o"r1L2
" " L2
" " L2
;C2 = o r 2 ;C3 = o r3
2d
d
d
2
#
CC & "" L
" " " L2 "o L2 # "r1
"r2"r 3 &
Ctot = % C1 + 2 3 ( = o r1 + o r2 r 3
=
% +
( = 33 pF
C2 + C3 '
2d
"r2 + "r 3 d
d $ 2 "r2 + "r 3 '
$
C1 =
In ciascun dielettrico il campo è uniforme e ortogonale alle armature.
!
Nel dielettrico 1 il campo elettrico è dato da E1 = V d e sulle sue facce compaiono
delle cariche di polarizzazione superficiali la cui densità è data da:
V
" p1 = P1n = #o (#r1 $1)E1 = #o (#r1 $1) = 1.8 %10$7 C m 2
!d
Qp1 = " p1
L2
= 8.9 %10$10 C
2
e Q1 = C1V = 2.7 "10#9 C è la carica della capacità C1.
!
!
2. Alla superficie di separazione dei dielettrici 2 e 3 compaiono delle cariche di
polarizzazione superficiali, per cui le densità di carica di polarizzazione sulle facce
dei dielettrici sono:
" p 2 = P2 n = #o (#r 2 $1)E 2 = #o
Qp 2 = " p 2
!
L2
= 2.4 %10$9 C
2
#r3 (#r 2 $1) 2V
= 4.7 %10$7 C m 2
#r2 + #r 3 d
" p 3 = P3 n = #o (#r 3 $1)E 3 = #o
Qp 3 = " p 3
#r2 (#r 3 $1) 2V
= 3.9 %10$7 C m 2
#r2 + #r 3 d
L2
= 2.0 %10$9 C
2
e sulla superficie di separazione
!
" p = " p 2 # " p 3 = $o
Qp = " p
($r 2 # $r3 ) 2V
= 7.8 %10#8 C m 2
$r 2 + $r3 d
L2
= 3.9 %10#10 C
2
I campi nei dielettrici 2 e 3 sono i seguenti E 2 =
!
e Q2,3 =
C2C3
" " V
V = "o L2 r 2 r3
= 3.9 #10$9 C è la carica del condensatore serie
C2 + C3
"r 2 + "r3 d
di C2 e C3.
!
" 2,3
"
Q
;E 3 = 2,3 con " 2,3 = 2 2,3
#o#r2
#o#r 3
L /2
!
!
3. Se estraiamo di una quantità x il dielettrico 1, il condensatore 1 è equivalente al
parallelo di due condensatori, uno largo x e l’altro largo L-x, per cui la capacità totale
del sistema è data da:
'
L$L
L
L2 "r 2"3
C(x) = "r1"o & # x ) + "o x + "o
(
d%2
d
d "r2 + "r 3
Essendo a potenziale costante, la forza con cui è attratto il dielettrico si scrive:
!
F(x) =
dU el (x)
1
dove U el (x) = C(x)V 2
dx
2
si trova quindi:
L
F(x) = "o !(1# "r1 )V 2 = #1.8 $10#6 N
2d
!
!
4. Se il dielettrico 1 viene completamente estratto, la variazione di energia della batteria
è pari a:
!
"U gen = #V"Q = #V 2"C = #V 2 (C(L 2) # Ctot ) = #$o
!
L2
(1# $r1 )V 2 = 1.8 %10#7 J = #2"U el
2d
Esercizio 2
a) La carica su una coroncina circolare di larghezza dr è dq = 2 π r σ dr e quindi la corrente
relativa è: d I =
%#(
dq
= dq " ' * = # r + dr .
& 2$ )
T
Riferendoci al disegno del testo, essendo il disco posto sul piano xz, il campo al centro del
disco della coroncina circolare è diretto come l’asse y ed il suo modulo è:
!
µ
dB = 0
4"
l
$
0
r r
dI d l # r
r
3
µ
= 0
4"
2"
$
0
% r & dr r d' µ0
= % & dr
r2
2
Integrando su tutta la corona circolare, otteniamo:
!
R2
B=
µ0
µ
" # dr = 0 " # % (R 2 & R1 ) = 3.8 10-6 T
2
R1 2
$
b) Il momento meccanicor che il campo applica sull’ago magnetico è
r
!
all’equilibrio deve essere M + M = 0 . Quindi si ha:
%"
(
m B sen ' # $ 0 * = k $ 0
&2
)
!
r r r
M = m!B e
 
!
k=
m B cos" 0
=
"0
3.7 10-5 N m.