insiemi numerici - ingegneria unical

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INSIEMI NUMERICI
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Facoltà di Ingegneria - Università della Calabria
JJ
II
J
I
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Abstract
Lo scopo di questo lavoro è quello di fornire all’utente
uno strumento per verificare il suo grado di preparazione
relativamente all’argomento INSIEMI NUMERICI.
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1 Insiemi Numerici
3
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Riferimenti teorici
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8
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1.
Insiemi Numerici
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla che
riguardano il concetto di insieme numerico.
Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto è quella corretta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlo
cliccando su ”Inizio test” e dunque cliccare sulla casellina che si
ritiene corrisponda alla risposta corretta.
Alla fine dell’esercizio, cliccando su ”Fine test” il programma procederà ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventualmente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Dire quali delle seguenti é corretta:
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(a) R
√ ⊂ Q (b) N ⊂ R
(c) 2 ∈ N (d) − 23 ∈ Z
2. Dire quali delle seguenti affermazioni é corretta:
√
(a) Z ∩ R = ∅ (b) I ⊂ Q (c) Q ∪ I = R (d) − 7 ∈
/R
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3. Sia A = {1} e B = {1, 2}. Allora quale delle seguenti é vera:
(a) B ⊂ A (b) 2 ∈ A (c) A ⊆ B (d) A ⊂ B
4. Quale tra questi insiemi non é vuoto:
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(a) {n ∈ Nt.c. 2n+1
= 7}
4
(b) l’intersezione tra i numeri naturali pari e i numeri
naturali dispari
(c) {multiplidi 5} ∩ {multipli 7}
(d) i numeri pari della forma 2n + 1 con n ∈ N
5. Quale tra questi insiemi non é vuoto:
(a) {x|x è un rettangolo con le diagonali una doppia dell’altra
(b) {x|x ∈ N, x 6= x}
(c) {x|x ∈ Z, 2 · x = 5}
(d) {x|x ∈ N, x + 5 = 0}
(e) {x|x ∈ N, x pari e divisibile per 13}
6. Nella relazione −4 < n < −2 , quali interi relativi possono
essere sostituiti ad n ?
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(a) −4; −3; −2 (b) 0; 1; 3 (c) 3; −2 (d) −3
7. A quale numero naturale corrisponde
(a) Nessuno
(b) −6 (c) 6 (d) −18
9. E’ vero che
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5
3
> 79 ?
(a) SI (b) NO
10. Quale delle seguenti frazioni é maggiore?
(a)
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−36?
8. Dire quale dei seguenti numeri non é razionale
√
(a) √3
(b) √
25
(c) −
p 25
(d) (−5) exp 2
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√
5
3
(b)
7
3
(c)
11
3
11. A quanto é uguale la seguente somma:
3
2
+
5
2
+ 72 ?
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(a)
5
3
(b)
7
3
(c)
15
2
12. A quanto é uguale la seguente differenza:
(a)
10
3
(b)
7
3
(c)
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(a)
10
3
(b)
7
3
(c)
10
24
(b)
7
24
(c)
5
25
15. L’affermazione
√
( 2)n é un numero razionale
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
vera solo per n pari
falsa per qualche n pari
vera per qualche n dispari
vera per ogni intero n
vera solo per n dispari
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Fine Quiz
11
3
− 43 ?
5
3
14. A quanto é uguale la seguente differenza:
(a)
− 43 ?
15
3
13. A quanto é uguale la seguente differenza:
JJ
11
3
9
8
− 65 ?
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Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tua
preparazione consultando pagine teoriche relative agli argomenti
trattati in questa sezione del test.
Per visualizzare le pagine teoriche clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
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Insieme dei numeri naturali
Il primo insieme numerico che possiamo introdurre l’insieme dei
numeri naturali :
N := {1, 2, 3, . . .}
che, ovviamente, un insieme infinito.
In N sono definite le operazioni di addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione, che noi tutti conosciamo. Non tutte le
operazioni peró sono sempre possibili.
E’ vero infatti che sommando (o moltiplicando) due numeri naturali si ottiene sempre un numero naturale e per tale ragioni queste
operazioni sono dette interne.
Differentemente dalle prime due, la sottrazione e la divisione presentano qualche problema. Consideriamo, ad esempio, i casi:
9 − 5 = 4 possibile essendo 9 > 5
7 − 10 =? impossibile perché 7 < 10
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Insieme dei numeri interi
Per rendere possibile la sottrazione anche nel caso in cui il minuendo sia minore del sottraendo sono stati introdotti i numeri negativi:
N− = {−1, −2, −3, −4, . . .}
Gli infiniti numeri interi positivi, quelli negativi e lo zero formano
l’insieme dei numeri interi :
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = N ∪ N− ∪ {0}
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In Z la sottrazione é una legge di composizione interna e inotre
risulta che N ⊂ Z.
La rappresentazione di tali numeri sulla retta é la seguente: data
la retta fissiamo un’ unitá di misura per i segmenti e un verso (in
genere da sinistra verso destra).
Ad ogni elemento di Z corrisponde un punto sulla retta.
A due numeri opposti corripondono due punti sulla retta che hanno
la stessa distanza da 0. Chiameremo questa distanza valore assoluto.
Definizione. Sia a ∈ Z. Il valore assoluto di a é definito come:

se a é positivo o nullo
 a,
|a| =

−a,
se a é negativo
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Il valore assoluto di un numero intero é quindi un valore sempre
positivo.
ESEMPIO
|5| = 5;
| − 7| = 7; | − 5| = 5;
|7| = 7
Anche in Z sono definite le operazione già viste per i naturali ma
vanno trattate con un pizzico di attenzione in più. Qui lavoriamo
anche con numeri negativi!
Basta comunque ricordare che:
1) se si vogliono sommare due numeri negativi si ottiene un numero negativo;
2) se si sommano due numeri di segno opposto il risultato avrá
come segno quello di valore assoluto maggiore;
3) se si moltiplicano due numeri negativi il risultato sará un numero positivo;
4) se si moltiplicano due numeri di segno opposto il risultato sará
un valore negativo.
Vale, in altre parole, la seguente regola dei segni:
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+
+
·
·
·
·
+
+
-
=
=
=
=
+
+
-
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Con l’introduzione di Z abbiamo quindi risolto il problema di poter
sempre svolgere l’operazione di sottrazione.
Un altro problema si presenta (lo avevamo accennato all’inizio)
con la divisione.
Anche in questo caso si é risolto il problema ampliando la varietá
dei numeri.
Diciamo quindi insieme numeri razionali l’insieme:
o
na
|a ∈ Z, b ∈ Z − {0}
Q=
b
Chiameremo a numeratore della frazione e b denominatore della
frazione.
Poiché ogni intero si puó scrivere nella forma a1 allora l’insieme dei
numeri interi é un sottoinsieme dei numeri razionali per cui:
N⊂Z⊂Q
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Vediamo quindi come rappresentare un numero ab sulla retta:
1) disegniamo una retta orientata, fissiamo l’origine e stabiliamo
un’unitá di misura;
2) rappresentiamo su di essa i numeri interi;
3) rappresentiamo il numero dividendo il segmento in cui é contenuto in b-parti e prendiamo il trattino di posto a.
ESEMPIO: rappresentiamo i numeri razionali 54 .
Soluzione.
Consideriamo il segmento da zero a uno e dividiamolo in 5 parti
uguali.
A questo punto prendiamo in quarto di questi segmenti. Questo
sará il numero cercato.
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Si deduce che la frazione non é altro che un operatore che ci permette di dividere l’intero in parti uguali e di considerarne una in
particolare.
In relazione al rapporto tra numeratore e denominatore distinguiamo due tipi di frazioni: proprie e improprie:
Definizione. Una frazione si dice propria se operando con essa
su una grandezza si ottiene una grandezza omogenea e piú piccola
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di quella data. In essa il numeratore é minore del denominatore.
Se ció non avviene la frazione si dice impropria.
Definizione.
Diremo ancora che una frazione é apparente se
operando con essa su una grandezza di ottiene una grandezza congruente o multipla di quella data. In essa il numeratore é uguale
o multiplo del denominatore.
6
3
4
4
27
9
Definizione. Due frazioni si dicone equivalenti se operando con
esse su una stessa grandezza si ottengono grandezze congruenti.
2
5
4
10
8
...
20
Definizione. Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori comuni. Si dice invece irriducibile
se numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro.
Vediamo ora di dare una ”procedura” per confrontare due frazioni:
1) date due frazioni, una delle quali propria e l’altra impropria é
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sempre maggiore quella impropria perché rappresenta un numero
maggiore di 1;
5
7
>
3
9
2) date due frazioni aventi lo stesso denominatore é maggiore quella
che ha numeratore maggiore;
7
11
5
< <
3
3
3
3) tra due frazioni aventi lo stesso numeratore é maggiore quella
avente denominatore minore.
5
5
>
3
4
In ogni caso per stabilire se una frazione é maggiore o minore
dell’altra é sufficiente ridurre allo stesso denominatore e considerare quella che ha numeratore maggiore.
Ma come si riduce una frazione allo stesso denominatore?
Innanzitutto si determina il m.c.m. dei due denominatori dati, si
divide il valore ottenuto per ogni denominatore e si moltiplica il
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risultato per il numeratore.
ESEMPIO Ridurre le frazioni
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5
7
e
3
4
allo stesso denominatore.
SOL. Osserviamo che il m.c.m.(7,4)=28. Risulta quindi che:
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JJ
II
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I
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Esci
quindi
5
7
5
7
diventa
20
28
3
4
diventa
21
28
< 34 .
ESERCIZI Confrontare le seguenti
5 5
e
8 6
4 7
e
9 9
3 2
e
4 5
SOL. Nella prima frazione possiamo osservare che il numeratore
é lo stesso. Siamo quindi nel caso (3). Essendo 8 > 6 possimo
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concludere che 65 > 58 .
Viceversa nella seconda frazione é il denominatore a essere uguale
per entrambe le frazioni quindi concludiamo che 49 < 97 .
Nell’ultimo caso non possiamo dedurre nulla a priori quindi procediamo riducendo a un unico denominatore. Abbiamo che il
m.c.m.(4,5)=20 da cui:
15
3
é equivalente a
4
20
8
2
é equivalente a
5
20
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da cui é semplice dedurre che
3
4
> 52 .
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Nell’insieme dei numeri razionali sono definite le quattro operazioni:
Addizione: la somma di due o piu frazioni aventi lo stesso denominatore é la frazioni che ha come numeratore la somma dei
numeratori e come denominatore lo stesso denominatore.
3 5 7
15
+ + =
2 2 2
2
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Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, prima di effettuare l’addizione basta ridurre tutte al m.c.m..
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JJ
II
Sottrazione: la differenza tra due frazioni aventi lo stesso denominatore é la frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la differenza dei numeratori. Se le frazioni
non hanno lo stesso denominatore bisogna ridurle tutte al m.c.m..
J
I
7
11 4
− =
3
3
3
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Pagine 17 di 7
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9 5
27 20
7
− =
−
=
8 6
24 24
24
Moltiplicazione: il prodotto di due o piú frazioni é una frazione
avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni stesse.
Divisione: per dividere due frazioni si moltiplica la prima per
l’inversa della seconda.
Insieme dei numeri reali
In Q non sempre sono possibili altre operazioni al di fuori di quelle
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I
elementari. Ad esempio se calcoliamo la radice quadrata di un numero naturale non é detto che il risultato sia ancora un numero
naturale (fanno eccezione i cosiddetti quadrati perfetti).
Pensiamo alla radice quadrata di 2...Il risultato non puó essere
catalogato tra i numeri razionali in quanto ha un numero decimale illimitato non periodico. Sorge pertanto, ancora una volta,
l’esigenza di ampliare l’insieme dei numeri.
Esiste un insieme in cui tutte le operazioni, anche l’estazione della
radice (di numeri non negativi) é sempre possibile. Stiamo parlando dell’insieme dei numeri reali.
R=Q∪I
Pagine 18 di 7
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dove I é l’insieme dei numeri irrazionali, ossia l’insieme dei numeri
che non possono essere messi sotto forma di frazione. L’insieme R
dei numeri reali costituisce un ampliamento di Q e in esso si possono eseguire le diverse operazioni considerando le proprietá solite.
Pieno Schermo
N⊂Z⊂Q⊂R
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Una caratteristica fondamentale dei numeri reali é che possono essere rappresentati sulla retta in modo biunivoco, ovvero esiste una
corrispondenza (biunivoca appunto)che a ogni numero reale assegna un punto sulla retta e viceversa. Al solito sulla retta dovrá
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essere sia stata fissata un’origine e un’unitá di misura.
Abbiamo giá imparato a rappresentare sulla retta i numeri
razion√
ali; vediamo come
rappresentare
i
reali
(ad
esempio
2).
√
Consideriamo 2 come la diagonale di un quadrato di lato 1.
Utilizzando un compasso trasportiamo questo numero costruendo
l’arco di circonferenza √
dal punto fino alla retta. Avremo quindi
rappresentato il valore 2.
Insieme dei numeri reali é un insieme che gode di numerose caratteristiche:
- é denso, cioé tra due numeri reali vi é sempre compreso un numero reale (caratteristica di cui gode pure Q );
- é completo.
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Per tornare alla simulazione del test clicca su
RIFERIMENTI TEORICI
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