schede di aritmetica

SCHEDE DI ARITMETICA
NUMERI RELATIVI (INTERI)
Perché +   fa ?
È ab+a(b) = a[b+(b)] = a0 = 0.
Prendendo le espressioni agli estremi di questa catena di uguaglianze, è ab+a(b) = 0.
Sommando (ab) a entrambi i lati, si ottiene (ab)+ab+a(b) = (ab)+0.
Dato che sul lato sinistro è (ab)+ab = 0, alla fine si ha a(b) = (ab).
Perché    fa +?
Semplifichiamo la seguente espressione: ab+a(b) = a(bb) = a0 = 0.
Semplifichiamo la seguente espressione: (a)(b)+a(b) = (a+a)(b) = 0(b) = 0.
Confrontiamo le due espressioni; dato che hanno lo stesso valore, si ottiene ab+a(b) = (a)(b)+a(b).
Semplifichiamo quest’ultima uguaglianza, sottraendo a(b) da entrambe le parti; si ottiene infine ab = (a)(b), cioè il fatto
che moltiplicare due grandezze negative dà lo stesso risultato che moltiplicarne due positive, cioè che il risultato è positivo in
tutti e due i casi.
NUMERI RAZIONALI (FRAZIONI)
Come si spiega la regola dell’addizione di frazioni?
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, usano la stessa unità di misura, quindi si possono sommare e sottrarre: 5/7 e
4/7 si possono sommare perché tutt’ e due le frazioni sono espresse in settimi. In altri termini, ho 5 settimi e ho anche 4
settimi, cioè in totale ho 9 settimi.
Quando due frazioni non hanno lo stesso denominatore, sommarle significa sommare le famose mele con le famose pere.
Quindi prima di sommare bisogna fare in modo che abbiano lo stesso denominatore.
Esempio: bisogna sommare 4/7 con 3/2, ma i denominatori sono diversi. Tuttavia, si nota che ogni settimo può essere
diviso in 2 e ogni mezzo può essere diviso in 7, in modo che tutto sia diviso in quattordicesimi.
Quindi 4/7 si può scrivere 8/14 (moltiplicando numeratore e denominatore per 2) e 3/2 si può scrivere 21/14
(moltiplicando numeratore e denominatore per 7).
La somma 4/7+3/2 è diventata 8/14+21/14. Ora tutto è espresso in quattordicesimi, quindi la somma è possibile e si ha
29/14.
ad  bc
a c ad bc

 a
e poi si somma, ottenendo
.
bd
b d bd bd
a c ad  bc
In breve, la regola è  
.
b d
bd
In generale, si passa da
Come si spiega la regola della sottrazione di frazioni?
Nelle sottrazioni fra frazioni l’unica distinzione con le addizioni è l’uso del meno invece del più. Tutto il ragionamento fatto
col più rimane valido quando si usa il meno. Quindi, usando il meno invece del più, si arriva subito alla regola
a c ad  bc
 
.
b d
bd
Come si spiega l’uso del minimo comune multiplo?
Il minimo comune multiplo si usa nelle somme algebriche di frazioni soltanto per comodità di calcolo, ma non è una parte
essenziale delle regole.
Il suo uso è spiegato dai passaggi dell’esempio che segue: si vuole eseguire
11 7
 .
12 18
 11 7 
36    
 12 18  .
Si moltiplica e si divide tutta la somma per il m. c. m., che nel caso di 12 e 18 è 36, perciò si ottiene
36
11
7
 36 
12
18 .
Si applica la proprietà distributiva sul grande numeratore, perciò si ha
36

36 : 12 11  36 : 18  7
Si cambia legggermente l’ordine delle operazioni, ottenendo
.
36
36 
In generale, usando m come simbolo del m. c. m. fra i denominatori b e d, i passaggi sono i seguenti:
a c 
m   m a  m c
a c
b d
b
d  m : b   a  m : d   c .
  

b d
m
m
m
Come si spiega la regola della moltiplicazione di frazioni?
Una spiegazione geometrica è la seguente.
Abbiamo due segmenti, uno lungo 2/5 e l’altro lungo 3/4. Se questi due segmenti rappresentano due lati di un rettangolo,
l’area è data dalla moltiplicazione dei segmenti.
Il lato orizzontale in grassetto è 2/5 di tutto il lato orizzontale.
Il lato verticale in grassetto è 3/4 di tutto il lato verticale.
L’intero rettangolo è fatto di 54 = 20 quadrati, mentre la parte crocettata è fatta di 23 = 6 quadrati.
Quindi l’area crocettata è data da 6 quadrati su 20, cioè dai 6/20 dell’area totale.
2 3
23
e
ha dato
.
5 4
54
a c ac
In generale, la regola è  
.
b d bd
In breve: la moltiplicazione di
Come si spiega la regola della divisione di frazioni?
2
2 3
L’espressione : equivale a 5 , che è una frazione di frazioni. Se in una frazione il numeratore e il denominatore sono
3
5 7
7
2
moltiplicati o divisi per una stessa quantità, la frazione ha lo stesso valore. Bene, nella grande frazione 5 moltplichiamo il
3
7
grande numeratore e il grande denominatore per una stessa quantità. Quale? Naturalmente, la quantità che servirà a
2 7

7
5
3 . Il grande
semplificare; in questo caso,
, che è l’inverso del grande denominatore. Quindi si può scrivere
3 7
3

7 3
2 7

3 7
denominatore diventa quindi  , che si semplifica tutto è dà come risultato 1. Quindi la grande frazione 5 3 diventa
3 7
7 3

7 3
2 7

5 3 , cioè 2  7 .
5 3
1
2
2 7
Riassumendo: l’espressione 5 equivale all’espressione  .
3
5 3
7
a
a d
a c
In generale: le espressioni : , b e 
sono equivalenti e si può sempre passare da una all’altra.
b d c b c
d