Corollario - Matematica e Informatica
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Teoria dei numeri Lezione del giorno 9 maggio 2008 2 Abbiamo dimostrato il seguente risultato: se p è primo >2 si ha (2/p) = (1)(p 1)/8 . Dal tale risultato segue in pratica che (2/p)= 1 a secondo se (p2-1)/8 è pari o dispari. Ma considerando la classe [p] in Z8 si ha [p]=[t] con t=0,1,…,7, p=t+8k con k naturale, ed essendo p dispari anche t è dispari, cioè gli unici valori possibili di t sono t=1,3,5,7. Si ha allora: (p2-1)/8 = (t2-1)/8+(8k2+2tk) Dunque (p2-1)/8 è pari se e solo se (t2-1)/8 è multiplo di 2, e ciò avviene solo per t=1,7. Riassumendo: (2/p)=+1 se (p2-1)/8 è pari cioè se p1,7 (mod 8) (2/p)=-1 se (p2-1)/8 è dispari cioè se p3,5 (mod 8) Per il calcolo del simbolo di Legendre (q/p) nel caso di q,p primi distinti entrambi > 2 può essere utile il seguente Teorema (di cui si omette la dimostrazione): Legge di reciprocità quadratica di Gauss. Se p,q sono primi >2 distinti si ha: (p/q)(q/p) = (-1)(p-1)(q-1)/4 Si può allora calcolare uno dei numeri (p/q), (q/p) conoscendo l’altro: infatti moltiplicando l’eguaglianza precedente per esempio per (p/q) (ricordando che (p/q)2=(1)2=1) si ha (q/p) = (-1)(p-1)(q-1)/4(p/q) Tutte le considerazioni già fatte permettono di costruire un algoritmo per il calcolo di (a/p), quando p>2 è un primo ed a è un numero naturale qualunque non multiplo di p: - si rende a<p sostituendo a con la sua riduzione modulo p (ricordare che se ab (mod p) allora (a/p)=(b/p)) - si fattorizza a in prodotto di potenze di primi distinti: a = p1k1 p 2 k 2 ....p r k r (pi primi distinti p) in modo da avere: r (a/p) = (p i /p) i 1 k i dispari e ricondurre il calcolo di (a/p) si riconduce al calcolo di (pi/p) - se pi=2 si usa la formula già dimostrata per (2/p) - se pi>2 quindi pi, si usa la legge di reciprocità quadratica per ricavare (pi/p) in funzione di (p/pi), ed essendo p>pi si riduce p modulo pi , si fattorizza tale riduzione in prodotto di primi, e si itera il procedimento. L’algoritmo precedente riconduce il calcolo a numeri sempre più piccoli: al limite alla fine si tratta 2 di calcolare un simbolo di Legendre del tipo (2/p)= (1)(p 1)/8 o (1/p)=1 (perché 112 (mod p)). Esempio: Calcoliamo (338/131). Riducendo 338 modulo 131 si ottiene 76, quindi si deve calcolare (76/131). I fattori primi di 76 sono 2 (con molteplicità 2) e 19 (con molteplicità 1), quindi (76/131)=(19/131). Per la legge di reciprocità quadratica (essendo [(19-1)/2][(131-1)/2] dispari): (19/131)=-(131/19). Riducendo 131 modulo 19 si ottiene 17, da cui (131/19)=(17/19). Per la legge di reciprocità quadratica (essendo [(17-1)/2][(19-1)/2] pari): (17/19)=(19/17). Riducendo 19 modulo 17 si ottiene 2, da cui (17/19)=(2/17). Infine (2/17)=+1 (perché 171 (mod 8)). Riassumendo si ha (338/131)= -1 (quindi 331 non è resto quadratico modulo 131). Siamo ora in grado di dimostrare il: Teorema di Pepin. Fr 1 3 2 (2r ) Il numero di Fermat Fr = 2 +1 (con r>0) è un numero primo -1 (mod Fr) Dimostrazione: (): Basta applicare l’implicazione () del Teorema di Proth-Pocklington, con n=Fr , h=1, a=3 (): Essendo 3, Fr primi dispari distinti (perché Fr>3 essendo r>0), per la legge di reciprocità quadratica si ha: Fr 1 (3/Fr) = (Fr/3) (1) 2 Ma (Fr-1)/2= 2 2 1 è pari, dunque (3/Fr) = (Fr/3). Valgono le seguenti congruenze modulo 3: r r r -1 Fr = 2(2 ) +1 = 4 (2 ) +1 1+1 2 (mod 3) Dunque, per la proprietà 3 del simbolo di Legendre e per il calcolo di (2/p) si ha: (3/Fr) = (Fr/3) = (2/3) = (-1)(9-1)/8 = -1 Per il criterio di Eulero si ha la tesi Fr 1 3 2 -1 (mod Fr). I numeri di Fermat Fr hanno alcune applicazioni geometriche relative al cosiddetto problema della “ciclotomia”: fissato un naturale n>1, suddividere una circonferenza in n parti uguali (equivalentemente disegnare un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza) usando solo riga e compasso. Per quali valori di n>2 il problema ha soluzione ? Per esempio per n=6 il problema ha soluzione: il lato dell’esagono regolare si può costruire con riga e compasso perché la sua ampiezza è uguale a quella del raggio della circonferenza circoscritta. Analogamente per n=3: per costruire il lato del triangolo equilatero, basta costruire l’esagono regolare e unire i vertici “saltando” un vertice intermedio. I matematici hanno dimostrato il seguente: Teorema. Il problema della ciclotomia ha soluzione per tutti e soli i valori n>2 tali che n sia della forma: n 2 t Fr1 Fr2 .....Frm dove t0, e Fr1 , Fr2 ,....., Frm sono numeri primi di Fermat distinti. Per esempio per n=7 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 7 è primo ma non è un primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ettagono regolare. Anche nel caso in cui Fr non sia primo, i fattori primi di Fr hanno una struttura particolare: Teorema. r Se r>1, ogni fattore primo p di Fr= 2(2 ) +1 è Dimostrazione: 1 (mod 2r+2), quindi p=1+k2r+2 con k intero. r Per ipotesi p è divisore del numero dispari Fr, quindi p è primo >2. Si ha 2(2 ) -1 (mod Fr), quindi r anche 2(2 ) -1 (mod p). r 1 Essendo 2, p coprimi si ha [2]Zp* , [2](2 ) =[-1]2 = [1], e se s è il periodo di [2] in Zp* , s è divisore di 2r+1, quindi s=2d con dr+1. Dimostriamo che d=r+1. Se per assurdo fosse d<r+1, sarebbe: r d r d r d [2](2 ) = ([2](2 ) ) 2 = ([2]s ) 2 =[1] r ed essendo 2(2 ) -1 (mod p) si avrebbe 1 -1 (mod p), contraddizione perché p>2. Dunque d=r+1, s=2r+1. Ma il periodo s di [2] è divisore della cardinalità p-1 di Zp* , p-1=2r+1z con z intero, p-1 multiplo di 8 (perché r+1>2), p 1 (mod 8). Per le proprietà di (2/p), si ha (2/p)=1, e per il criterio di Eulero 2(p-1)/2 1 (mod p), [2](p-1)/2=[1], e il periodo s di [2] è divisore di (p-1)/2, cioè (p-1)/2=hs=h2r+1 da cui la tesi p 1 (mod 2r+2). Per trovare un fattore primo di Fr, si può procedere facendo assumere in successione al parametro k i valori interi positivi k=1,2,…., e verificando con l’algoritmo della divisione se il numero p=1+k2r+2 è divisore di Fr. Il minimo valore di k per cui p=1+k2r+2 è divisore di Fr fornisce con certezza un valore primo p (se p non fosse primo avrebbe un divisore primo p1<p, ma p1 sarebbe a maggior ragione divisore di Fr, quindi sarebbe della forma p1=1+k12r+2 con k1<k, contro la minimalità di k). Dopo avere trovato un fattore primo p di Fr, si può ripetere il ragionamento sul numero Fr/p per trovare altri fattori primi di Fr e pervenire alla completa fattorizzazione di Fr in prodotto di primi. Numeri di Mersenne. Dopo avere studiato i numeri di Fermat (successivi di una potenza di 2), studieremo i numeri che precedono una potenza di 2. Poniamo Mk=2k-1, con k>1: un tale numero naturale è detto numero di Mersenne. Come per i numeri di Fermat, studiamo quando un numero di Mersenne Mk è primo: vedremo in tale caso che k non può essere qualunque: Teorema. Se Mk=2k-1 (con k>1) è un numero primo, l’esponente k è primo. Dimostrazione: Per assurdo sia k non primo, e sia k=ts, con 1<t,s<k. Sfruttando l’identità algebrica già considerata in altre dimostrazioni: (xs-ys)=(x-y)(xs-1+xs-2y+….+xys-2+ys-1) con y=1, x=2t, si ottiene che x-y=2t-1 è divisore di xs-ys=2ts-1=2k-1=Mk , con 2t-1>1 (perché t>1) e 2t-1<Mk (perché t<k), contraddizione perché Mk è primo. Dunque, per cercare valori primi di Mk=2k-1 si deve restringere la ricerca al caso in cui l’esponente k sia primo. Esistono tuttavia esponenti k primi per cui Mk non è primo: per esempio per k=11 si ha Mk=211=2047=2389, non primo. Notizie sulla situazione attuale della ricerca sui numeri di Mersenne primi si possono trovare sul sito: www.mersenne.org (progetto GIMPS: Great Internet Mersenne Primes Search). A tutt’oggi sono stati trovati 44 numeri di Mersenne primi: il più grande è stato scoperto nel settembre 2006: è il numero 232,582,657-1, ed ha 9.808.358 cifre in base 10.
