Frazioni e numeri decimali

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 1 Frazioni e numeri decimali Def. I numeri razionali sono quozienti fra due numeri naturali e si rappresentano tramite le frazioni. I numeri razionali possono essere: 1. un numero naturale, se le frazioni sono frazioni apparenti: 10
= 10 ∶ 5 = 2 5
2. un numero decimale limitato, cioè con un numero finito di cifre decimali: 3
= 3 ∶ 5 = 0,6 5
3. un numero decimale illimitato, cioè con un numero infinito di cifre decimali: 5
= 5 ∶ 3 = 1,66666666 … 3
Def. Frazione decimale: È una frazione che ha come denominatore una potenza di 10 (10, 100, 1000, …). Una frazione decimale si può sempre trasformare in un numero decimale limitato. Regola 1: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2 e 5 o solo uno di essi. Esempio: !!
!!
= ! ! ! numero decimale limitato !""
!"
!"
! ∙!
!
!
= !" = !! ! numero decimale limitato Quando il denominatore di una frazione irriducibile scomposto in fattori contiene anche fattori diversi da 2 o da 5, la frazione sarà generatrice di numeri periodici. Un numero periodico ha un gruppo di cifre dopo la virgola che si ripete all’infinito (periodo). Periodico semplice: 3: parte intera 40
=
40
∶
11
=
3,63636363
…
=
3,
63 63: periodo 11
0: parte intera 7
Periodico misto: = 7 ∶ 12 = 0,58333333 … = 0,583 58: antiperiodo 12
3: periodo FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 2 Regola 2: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo fattori diversi da 2 e da 5. Esempio: !
!
=
! numero decimale periodico semplice !!
!!∙!
Regola 3: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i fattori primi 2 e 5 (entrambi o solo uno) e altri fattori. Esempio: !
!
=
! numero decimale periodico misto !!
!∙!!
Dai numeri decimali alle frazioni La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero naturale ottenuto togliendo la virgola nel numero dato e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero considerato. Esempi: 3219
3,219 =
1000
0,6352 =
6352
10000
La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha per numeratore il numero naturale ottenuto scrivendo il numero considerato senza virgola diminuito della parte intera e per denominatore il numero naturale formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Esempi: 3 1
0, 3 = = 9 3
1025 − 1 1024
1, 025 =
=
999
999
La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha per numeratore il numero naturale ottenuto scrivendo il numero considerato senza virgola diminuito del numero formato da parte intera e antiperiodo e per denominatore il numero naturale formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo. FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 3 Esempi: 12,56 =
1256 − 125 1131
=
90
90
0,0610 =
610 − 6
604
=
9900
9900
NUMERI RAZIONALI Frazioni apparenti Frazioni non apparenti Numeri naturali Numeri decimali limitati illimitati periodici semplici periodici misti