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Università degli studi di Roma “Tor Vergata”
Dipartimento di Ingegneria Civile
– Prof. ing. P. Sammarco –
– Dott. ing. E. Renzi –
Raccolta di testi d’esame
Idraulica I
Anno Accademico 2006-2007
Cognome:_______________________ Nome:________________________
Quesito no.1 (8 punti)
Idraulica I – Prova del 27 novembre 2006
Si consideri il moto piano, laminare, uniforme e permanente di un fluido viscoso incompressibile lungo un piano
inclinato. Le traiettorie sono rettilinee e parallele fra loro. La superficie y = d è una superficie libera, è cioè a
contatto con l’atmosfera e quindi a pressione relativa nulla. Lo sforzo tangenziale che l’atmosfera esercita sulla
superficie del fluido libera è nullo.
1. Proiettare l’equazione di Navier Stokes sugli assi x ed y .
Dimostrare che la pressione è distribuita idrostaticamente
sulle sezioni ortogonali al moto.
2. Ricavare il profilo di velocità v(y)=vx(y) iy, la portata e la
velocità media.
3. Detta z f la quota del fondo, che vale z f 0 nell’origine,
esprimere la pendenza motrice
i=−
ϑ
y
d
dh
in funzione dell’angolo
dx
O
vx
zf0
di inclinazione del fondo
4. Ricavare l’espressione della funzione di resistenza λ che, per il
presente caso di moto laminare, permette di scrivere
l’equazione del moto uniforme nella forma j =
θ
x
λ U2
4R 2g
Quesito no.2 (6 punti)
s
Il profilo di uno sfioratore a calice di una diga ha la sua parte terminale
a sezione circolare di raggio R . Detto s lo spessore, non trascurabile,
della parete (ipotizzando una geometria piana), calcolare il momento
risultante degli sforzi di pressione rispetto al polo O, in mezzeria della
prima sezione orizzontale dello sfioratore.
ζ
R
aria
θ
O
acqua
s
Quesito no.3 (4 punti)
Una lente di acqua dolce (densità
ρ d =1000
Kg/m3) galleggia sul mare (densità
ρ m =1033
Kg/m3) così come
indicato in figura. Tale configurazione è tipica della falda di acqua dolce nelle isole. Calcolare quanto vale il
rapporto ∆h / h in funzione delle densità dei due fluidi. La configurazione è di equilibrio idrostatico.
Dh
Acqua di mare rm
h
Acqua
dolce rd
1
Cognome:_______________________ Nome:________________________
Quesito no.4 (5 punti)
Nell’ ipotesi di costanza del prodotto ab , quale delle due configurazioni di corpo galleggiante è più stabile?
Dimostrare.
b
b
a
a
d
d
ζ
Quesito no.5 (7 punti)
Il manufatto della figura contiene fluido in quiete alla pressione p supposta nota e maggiore di quella
atmosferica (posta =0). Il manufatto viene collegato ad un tronco di tubo aperto all’estremità che sbocca quindi
in ambiente a pressione atmosferica. Il getto che fuoriesce con velocità media uniforme U urta una superficie
conica di base circolare (come il tubo) di area Ω e angolo al vertice π / 4 . Determinare la velocità media del
getto U e la forza che il getto esercita sulla valvola in funzione della pressione p .
Fluido in
quiete
P
in pressione
Ω
U
U
valvola
F=?
π/4
U
2
Cognome:________________________ Nome:_____________________ Corso di Laurea:________Matr:________
Quesito no.1 (6 punti)
Idraulica I – Prova dell’11 Luglio 2007
Dato il campo di velocità piano e stazionario
→
⎛ y ⎞ →
v ( x, y ) = (ax − by ) i x + ⎜ 2 − 1⎟ yi y
⎝ x ⎠
→
e il campo di densità ρ (x) = q x
1. Determinare i valori di a e di b affinché il campo di moto soddisfi in ogni punto la conservazione della
massa.
2. Con i valori trovati, calcolare divergenza, rotore, gradiente e accelerazione del campo di velocità.
3. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D, scomporre quindi D=L+S. Indicare il tipo di
rotazione/deformazione connessa al campo di velocità.
Quesito no.2 (7 punti)
Una paratoia automatica è costituita da un cilindro cavo di acciaio (densità ρa ), di raggio R e spessore s << R,
incernierato lungo la linea ortogonale al piano e passante in A. Ipotizzando una geometria piana, determinare
l’altezza massima h del fluido (densità ρ ) per la quale la paratoia si alza, in funzione dei parametri assegnati
R, ρa, ρ , s.
s, ρa
h
R
Quesito no.3 (10 punti)
A
Il sistema illustrato in figura è composto da due serbatoi. Nel primo, inizialmente sigillato per mezzo di una
valvola, è presente un liquido in pressione, con p nota e costante; il secondo, chiuso anch’esso per mezzo di
una valvola sul fondo, è vuoto. Al tempo t=0 il primo serbatoio
viene aperto, e la portata q che da esso defluisce attraverso il
boccaglio circolare di sezione Ω inizia a riempire il secondo
p = cost
serbatoio, assimilabile ad un cilindro con area di base A. Quando
l’altezza del liquido nel secondo serbatoio raggiunge un livello
fissato h*, viene azionato in esso un impianto di pompaggio, che
q (t>0)
preleva acqua con la portata Q, nota e maggiore di q.
Ω
Distinguendo le due fasi descritte, determinare:
1. Il tempo necessario per il raggiungimento della quota h* nel
A
secondo serbatoio.
2. L’equazione differenziale per l’altezza del liquido nello
h*=h(t=t*)
stesso, dopo l’azionamento dell’impianto di pompaggio.
3. Il tempo al quale l’altezza nel secondo serbatoio ritorna ad
essere nulla.
Q (t>t*)
(Assumere Cv =0.97, Cc = 1.00, ipotizzare che la pressione nel
primo serbatoio non vari durante il processo).
Quesito no.4 (7 punti)
Nell’ipotesi di moto irrotazionale, il vortice attorno al cerchio di raggio r0 può essere rappresentato in
coordinate polari tramite il potenziale delle velocità
ϕ=−
1.
Γ
ϑ,
2π
ϕ
e la funzione di corrente ψ
ψ =
r
Γ
ln .
2π r0
Determinare le componenti della velocità vr , vϑ .
2. Che cosa è Γ ? Perché? Dimostrare.
3. Dimostrare che la circolazione è nulla per tutte le curve chiuse che non abbracciano il cerchio di raggio r0
4. Commentare.
Cognome:________________________ Nome:_____________________ Corso di Laurea:________Matr:________
Quesito no.1 (7 punti)
Idraulica I – Prova del 18 Luglio 2007
Un campo di velocità permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile attraverso un convergente è
espresso dalla
→
→
→
v ( x, y) = (V0 + bx) i x − (by) i y
y
dove V0 è la velocità orizzontale in x=0, da assumersi nota, e b è un parametro
assegnato.
x
1. Verificare che il moto è irrotazionale e determinare il potenziale della velocità.
O
2. Calcolare l’accelerazione delle particelle di fluido che attraversano il
convergente.
3. Mediante il teorema di Bernoulli, derivare l’espressione della pressione p(x,y) nel
convergente, sapendo che p(0,0) =p0 è nota ed il piano del moto è orizzontale.
4. Calcolare il gradiente di pressione. Tracciare qualitativamente il campo del gradiente di pressione e del
vettore velocità.
Quesito no.2 (7 punti)
Una boa accelerometrica, assimilabile ad un cilindro di raggio R, altezza d e densità ρb assegnati, è in
equilibrio fra la spinta di galleggiamento ed il tiro di una fune tesa. La parte immersa della boa è un segmento
cilindrico di altezza b, anch’essa assegnata, e maggiore del
R
valore di b in assenza di vincolo (galleggiamento “libero”). Alla
boa accelerometrica è collegata una boa secondaria,
assimilabile ad una sfera di raggio R’ < R e densità ρb noti,
completamente immersa in acqua. Il collegamento tra le due
boe è effettuato per mezzo della fune suddetta. Il sistema
d
Mare,
b
di boe è infine ancorato sul fondo per mezzo di un’ altra fune,
densità ρ
collegata ad un corpo morto cilindrico, di raggio R, altezza H
e densità ρc nota. Le due funi di collegamento sono tese e di
T1
Boa
peso e sezione trascurabili. Si richiede:
Boa secondaria
accelerometrica
1. Determinare il tiro T1 agente sulla boa accelerometrica in
R’
funzione dei parametri noti
2.
Determinare quindi il tiro T2 agente sulla boa secondaria
T2
R
Corpo morto
in funzione di T1 e dei parametri noti
3.
Determinare l’altezza minima Hmin del corpo morto per
H
l’equilibrio dello stesso
4. Come varia Hmin se viene rimossa la boa secondaria?
Quesito no.3 (10 punti)
La seguente configurazione nel piano (x,y) mostra un impianto in cui defluisce acqua con portata Q nella
sezione di ingresso circolare, di diametro D. Attraverso il tronco di tubazione di diametro D3 = D/√2 , viene
edotta la portata Q3 = Q/2 . Il flusso principale abbandona
Q3
quindi l’impianto attraverso la sezione circolare di diametro D2 =
D
3 = D/√2 . L’impianto è mantenuto nella sua sede da un blocco
Q2
D3
D2
di ancoraggio.
1. Scelto un appropriato volume di controllo, applicare ad
esso il teorema globale della quantità di moto,
θ
considerando le sole azioni dinamiche.
y
x
2. Calcolare le componenti delle azioni dinamiche lungo x e
y esercitate sul blocco di ancoraggio, in funzione
dell’angolo θ , della portata Q e del diametro D .
3. Diagrammare qualitativamente l’andamento di tali forze
θ
in funzione di θ in [0,π/2 ]. Per quale θ è massima Fxd ?
D
Disegno
Ed Fyd ?
qualitativo, non
Q
in scala.
Quesito no.4 (6 punti)
Si consideri una corrente delimitata da pareti solide cilindriche in presenza di un brusco allargamento di
sezione.
1. Scegliendo opportunamente un volume di controllo, si applichi il teorema globale della quantità di moto
per determinare la variazione di carico piezometrico tra la sezione iniziale e quella finale dello stesso
2. Valutare la caduta di carico effettivo tra le stesse sezioni
3. Commentare
Cognome:____________________________ Nome:________________________Corso di Laurea_________Matr_______
Idraulica I – Prova del 14 settembre 2007
Quesito no.1 (6 punti)
Si consideri il moto piano uniforme e permanente di un fluido viscoso incompressibile lungo un piano inclinato. Le traiettorie sono
rettilinee e parallele fra loro. La superficie y = d è una superficie libera, è cioè a contatto con l’atmosfera e quindi a pressione
y
relativa nulla. Lo sforzo tangenziale che l’atmosfera esercita sul fluido attraverso la
superficie libera è nullo. Ipotizzando un moto laminare
d
1. Proiettare l’equazione di Navier Stokes sugli assi x ed y . Dimostrare che la
2.
3.
pressione è distribuita idrostaticamente sulle sezioni ortogonali al moto.
Ricavare il profilo di velocità v(y)=vx(y) ix.
Determinare lo sforzo tangenziale per y = 0 .
4.
Come varia il profilo delle velocità nel caso in cui l’atmosfera esercita uno sforzo
tangenziale
τ a = 0,1γid
O
vx
contrario al moto?
x
Quesito no. 2 (6 punti)
Una diga foranea di un porto è realizzata tramite cassoni cellulari in calcestruzzo armato alleggerito. Il singolo cassone ha base
B ed altezza H note; h1 è la profondità del fondale. Si
B
consideri dal lato mare l’oscillazione mareale, assimilabile ad
un’onda lunga di periodo T ed ampiezza A<<h1 noti, che
determina una variazione del livello idrico secondo la legge:
h2
2A
∆h =A cos(ωt), con ω=2π/Τ pulsazione dell’onda. Nella
configurazione di figura si è verificato uno sversamento di
H
h1
petrolio (densità ρp = 800 kg/m3) di altezza h2 dal lato porto.
mare
1. Determinare l’azione orizzontale netta sul cassone in
funzione del tempo t e dei parametri noti, per unità di
profondità del cassone (si consideri una successione di
condizioni idrostatiche ad ogni istante t).
2. Determinare il modulo dell’azione orizzontale massima sul cassone in funzione dei parametri noti.
D1
Quesito no. 3 (4 punti)
Il pistone di un cilindro idraulico in fase di spinta si muove ad una velocità U1 nota. All’interno del
cilindro è presente fluido di densità ρ uniforme. Il pistone ed il cilindro hanno diametro
rispettivamente D1 e D2, entrambi noti (D1>D2). Mentre il pistone scende nel cilindro, il fluido
viene espulso dal condotto di mandata situato sul fondo, di diametro D3, con velocità U3, noti.
Una parte del fluido viene infine espulsa attraverso la superficie anulare che separa cilindro e
pistone, ad una velocità U2. Scegliendo un apposito volume di controllo, determinare la velocità
U2 in funzione dei parametri noti.
U1
U2
D2
D3
U3
Quesito no. 4 (6 punti)
La condotta circolare ad asse orizzontale uscente da un serbatoio
di capacità infinita ha un restringimento di sezione nella sua parte
terminale che la porta dal valore Ω al valore ω . Lo sbocco è
libero in atmosfera ed il fluido è ideale. Se H è l’altezza del pelo
libero sull’asse della condotta, tracciare ed argomentare
l’andamento della linea dei carichi totali H e dei carichi relativi
H
Ω
1
h per la traiettoria 1-2 coincidente con l’asse della condotta.
L
Quesito no. 5 (8 punti)
Per il moto piano di una corrente euleriana con velocità asintotica va attorno intorno al cerchio di raggio r0, il cui potenziale è
dato dall’espressione
ϕ = va r cos θ + va r02
cos θ
r
, in coordinate cilindriche, determinare le componenti della velocità radiale e
tangenziale. Determinare poi il valore della circolazione Γ attorno ad una curva chiusa, scelta opportunamente dal candidato,
che racchiuda il cerchio di raggio r0 . Calcolare inoltre la distribuzione delle pressioni utilizzando il teorema di Bernoulli e
considerando nota la pressione
p0 nel punto di ristagno r = r0,ϑ = π
. Calcolare tramite integrazione diretta quanto valgono le
componenti orizzontale e verticale della spinta sul cilindro. Interpretare il risultato.
2
ω
Cognome:___________________________ Nome:_______________________Corso di Laurea:_________Matr:_______
Idraulica I – Prova del 25 Settembre 2007
Quesito no.1 (8 Punti)
Il campo di velocità permanente bidimensionale di un fluido ideale incomprimibile
nel dominio ( x, y ) ∈ (− ∞,+∞ ) × (− ∞,2] è espresso da:
y=2
→
⎛1
⎞→
v ( x, y) = ⎜ + 2 x ⎟ ix + vy iy
⎝2
⎠
con vy incognita. All’ordinata y =2 si trova una lastra piana impermeabile di
→
y
x
lunghezza infinita, come mostrato in figura.
(0,0)
1. Determinare vy affinché il campo di moto soddisfi l’equazione di continuità
e la condizione al contorno imposta dalla presenza della lastra. Calcolare
quindi il rotore del campo di velocità. Di che moto si tratta?
2. Determinare le coordinate del punto di ristagno, tracciare il campo del vettore velocità.
3. Mediante il teorema di Bernoulli, trovare l’espressione della pressione p(x,y) nel dominio, assumendo nota la pressione
pR nel punto di ristagno.
4. Calcolare il gradiente di pressione e tracciarne il profilo qualitativo.
Quesito no.2 (6 Punti)
Un cassone prefabbricato in c.a. è posto sul fondo del mare (densità ρm), a
profondità h nota. Il cassone, assimilabile ad un parallelepipedo di base B ed
altezza H, è riempito di materiale lapideo, e la sua densità media è ρc . A
seguito di un evento di tempesta il cassone viene spostato dalla sua posizione
originale. Per riposizionarlo correttamente, questo viene trainato con cavi
metallici, che applicano su di esso una forza complessiva T per unità di
profondità, inclinata di un angolo α sull’orizzontale (cfr. figura). Se il
coefficiente d’attrito cassone-fondazione è f , calcolare il tiro minimo Tmin
necessario per mobilitare il cassone dalla posizione attuale, in funzione dei
parametri noti.
B
H
T
h
α
Quesito no.3 (8 Punti)
Il serbatoio in figura ha sezione Ω ed al tempo t = 0 è riempito fino ad un
livello h0 con fluido ideale a densità costante. Il serbatoio è collegato ad un
tronco di tubo di sezione ω0 << Ω, aperto all’estremità, che sbocca quindi in
ambiente a pressione atmosferica. Dal tronco di tubo esce un getto con
velocità media uniforme U. In corrispondenza dello sbocco è posta una valvola
di chiusura cilindrica, che all’istante t = 0 inizia ad abbassarsi, in modo da
ridurre l’area ω del getto, con legge ω = ω0 − α t , dove α è un parametro noto.
Si ipotizza inoltre che l’efflusso sia torricelliano ad ogni istante t.
1. Attraverso il teorema globale di continuità determinare l’equazione
differenziale per l’altezza del liquido nel serbatoio.
2. Integrare l’equazione e trovare la legge oraria per h(t).
3. Calcolare il valore dell’altezza h(t) all’istante t = ω0 / α in cui la
sezione di sbocco risulta completamente chiusa.
Ω
valvola di
chiusura
h0
h(t)
ω0
U(t)
Quesito no.4 (8 Punti)
Si consideri il moto piano uniforme e permanente di un fluido viscoso incompressibile tra due lastre piane, inclinate, e poste a
distanza d l’una dall’altra (cfr. figura). La lastra inferiore scorre nel verso delle x positive con velocità v0, mentre la lastra
superiore è ferma.
1. Proiettare l’equazione di Navier Stokes sugli assi x ed y .
2.
3.
4.
Dimostrare che la pressione è distribuita idrostaticamente
sulle sezioni ortogonali al moto.
Ricavare il profilo di velocità v(y)=vx(y) ix.
Per quale valore limite della pendenza motrice i, il profilo di
velocità assume un minimo nella zona d/2 < y < d ?
Cosa succede se la pendenza motrice è nulla, i = 0 ? Che tipo
di moto si istaura?
y
ρ=cost
d
x
v0