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I numeri relativi
DEFINIZIONE. Si dicono numeri relativi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali dotati di segno
(positivo o negativo).
ESEMPI
+1
3
+
4
-4
1
+
410
- 3
+317
-3,716
- 2
Numeri interi relativi
Numeri razionali relativi
Numeri irrazionali relativi
DEFINIZIONE.
 I numeri naturali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri positivi.
 I numeri naturali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri negativi.
I numeri relativi
1
La rappresentazione grafica dei numeri relativi
I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta:
I numeri relativi
2
Le caratteristiche dei numeri relativi
DEFINIZIONE. Il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza segno.
ESEMPI
-7 = 7
+4 = 4
DEFINIZIONE. Due numeri relativi, in relazione al loro segno, possono essere:
 concordi quando hanno lo stesso segno;
 discordi quando hanno segno diverso.
ESEMPI
concordi:
5
+4 e +
2
discordi:
3
- e + 2
2
DEFINIZIONE. Due numeri relativi discordi aventi lo stesso valore assoluto si dicono opposti (o
simmetrici).
I numeri relativi
3
Il confronto di numeri relativi
Per confrontare due numeri relativi possiamo utilizzare la rappresentazione grafica:
Ad esempio -
7
2
<+
13
perché lo precede sulla retta orientata.
4
PROPRIETÀ.
a) Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo.
b) Dati due numeri discordi, il numero positivo è sempre maggiore del numero negativo.
c) Dati due numeri concordi positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore.
d) Dati due numeri concordi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.
I numeri relativi
4
L’addizione di numeri relativi
DEFINIZIONE. L’addizione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero,
ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo.
Nel caso dei numeri relativi, una volta individuato il primo addendo occorre tenere presente il segno
del secondo.
Primo caso: i due numeri hanno entrambi segno positivo
(+3) + (+4) = (+7)
Secondo caso: i due numeri hanno entrambi segno negativo
(-2) + (-3) = (-5)
I numeri relativi
5
L’addizione di numeri relativi
Terzo caso: il primo numero è positivo e il secondo è negativo
(+2) + (-4) = (-2)
Quarto caso: il primo numero è negativo e il secondo è positivo
(-3) + (+5) = (+2)
I numeri relativi
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L’addizione di numeri relativi
REGOLE.
 La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli
addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti.
 La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno
dell’addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori
assoluti.
È facile verificare che:
REGOLA. La somma di due numeri relativi opposti è uguale a 0.
I numeri relativi
7
La sottrazione di numeri relativi
DEFINIZIONE. La sottrazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, dati in un certo
ordine, un terzo numero che addizionato al secondo dà come risultato il primo.
Applicando la definizione possiamo dire che
(+5) - (-4) = +9
perché
(+9) + (-4) = +5
REGOLA. La differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con
l’opposto del secondo.
Ad esempio
I numeri relativi
(+5) - (-4) = (+5) + (+4) = +9
8
La somma algebrica
DEFINIZIONE. Una addizione algebrica è la successione ordinata di addizioni e sottrazioni con i
numeri relativi. Il risultato prende il nome di somma algebrica.
ESEMPI
Vogliamo calcolare il risultato di
(-3) + (-5) - (-2) - (+3)
Trasformiamo le sottrazioni in addizioni e scriviamo
(-3) + (-5) + (+2) + (-3)
più sinteticamente:
-3 - 5 + 2- 3 = -9
REGOLA. Per eseguire un’addizione algebrica si deve sopprimere il segno di operazione e togliere
le parentesi che racchiudono i numeri relativi con l’avvertenza che:
 se eliminiamo il segno di addizione, bisogna scrivere il secondo termine con il suo segno;
 se eliminiamo il segno di sottrazione, bisogna scrivere il secondo termine con il segno opposto.
I numeri relativi
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La moltiplicazione di numeri relativi
DEFINIZIONE. La moltiplicazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero
ottenuto eseguendo l’addizione di tanti addendi uguali al primo numero, quanti ne indica il secondo.
REGOLA DEI SEGNI. Il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha:
 come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;
 segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.
Ad esempio
I numeri relativi

+
−
+
+
−
−
−
+
(+5) × (-3) = -15
(-2) × (-4) = +8
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La divisione di numeri relativi
DEFINIZIONE. La divisione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, con il secondo diverso
da zero, un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo.
ESEMPIO
(+12) : (+3) = +4
(+20) : (-5) = -4
(-18) : (+2) = -9
(-35) : (-7) = +5
perché
perché
perché
perché
(+4) × (+3) = +12
(-4) × (-5) = +20
(-9) × (+2) = -18
(+5) × (-7) = -35
REGOLA. Il quoziente fra due numeri relativi è un numero relativo che ha:
come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti;
segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.
I numeri relativi
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Le espressioni algebriche
In una espressione algebrica si eseguono:
•prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono scritte;
•successivamente le addizioni algebriche.
ESEMPIO
[(-5 + 2 - 4 +1) + (-6 + 2 + 4 -1) × (-2 +1- 3 + 8)] : (-6 + 3 - 2) =
= [(-6) + (-1) × (+4)] : (-5) =
= [(-6) + (-4)] : (-5) =
= (-10) : (-5) = +2
I numeri relativi
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La potenza di un numero relativo
DEFINIZIONE. La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero quanti ne
indica l’esponente.
(+5) = (+5) × (+5) = +25
2
Primo caso: la base è positiva e l’esponente è pari
(+3) = (+3) × (+3) × (+3) = +27
3
Secondo caso: la base è positiva e l’esponente è dispari
Terzo caso: la base è negativa e l’esponente è pari
Quarto caso: la base è negativa e l’esponente è dispari
I numeri relativi
(-2) = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = +16
4
(-4) = (-4) × (-4) × (-4) = -64
3
13
La potenza di un numero relativo
REGOLE.
 La potenza di un numero relativo avente la base positiva è sempre positiva, sia che l’esponente
sia pari, sia che l’esponente sia dispari;
 La potenza di un numero relativo avente la base negativa è positiva se l’esponente è pari, è
negativa se l’esponente è dispari.
Più sinteticamente possiamo dire che:
REGOLA. La potenza di un numero relativo è un numero negativo se e solo se la base è negativa e
l’esponente è dispari.
I numeri relativi
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La potenza di un numero relativo con esponente negativo
REGOLA. La potenza di un numero intero relativo con esponente negativo è una frazione con il
numeratore uguale a uno e il denominatore uguale alla potenza data con esponente positivo.
ESEMPIO
(+5)
-3
=
1
(+5)
3
1
=
125
REGOLA. Nel caso di una potenza di frazione con esponente negativo, basta determinare la
frazione reciproca ed elevarla all’esponente positivo.
ESEMPIO
æ 5 ö-2 æ 4 ö2 16
ç+ ÷ = ç+ ÷ =
25
è 4ø
è 5ø
I numeri relativi
15
La radice quadrata di un numero relativo in R
REGOLA. La radice quadrata di un numero è quel numero che, elevato alla seconda, dà come
risultato il numero dato.
Primo caso: radice quadrata di un numero positivo
+25
(+5) = (+5) × (+5) = +25
2
(-5) = (-5) × (-5) = +25
2
Sia +5 che -5 soddisfano quanto
definito dalla regola; stabiliamo però la
convenzione di considerare solamente
il valore positivo.
+25 = +5
Secondo caso: radice quadrata di un numero negativo
-16
Non esiste alcun numero che elevato al quadrato dia come risultato -16.
REGOLA. La radice quadrata di un qualsiasi numero relativo negativo non esiste in R.
I numeri relativi
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La notazione scientifica dei numeri decimali
La conoscenza delle potenze con esponente negativo permette di semplificare la scrittura
polinomiale dei numeri. Se infatti consideriamo le potenze negative del numero 10 otteniamo:
1
1
=
= 0,1
1
10 10
1
1
10-2 = 2 =
= 0,01
10 100
1
1
10-3 = 3 =
= 0,001
10 1000
1
1
10-4 = 4 =
= 0,0001
10000
10
1
1
10-5 = 5 =
= 0,00001
10 100000
....................................
10-1 =
I numeri relativi
Questa modalità di scrittura ci permette di scrivere in
notazione scientifica anche un numero molto piccolo
come il prodotto di un numero di una sola cifra intera
significativa per una potenza con esponente negativo.
0,0000043 = 4,3 ×10-6
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L’ordine di grandezza
Nelle analisi scientifiche capita spesso di dover approssimare o arrotondare i risultati, soprattutto
quando i numero sono eccessivamente piccoli.
Di tali numeri non interessa ricordare tutte le cifre ma solamente l’ordine di grandezza che è così
definito:
DEFINIZIONE. L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di dieci più vicina a quel numero.
Una regola pratica per effettuare l’approssimazione di un numero è la seguente:
REGOLA.
si scrive il numero nella notazione scientifica facendo in modo di avere la parte intera compresa fra
1 e 9;
si stabiliscono le potenze di 10 tra le quali il numero è compreso;
si considera la parte intera del numero e, se è minore di 5 si assume come ordine di grandezza la
potenza di 10 con esponente minore, se è maggiore o uguale a 5 si considera la potenza di 10 con
esponente maggiore.
I numeri relativi
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