Analisi Matematica V - Vitolo

Programma di Analisi V
Corso di Laurea in Matematica
Anno Accademico 2006-2007
Prof. Antonio Vitolo
PROGRAMMA
TEORIA
Rappresentazioni e algebra dei numeri complessi. Sfera di Riemann e proiezione stereografica.
Funzioni olomorfe. Condizioni di Cauchy – Riemann.
Serie di potenze. La funzione esponenziale. Le funzioni trigonometriche. Funzioni polidrome. La
funzione logaritmo e la funzione potenza. Integrale curvilineo di una funzione di variabile
complessa. Teorema integrale di Cauchy. Derivazione sotto il segno di integrale.
Formula integrale di Cauchy e applicazioni. Teoremi della “media” e del “massimo modulo”.
Torema di Morera. Teorema di Weierstrass sulle serie di funzioni analitiche. Teorema di
Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.
Sviluppo in serie di Taylor. Zeri delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville generalizzato.
Sviluppo in serie di Laurent in una corona circolare. Classificazione delle singolarità isolate.
Comportamento di una funzione intorno alle singolarità isolate.
Teoria dei residui. Applicazioni agli integrali definiti. Indicatore logaritmico. Teorema di Rouchè.
Trascendenti intere. Problema di Weierstrass. Funzioni meromorfe. Problema di Mittag-Leffler.
Funzioni Beta e Gamma, Zeta di Riemann. Funzioni speciali e applicazioni.
ESERCITAZIONI
Calcolo di integrali definiti mediante i teoremi dei residui e di Jordan.
Bibliografia .
[1]
D.GRECO, Complementi di Analisi Matematica, Liguori (NA).
[2]
W.RUDIN, Analisi reale e complessa, Boringhieri (FI).