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PROGRAMMA del corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Civile
e Ambientale. A.A. 2011/12
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate
polari di un punto nel piano.
Curve in Rn: sostegno di una curva, curve semplici e chiuse,
orientamento di una curva. Equazioni cartesiane e polari di una curva
piana. Curve regolari e regolari a tratti, retta tangente e vettore tangente
al sostegno di una curva regolare.
Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilita'. Esempi:
circonferenza, ellisse, spirale logaritmica, cicloide, cardioide, astroide,
elica cilindrica. Curve equivalenti, curva geometrica, proprieta'
geometriche di una curva. Ascissa curvilinea e proprietà' delle curve
parametrizzate mediante ascissa curvilinea.Versore normale, curvatura
e cerchio oscillatore per una curva piana, interpretazione geometrica
della curvatura.Versore normale e binormale, curvatura e torsione, piano
osculatore per una curva in R3.
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto,
chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera.
Interno e chiusura di un insieme. Proprieta' elementari ed esempi.
Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insieme di
livello e curve di livello. Punti di accumulazione e punti isolati, limite per
funzioni di due variabili. Unicita' del limite, algebra dei limiti. Condizione
necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e
condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
Funzioni continue, Teorema della permanenza del segno, massimi e
minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi e
Teorema dei valori intermedi.
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato
geometrico della derivata parziale. Derivata direzionale e significato
geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica.
Derivabilita' delle funzioni differenziabili (dim) e condizione equivalente
alla differenziabilita': formula di Taylor del primo ordine e piano tangente.
Proprieta’ di continuita’ delle funzioni differenziabili (dim) e Teorema del
differenziale (dim). Teorema di derivazione delle funzioni composte
(dim). Vettore gradiente e curve di livello. Teorema del gradiente (dim).
Interpretazione geometrica del vettore gradiente (dim). Teorema sulle
funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di mas
ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di caratterizza
l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Massimi e minimi vincolati. Funzioni imp
livello. Teorema sui moltiplicatori di Lagrange (dim).
Integrali curvilinei e indipendenza dalla parametrizzazione (dim). Proprieta' elementa
Domini normali e integrale doppio su domini normali. Proprieta' elementari dell'integra
Baricentro di un corpo piano. Cambiamento di variabili ammissibile in R2 e Teorema
al calcolo di aree e di volumi.
Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti. Area di un
Funzioni di tre o più' variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parz
hessiana. Condizione necessaria del I ordine e sufficiente del II ordine per l'esistenza
funzioni di tre variabili.
Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Integrale di superficie. Domini normali in
volumi. Cambiamento di variabili ammissibile in R3 e Teorema sul cambiamento di va
volume di solidi di rotazione (dim).
Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoria
Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim). Campi vettoriali irrotazion
semplicemente connessi. Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente c
Teorema di Green (dim in un rettangolo) e Teorema di Gauss della divergenza in R2.
regolari con bordo, bordo di una superficie e orientamento del bordo di una superficie
vettoriali
Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'equazione differenziale e integrale g
locale della soluzione di un problema di Cauchy. Soluzioni massimali e Teorema di p
del I ordine. Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del II ord
condizione necessaria e sufficiente affinché' due soluzioni risultino linearmente indipe
(dim). Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine complete. Soluz
coefficienti costanti. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "so
del II ordine completa a coefficienti costanti.
Equazione dell'oscillatore armonico semplice e forzato, fenomeno di risonanza.
Libro di testo
Fusco-Marcellini-Sbordone "Elementi di Analisi Matematica due" Liguori
editore
Dispense del docente disponibili sulla pagina web
www.dipmat.univpm.it/~alessio
Esercizi
Marcellini-Sbordone "Esercitazioni di Analisi Matematica" II vol. parte I e
II, Liguori editore
Adams "Calcolo differenziale 2" Casa Editrice Ambrosiana