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Anno Accademico 2016-2017
Ingegneria Civile
Ingegneria Gestionale Progetti e Infrastrutture
Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio
Programma di Geometria e Algebra
Prof. Maurizio Brunetti
Spazi vettoriali sui numeri reali: definizione e proprietà elementari. Esempi:
vettori geometrici nello spazio euclideo, spazi vettoriali numerici, spazio nullo,
matrici con m righe e n colonne, polinomi a coefficienti reali.
Combinazioni lineari, indipendenza lineare, generatori. Basi. Enunciato del
teorema di caratterizzazione delle basi. Unicità delle componenti rispetto a una base.
Teorema di completamento di una base. Lemma di Steinitz (senza dim.). Teorema di
equipotenza delle basi. Dimensione.
Sottospazi vettoriali: definizione e proprietà caratterizzanti. Dimensione di un
sottospazio e sua relazione con dim V.
Rango di una matrice. Determinante di una matrice quadrata: proprietà e
calcolo tramite il primo teorema di Laplace.. Minori di una matrice e relazione con il
rango. Enunciato del teorema degli orlati. Prodotto righe per colonne. Matrici
invertibili. Unicità dell'inversa. Secondo teorema di Laplace.
Teorema di Binet (senza dim.). A è invertibile se e solo se il suo determinante è
non nullo (e conseguente calcolo dell'inversa).
Nomenclatura relativa ai sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi
di Cramer. Metodo di risoluzione di un sistema compatibile tramite l'individuazione
di un sistema normale equivalente e di «incognite principali».
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Matrici associate. dim Kerf + dim Imf
= dim V (senza dim.).
Endomorfismi: autovalori e loro determinazione tramite il polinomio
caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Determinazione degli autospazi e
diagonalizzabilità.
Relazioni di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza. Vettori
geometrici: definizione, somma, moltiplicazione per un numero reale.
Geometria nel piano e nello spazio: riferimenti e coordinazione. Equazioni
parametriche di una retta (e di un piano nello spazio). Parametri direttori. Equazioni
cartesiane di rette e piani. Incidenza e parallelismo tra rette e/o tra piani nello spazio.
Generica retta e generico piano per un punto.
Riferimenti ortogonali e cartesiani. Prodotto scalare tra vettori geometrici.
Versori. Coseni direttori. Angoli tra vettori o rette orientate. Distanza tra due punti,
tra un punto e una retta, tra rette parallele, tra un punto e un piano. Direzione
ortogonale a un piano. Prodotto vettoriale tra vettori geometrici. Bisettrici di rette
incidenti.
Ampliamento proiettivo e coordinazione omogenea. Coniche: classificazione.
Punti semplici e punti doppi. Polarità e teorema di reciprocità. Determinazione
grafica di una retta polare. Diametri, centro e assi. Disegno di una conica a punti
reali. Coniche eventualmente prive di punti reali.
Testi consigliati:
M. Brunetti. Esercizi di Algebra lineare e geometria. 3° edizione, Edises, Napoli
2014.
L. A. Lomonaco Geometria e Algebra. Vettori, equazioni e curve elementari. Aracne,
Roma 2013.