Le costruzioni con riga e compasso

I problemi classici della
geometria greca
Prof. Daniele Ippolito
Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia
Le costruzioni con riga e compasso
Per i greci, le costruzioni geometriche dovevano avvenire
esclusivamente con l'uso di una riga e di un compasso non
graduati, ossia senza la possibilità di misurare segmenti o di
tracciare circonferenze con la stessa apertura di altre.
Le operazioni di base effettuabili con riga e compasso sono
descritte nei primi tre postulati di Euclide:
1) Per ogni coppia di punti distinti è possibile tracciare la retta
che li congiunge.
2) Ogni retta si può estendere infinitamente.
Primi due postulati di Euclide
3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e
qualsiasi raggio.
Terzo postulato di Euclide
Le prime proposizioni degli “Elementi” di Euclide sono
costruzioni con riga e compasso di figure geometriche:
P1) È possibile costruire un triangolo equilatero di lato fissato.
P3) È possibile “trasportare” un segmento su una retta.
Trasporto di un segmento su una retta
I tre problemi classici irrisolti
I matematici greci si pongono l'obiettivo di costruire con riga e
compasso il maggior numero possibile di figure geometriche.
Tra i tanti problemi irrisolti, tre assumono una certa rilevanza:
1) La rettificazione della circonferenza:
Data una circonferenza, costruire un segmento di lunghezza
pari a quella della circonferenza.
Il problema equivale a
costruire geometricamente
il numero 2π.
2 r
Problema equivalente alla rettificazione della circonferenza è
quello della quadratura del cerchio:
Data un cerchio, costruire un quadrato di area pari a quella del
cerchio.
Il problema equivale a costruire
geometricamente il numero √π.
2) La duplicazione del cubo:
Dato un cubo, costruire un altro cubo avente volume doppio.
Il problema equivale a costruire geometricamente il numero
radice cubica di 2.
3) La trisezione dell'angolo:
Dato un angolo qualsiasi, costruire un angolo di ampiezza pari
ad un terzo del primo.
Il problema equivale a costruire geometricamente la
soluzione dell'equazione di terzo grado: 4x3 – 3x – k = 0 (k
dipende dall'angolo considerato).
Per alcuni angoli notevoli, il problema è risolubile. Ci si
chiede se sia risolvibile per un angolo qualsiasi.
L'insolubilità dei tre problemi
La dimostrazione dell'impossibilità di risolvere i tre problemi
classici della geometria greca ha impegnato generazioni di
matematici.
Con l'introduzione della geometria analitica con Cartesio, i tre
problemi sono stati tradotti nella costruzione di numeri reali.
È noto che è possibile, con l'uso della sola riga, costruire
geometricamente qualunque numero razionale: a/b.
Con l'aggiunta del compasso, è possibile costruire
geometricamente la radice quadrata di qualunque numero
razionale.
Nel 1837, Pierre Wantzel dimostra due criteri di insolubilità
delle costruzioni con riga e compasso:
1) Non sono costruibili i segmenti le cui misure sono espresse
da numeri trascendenti.
2) Non sono costruibili i segmenti le cui misure sono soluzioni
di equazioni di terzo grado a coefficienti razionali, prive di
soluzioni razionali.
In base al secondo criterio, non è possibile la duplicazione del
cubo, perché la radice cubica di 2 non è un numero razionale.
Per lo stesso criterio, non è possibile la trisezione di un angolo
qualsiasi perché l'equazione: 4x3 – 3x – k = 0 non ha
soluzioni razionali per ogni valore di k.
Nel 1882, Carl Lindemann dimostra che
irrazionale.
è un numero
In base al primo criterio di Wantzel, non sono possibili la
rettificazione della circonferenza né la quadratura del cerchio.