Impossibilità di duplicare il cubo usando solo riga e

La trisezione di un angolo, vale a dire la costruzione di un angolo di ampiezza un terzo di un altro
angolo qualsiasi dato, assieme al problema della duplicazione del cubo e a quello della quadratura
del cerchio, è uno dei tre problemi classici della geometria greca che, come ha dimostrato
algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, ossia
con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze.
Impossibilità di duplicare il cubo usando solo riga e compasso
Si tratta di costruire con riga e compasso lo spigolo di un cubo che abbia volume doppio di un cubo
dato. Se è lo spigolo del cubo dato, occorre costruire un segmento di lunghezza
nel "campo euclideo" delle lunghezze costruibili con riga e compasso.
, che non sta
Per dimostrare l'impossibilità di duplicare un cubo con il solo uso di riga e compasso occorre,
innanzitutto, precisare cosa significhi effettuare una costruzione con riga e compasso.
Eseguire una costruzione con riga e compasso vuol dire, in parole povere, determinare oggetti
geometrici, a partire da altri oggetti dati, utilizzando come unici strumenti la riga ed il compasso.
Va precisato che con “riga” non s'intende uno strumento per misurare o segnare distanze, ma
soltanto un'asta rigida che permetta solo di tracciare delle rette: dunque si intende una riga non
marcata.
I problemi di costruzione, e quindi il problema della duplicazione del cubo, sono stati accanitamente
studiati per secoli e senza risultati; dopo un lungo tempo di tentativi infruttuosi, ha iniziato ad
insinuarsi l'idea, tra i matematici, che tali problemi fossero irrisolvibili.
Per arrivare a studiare la risolubilità o meno dei problemi classici fu però necessario aspettare che
venissero gettate le fondamenta per l'algebra moderna.
Il problema della duplicazione del cubo si riduce, algebricamente, alla costruzione con riga e
compasso del numero
. Per dimostrare l'impossibilità di tale costruzione occorre formalizzare,
in termini algebrici, l'idea intuitiva di “costruzione con riga e compasso”.
Vi si narra di un antico tragico che, mettendo in scena il re Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione,
di forma cubica, del re Glauco, disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la
forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati». Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo,
perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che
nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della duplicazione del cubo".
La seconda testimonianza, conosciuta come Problema di Delo, è dell'espositore Teone di Smirne. Egli,
citando Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di
liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio
rispetto a quello esistente.
Prima soluzione
Utilizzando le notazioni moderne della geometria analitica la soluzione si ottiene facilmente come
intersezione di due parabole.
Si considerino due parabole, di equazioni
e
Dalla loro intersezione si ottiene
da cui, trascurando la soluzione x = 0, si trova
e quindi
Intersecando le due parabole si ottiene dunque un punto la cui ascissa è il lato del cubo di volume
doppio del volume del cubo assegnato.
Trisezione dell'angolo
Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo , di suddividerlo in tre angoli uguali.
Come nacque il problema di riuscire a trisecare un angolo con riga e compasso? Esaminiamo la
costruzione con riga e compasso per bisecare un angolo. La costruzione è diretta, come si vede nella
figura: dato l'angolo CÂB individuiamo due lunghezze uguali AB e AC sui suoi lati. Costruiamo
quindi il parallelogramma CABD e disegniamo la diagonale AD che biseca l'angolo CÂB.
Figura 1: bisezione dell'angolo
Il metodo per bisecare l'angolo è dunque molto semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse
altrettanto semplice poter dividere gli angoli in ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga e
compasso che permettesse di dividere un angolo in tre parti uguali. Ben presto si accorsero che il
problema era più difficoltoso: in effetti, il problema è risolvibile con riga e compasso solo per
alcuni tipi di angoli, ma nel caso generale ciò non è possibile. Vediamo ora due esempi di trisezione
possibili con riga e compasso.
La curva può essere utilizzata per risolvere il problema della trisezione dell'angolo. Sia AÔB un
angolo qualunque; da un punto arbitrario L del lato OB conduciamo la perpendicolare LD al lato
OA e consideriamo la concoide della retta LD rispetto al polo O di costante k = 2 OL. La parallela
ad OA, uscente da L incontra il ramo esterno della concoide in C; si congiunga C con O e
dimostriamo che
AÔC = AÔB
Dimostrazione [modifica]
Chiamiamo N il punto d'intersezione di OC con LD ed M il punto medio di CN. Per definizione di
concoide, sarà:
CN = k = 2 OL
e quindi
CM = MN = OL =
D'altra parte NLC è un angolo retto ed allora LM, come mediana relativa all'ipotenusa CN del
triangolo rettangolo CLN, sarà metà dell'ipotenusa stessa, cioè
LM = NM = OL.
Ne segue che i triangoli LOM e LMC e LMN sono isosceli e quindi:
LÔM = NML = 2 LĈM
Ma LCM = COA perché alterni interni e perciò LÔM = 2 CÔA o anche
BÔA = LÔA = 3 CÔA.
c.v.d.
Quadratura del cerchio [modifica]
Quello della quadratura del cerchio il più famoso dei problemi di costruzione con riga e
compasso, per il quale sono state proposte una quantità notevolissima di "false dimostrazioni", al
punto che esso è diventato una metafora per indicare un problema di impossibile soluzione.
Il problema richiede che dato un cerchio di raggio si costruisca il lato di un quadrato che abbia la
stessa area di tale cerchio.
Poiché il lato del quadrato che si vuole costruire deve avere lunghezza pari a
dove è,
come dimostrato da Lindemann, un numero trascendente (non ottenibile cioè mediante alcuna
equazione algebrica a coefficienti razionali, non importa di quale grado), risulta evidente
l'impossibilità di risolvere il problema con riga e compasso.
Storia e descrizione del problema [modifica]
Il problema risale alle origini della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo
nel 1882 che l'impossibilità venne provata rigorosamente, anche se i geometri dell'antichità avevano
afferrato molto bene, sia intuitivamente che in pratica, la sua intrattabilità.
Trovare una soluzione richiederebbe la costruzione del numero
, quindi un quadrato con area
deve avere lato pari a
).
(infatti l'area del cerchio è
L'impossibilità di una tale costruzione, con le limitazioni imposte dall'uso esclusivo di riga e
compasso, deriva dal fatto che π è un numero trascendente, ovvero non-algebrico, e quindi noncostruibile. La trascendenza di π fu dimostrata da Ferdinand von Lindemann nel 1882.
La soluzione del problema della quadratura del cerchio con riga e compasso implicherebbe quindi
trovare anche un valore algebrico per π - il che si è dimostrato impossibile dopo il lavoro di
Lindemann.
Ciò non implica invece che sia impossibile costruire un quadrato la cui area approssimi molto da
vicino quella del cerchio dato.
La "quadratura del cerchio" come metafora [modifica]
Nel 1882 Ferdinand von Lindemann pubblicò la dimostrazione della trascendenza di pi greco.
Precedentemente egli aveva già dimostrato che se pi greco fosse stato trascendente, allora l'antico
problema della quadratura del cerchio con riga e compasso sarebbe stato irrisolvibile. Fino a quel
momento erano stati innumerevoli i tentativi della quadratura matematica del cerchio, tanto che
l'espressione era (ed è) diventata sinonimo di un'impresa vana, senza speranza o priva di un
significato concreto.
In senso meramente letterario, l'espressione "quadratura del cerchio", viene spesso usata per
indicare la soluzione perfetta ad un dato problema (anche se, come abbiamo visto, non esiste).