Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 11 del Capitolo 3
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
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AA 2013–2014
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L’antinomia di Russell
Due principi fondamentali.
Principio di estensionalità
Due insiemi sono uguali sse hanno gli stessi elementi.
Quindi un insieme è completamente determinato dai suoi elementi.
Principio di comprensione
Ogni proprietà P (x) definisce un insieme, c’è un insieme {x | P (x)}.
L’antinomia di Russell
Consideriamo la proprietà P (x) data da x ∈
/ x e sia R = {x | x ∈
/ x}.
R∈
/R ⇒ R∈R ⇒ R∈
/R
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Gli assiomi di MK
Fissiamo un linguaggio del prim’ordine con un solo predicato binario ∈.
Gli oggetti della nostra trattazione si chiamano classi. Gli elementi di una
classe sono a loro volta classi.
Definizione
Una classe A è un insieme sse A appartiene a qualche classe. Posso
definire la formula Ins(x) che dice che x è un insieme, ∃y(x ∈ y).
Una classe propria è una classe che non è un insieme.
Definiremo la teoria del prim’ordine Morse-Kelly MK.
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Gli assiomi di MK
Assioma di estensionalità
∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y.
Schema di assiomi di comprensione
Se x è libera in ϕ(x, y1 , . . . , yn ) e A è una variabile differente da
x, y1 , . . . , yn . Allora ∃A∀x (x ∈ A ⇔ ∃z(x ∈ z) ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn )).
Cioè per ogni ϕ e per ogni scelta di classi y1 , . . . , yn , posso trovare la
classe A di tutti gli insiemi che soddisfano ϕ. Per estensionalità A è unica
e si denota con
A = {x | ϕ(x, y1 , . . . , yn )}
Nota bene:
Sono infiniti assiomi, uno per ogni ϕ.
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Gli assiomi di MK
Riesaminiamo l’antinomia di Russell: per comprensione R = {x | x ∈
/ x} è
una classe. Se R fosse un insieme, allora R ∈ R ⇔ R ∈
/ R, quindi R è una
classe propria.
Notazione
{x ∈ A | ϕ(x, y1 , . . . , yn )} è la classe data dalla formula
x ∈ A ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn ).
A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x ∈ A | x ∈ B} = {x ∈ B | x ∈ A}.
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B} = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Dall’Assioma di Estensionalità segue che A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
e A4B = B4A.
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Gli assiomi di MK
Assioma di esistenza di insiemi
∃x∃y (x ∈ y).
Definizione
x è una sotto-classe di y sse ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y). In simboli x ⊆ y.
Se y ⊆ x e x è un insieme, vogliamo che anche y sia un insieme.
Assioma dell’insieme potenza
Se x è un insieme allora c’è un insieme y tale che ∀z (z ⊆ x ⇔ z ∈ y).
L’insieme y è unico per estensionalità e si indica con P(x).
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Gli assiomi di MK
La classe vuota {x | x 6= x} = ∅ è inclusa in un qualsiasi insieme, quindi è
un insieme.
Assioma della coppia
Ins(x) ∧ Ins(y) ⇒ ∃z (Ins(z) ∧ ∀w (w ∈ z ⇔ w = x ∨ w = y)).
L’insieme z lo si indica con {x, y}. Se x = y lo si scrive {x}.
Definizione
def
(x, y) = {{x}, {x, y}}.
Proposizione
Per ogni insieme x, y, z, w, (x, y) = (z, w) ⇔ x = z ∧ y = w.
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Gli assiomi di MK
Assioma di fondazione
x 6= ∅ ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅).
Se x ∈ x, allora {x} è un insieme e per l’assioma di fondazione c’è un
y ∈ {x} tale che y ∩ {x} = ∅: ma y = x e x ∈ x ∩ {x}, contraddizione.
Definizione
def
V = {x | x = x} è la classe di tutti gli insiemi.
Definizione
S
S
def
Se A è una classe l’unione su A è A = x∈A x = {y | ∃x ∈ A(y ∈ x)}
T
T
def
e l’intersezione su A è A = x∈A x = {y | ∀x ∈ A(y ∈ x)}.
Per convenzione: se A = ∅ allora
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T
A = ∅.
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Gli assiomi di MK
Assioma dell’unione
S
Se A è un insieme allora anche A è un insieme.
def S
Se x e y sono insiemi, allora {x, y} e x ∪ y = {x, y} sono insiemi.
def
A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B} = {c | ∃a∃b(a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c = (a, b))}
è una classe che esiste per l’Assioma di Comprensione.
Proposizione
Se A e B sono insiemi, anche A × B è un insieme.
Dimostrazione.
Basta trovare un insieme che contiene A × B. Se x ∈ A e y ∈ B, allora
{x}, {x, y} ⊆ A ∪ B e quindi (x, y) = {{x}, {x, y}} ⊆ P(A ∪ B). Ne
segue che A × B ⊆ P(P(A ∪ B)).
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Gli assiomi di MK
Usando gli assiomi di coppia e unione possiamo costruire infiniti nuovi
insiemi {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {{{{∅}}}}, . . . oppure
{∅} = S(∅), {∅, {∅}} = S({∅}), {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = S({∅, {∅}}), . . . dove
def
S(x) = x ∪ {x}
è il successore di x.
Una classe I si dice induttiva se ∅ ∈ I ∧ ∀x(x ∈ I ⇒ S(x) ∈ I).
Assioma dell’infinito
Esiste un insieme induttivo.
Definizione
def T
N = I dove I la classe di tutti gli insiemi induttivi.
0 = ∅, 1 = S(0), 2 = S(1) = S(S(0)), . . .
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Proposizione
N ∈ I e ∀n ∈ N (n = 0 ∨ ∃m ∈ N (n = S(m))).
Dimostrazione.
T
0 ∈ I per ogni I ∈ I, quindi 0 ∈ I = N.
Fisso n ∈ N: n ∈ I e quindi S(n)T∈ I per ogni I ∈ I. Essendo I ∈ I
arbitrario, otteniamo che S(n) ∈ I = N. Quindi N ∈ I.
Sia n ∈ N \ {0} e supponiamo per assurdo che n 6= S(m) per ogni m ∈ N.
Allora l’insieme J = N \ {n} soddisferebbe
T la formula che definisce I e
quindi J ∈ I. Da questo segue che J ⊇ I = N, ma per costruzione
J ⊂ N: contraddizione.
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Proposizione (Principio di Induzione su N — prima formulazione)
Sia I ⊆ N tale che 0 ∈ I e tale che ∀n (n ∈ I ⇒ S(n) ∈ I). Allora I = N.
Dimostrazione.
I ∈ I, quindi I ⊇ N.
Una relazione binaria è una classe di coppie ordinate. Una relazione binaria
F è funzionale se (x, y), (x, y 0 ) ∈ F ⇒ y = y 0 .
Scriveremo x R y invece di (x, y) ∈ R. Se R è funzionale, R(x) = l’unico
y (se esiste) tale che (x, y) ∈ R.
dom(R) = {x | ∃y((x, y) ∈ R)}
ran(R) = {y | ∃x((x, y) ∈ R)}
fld(R) = dom(R) ∪ ran(R).
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Proposizione
Se R è un insieme, allora dom(R), ran(R), fld(R) sono insiemi.
Dimostrazione.
Se xS∈ S
dom(R) allora x ∈ {x} ∈S(x,
S y) ∈ R, per qualche y, quindi
x ∈ ( R), quindi dom(R) ⊆
R. I casi di ran(R) e fld(R) sono
analoghi.
Definizione
Se F è una relazione funzionale e A una classe poniamo
F [A] = {F (x) | x ∈ A ∩ dom(F )}
F A = {(x, y) ∈ F | x ∈ A}.
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Esercizio
Se F è un insieme anche F [A] è un insieme
Assioma del rimpiazzamento (forte)
Se F è una relazione funzionale e A un insieme, allora F [A] è un insieme.
A
B = B A = {F | F : A → B}.
Proposizione
Se A e B sono insiemi, allora B A è un insieme.
Dimostrazione.
B A ⊆ P(A × B).
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Teorema.
Non esiste nessuna funzione f tale che dom(f ) = N e
∀n ∈ N f (S(n)) ∈ f (n).
Dimostrazione.
Per assurdo. Poiché ∅ =
6 ran(f ), per l’assioma di Fondazione c’è un
y ∈ ran(f ) tale che y ∩ ran(f ) = ∅. Sia n ∈ N tale che y = f (n). Ma
f (S(n)) ∈ f (n) ∩ ran(f ): contraddizione.
Notazione
hai | i ∈ Ii è la funzione I 3 i 7→ ai .
Per esempio, s = ha0 , a1 , . . . , an−1 i è la funzione di dominio
n = {0, 1, . . . , n − 1} che ad ogni i < n associa l’insieme ai .
n = dom(s) è la lunghezza di s, e la si indica con lh(s).
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Se X è una classe X <N = {s | s è una stringa finita e ran(s) ⊆ X}.
Esercizio
Dimostrare che se X è un insieme, allora X <N =
insieme.
S
{X n | n ∈ N} è un
Se I è un insieme e hAi | i ∈ Ii è una successione di insiemi, sia
"i∈I Ai = {f | f è una funzione, dom(f ) = I e ∀i ∈ I (f (i) ∈ Ai )}.
Quindi se Ai = A per ogni i ∈ I, allora "i∈I Ai = AI .
Se Ai0 = ∅ per qualche i0 ∈ I allora "i∈I Ai = ∅. Vale anche il viceversa?
Vogliamo scambiare i quantificatori passando da ‘∀i ∈ I∃x(x ∈ Ai )’ a
‘∃f ∀i ∈ I(f (i) ∈ Ai )’.
Assioma di Scelta (AC)
Se A =
6 ∅ è un insieme e ∀A ∈ A (A 6= ∅), allora esiste f : A →
che ∀A ∈ A (f (A) ∈ A).
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S
A tale
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Gli assiomi di MK
Gli assiomi di MK
Riassumendo: MKC = MK + AC e gli assiomi di MK sono:
Estensionalità: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y
Comprensione: ∃A∀x (x ∈ A ⇔ ∃z(x ∈ z) ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn )), dove
x è libera in ϕ(x, y1 , . . . , yn ) e A è diversa da x, y1 , . . . , yn
Esistenza di insiemi: ∃x∃y (x ∈ y)
Potenza: Ins(x) ⇒ ∃z (Ins(z) ∧ ∀t (t ∈ z ⇔ t ⊆ x))
Coppia:
Ins(x) ∧ Ins(y) ⇒ ∃z (Ins(z) ∧ ∀w (w ∈ z ⇔ w = x ∨ w = y))
Fondazione: x 6= ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)
Unione: Ins(x) ⇒ ∃u (Ins(u) ∧ ∀z (z ∈ u ⇔ ∃y(y ∈ x ∧ z ∈ y)))
Infinito: ∃I (Ins(I) ∧ ∅ ∈ I ∧ ∀x (x ∈ I ⇒ S(x) ∈ I))
Rimpiazzamento: ∀F ∀A ∀x∃!y(x, y) ∈ F ∧ Ins(A) ⇒ Ins(F [A]) .
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Gli assiomi di ZF
La teoria Zermelo-Frænkel ZF è formulata nel linguaggio con un solo
predicato binario ∈. Gli enti di questa teoria si dicono insiemi. Gli assiomi
di ZF sono:
Estensionalità: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y
Separazione: ∃A∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn , B)), dove x è
libera in ϕ(x, y1 , . . . , yn , B) e A è diversa da x, y1 , . . . , yn , B.
A = {x ∈ B | ϕ(x, y1 , . . . , yn , B)} è il sottoinsieme di B formato
dagli elementi che godono della proprietà ϕ.
Potenza: ∃z∀t (t ∈ z ⇔ t ⊆ x)
Coppia: ∃z∀w (w ∈ z ⇔ w = x ∨ w = y)
Fondazione: x 6= ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)
Unione: ∃u∀z (z ∈ u ⇔ ∃y(y ∈ x ∧ z ∈ y))
Infinito: ∃I (∅ ∈ I ∧ ∀x (x ∈ I ⇒ S(x) ∈ I))
Rimpiazzamento: ∀x ∈ A∃!yϕ ⇒ ∃B∀x ∈ A∃y ∈ Bϕ, per ogni
formula ϕ(x, y, A, w1 , . . . , wn ).
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Funzioni e relazioni
Definizione.
Una funzione finitaria o operazione su X è una f : X n → X per qualche
n ∈ N detto arietà di f , n = ar(f ).
Se n = 0 allora f : {∅} → X, quindi le funzioni 0-arie su X possono essere
identificate con gli elementi di X.
Y ⊆ X è chiuso per f se f [Y n ] ⊆ Y .
Esercizio
Sia Y ⊆ X eTsia C = {Z ⊆ X | Y ⊆ Z ∧ Z chiuso per f }. Dimostrare che
C 6= ∅ e che C è il più piccolo Z ⊆ X contenente Y e chiuso per f .
T
L’insieme C si dice chiusura di Y sotto f e lo si indica con Clf (Y ).
Analogamente si definisce ClF (Y ) quando F è una famiglia di funzioni
finitarie su X.
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